Evariste Galois -Évariste Galois

"Galois" leitet hier weiter. Für andere Verwendungen siehe Gallois (Begriffsklärung) .
Evariste Galois
Evariste galois.jpg
Ein Porträt von Évariste Galois im Alter von etwa 15 Jahren
Geboren ( 1811-10-25 )25. Oktober 1811
Bourg-la-Reine , Französisches Kaiserreich
Ist gestorben 31. Mai 1832 (1832-05-31)(20 Jahre)
Paris, Königreich Frankreich
Alma Mater École preparatoire
Bekannt für Arbeiten zur Gleichungstheorie , Gruppentheorie und Galoistheorie
Wissenschaftlicher Werdegang
Felder Mathematik
Einflüsse Adrien-Marie Legendre
Joseph-Louis Lagrange
Unterschrift
Galois-Signatur.svg

Évariste Galois ( / ɡ æ l ˈ w ɑː / ; Französisch:  [evaʁist ɡalwa] ; 25. Oktober 1811 - 31. Mai 1832) war ein französischer Mathematiker und politischer Aktivist. Noch als Teenager war er in der Lage, eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür zu bestimmen, dass ein Polynom durch Radikale lösbar ist, und löste damit ein Problem, das seit 350 Jahren offen war. Seine Arbeit legte den Grundstein für die Galoistheorie und die Gruppentheorie , zwei Hauptzweige der abstrakten Algebra. Er war ein überzeugter Republikaner und war stark an den politischen Wirren beteiligt, die die Französische Revolution von 1830 umgaben . Aufgrund seines politischen Engagements wurde er wiederholt festgenommen und verbüßte eine mehrmonatige Haftstrafe. Aus ungeklärten Gründen kämpfte er kurz nach seiner Entlassung aus der Haft in einem Duell und starb an den erlittenen Wunden.

Leben

Frühen Lebensjahren

Galois wurde am 25. Oktober 1811 als Sohn von Nicolas-Gabriel Galois und Adélaïde-Marie (geb. Demante) geboren. Sein Vater war Republikaner und Vorsitzender der liberalen Partei von Bourg-la-Reine . Sein Vater wurde Bürgermeister des Dorfes, nachdem Ludwig XVIII . 1814 auf den Thron zurückgekehrt war. Seine Mutter, die Tochter eines Juristen , war eine fließende Leserin lateinischer und klassischer Literatur und war in den ersten zwölf Jahren für die Erziehung ihres Sohnes verantwortlich.

Der Cour d'honneur des Lycée Louis-le-Grand , das Galois als Junge besuchte.

Im Oktober 1823 trat er in das Lycée Louis-le-Grand ein. Im Alter von 14 Jahren begann er sich ernsthaft für Mathematik zu interessieren .

Er fand ein Exemplar von Adrien - Marie Legendres Éléments de Géométrie , das er angeblich „wie einen Roman“ gelesen und bei der ersten Lektüre gemeistert hatte. Mit 15 las er die Originalarbeiten von Joseph-Louis Lagrange , wie die Réflexions sur la résolution algébrique des équations , die wahrscheinlich seine späteren Arbeiten zur Gleichungstheorie motivierten, und Leçons sur le calcul des fonctions , eine Arbeit, die noch für professionelle Mathematiker bestimmt war seine Klassenarbeiten blieben uninspiriert und seine Lehrer warfen ihm vor , Ehrgeiz und Originalität negativ zu beeinflussen .

Angehender Mathematiker

1828 versuchte er sich ohne die übliche Vorbereitung in Mathematik an der Aufnahmeprüfung für die École Polytechnique , die damals renommierteste Institution für Mathematik in Frankreich, und scheiterte mangels Erklärungen an der mündlichen Prüfung. Im selben Jahr trat er in die École Normale (damals bekannt als l'École préparatoire) ein, eine damals weit unterlegene Institution für mathematische Studien, wo er einige Professoren fand, die ihm sympathisierten.

Augustin-Louis Cauchy hat Galois' frühe mathematische Arbeiten rezensiert.

Im folgenden Jahr wurde Galois' erster Aufsatz über Kettenbrüche veröffentlicht. Etwa zur gleichen Zeit begann er mit grundlegenden Entdeckungen in der Theorie der Polynomgleichungen . Er reichte zu diesem Thema zwei Arbeiten bei der Akademie der Wissenschaften ein . Augustin-Louis Cauchy hat diese Arbeiten begutachtet, aber aus noch ungeklärten Gründen die Annahme zur Veröffentlichung verweigert. Trotz vieler gegenteiliger Behauptungen wird jedoch allgemein angenommen, dass Cauchy die Bedeutung von Galois' Arbeit erkannt und lediglich vorgeschlagen hat, die beiden Arbeiten zu einer zusammenzufassen, um sie am Wettbewerb um den Großen Preis der Akademie für Mathematik teilzunehmen . Cauchy, ein bedeutender Mathematiker der damaligen Zeit, obwohl er politische Ansichten hatte, die denen von Galois entgegengesetzt waren, hielt Galois' Arbeit für einen wahrscheinlichen Gewinner.

Am 28. Juli 1829 starb Galois' Vater nach einem erbitterten politischen Streit mit dem Dorfpfarrer durch Selbstmord. Ein paar Tage später unternahm Galois seinen zweiten und letzten Versuch, die Polytechnique zu betreten, und scheiterte erneut. Es ist unbestritten, dass Galois mehr als qualifiziert war; Die Berichte unterscheiden sich jedoch darüber, warum er gescheitert ist. Plausiblere Berichte besagen, dass Galois zu viele logische Sprünge gemacht und den inkompetenten Prüfer verwirrt hat, was Galois wütend gemacht hat. Auch der kürzliche Tod seines Vaters könnte sein Verhalten beeinflusst haben.

Nachdem ihm die Zulassung zur École polytechnique verweigert worden war , legte Galois die Abiturprüfungen ab, um an der École normale aufgenommen zu werden . Er bestand und erhielt am 29. Dezember 1829 seinen Abschluss. Sein Prüfer in Mathematik berichtete: "Dieser Schüler drückt seine Ideen manchmal undurchsichtig aus, aber er ist intelligent und zeigt einen bemerkenswerten Forschergeist."

Mehrfach reichte er seine Memoiren zur Gleichungstheorie ein, die jedoch aufgrund verschiedener Ereignisse zu seinen Lebzeiten nie veröffentlicht wurden. Obwohl sein erster Versuch von Cauchy abgelehnt wurde, reichte er ihn im Februar 1830 auf Cauchys Vorschlag hin dem Sekretär der Akademie, Joseph Fourier , ein, um für den Grand Prix der Akademie in Betracht gezogen zu werden. Leider starb Fourier bald darauf und die Memoiren gingen verloren. Der Preis sollte in diesem Jahr posthum an Niels Henrik Abel und auch an Carl Gustav Jacob Jacobi verliehen werden . Trotz der verlorenen Memoiren veröffentlichte Galois in diesem Jahr drei Artikel. Man legte den Grundstein für die Galois-Theorie . Die zweite befasste sich mit der numerischen Auflösung von Gleichungen ( Wurzelfindung in der modernen Terminologie). Der dritte war ein wichtiger in der Zahlentheorie , in der das Konzept eines endlichen Körpers erstmals artikuliert wurde.

Politischer Brandstifter

Kampf um das Rathaus von Jean-Victor Schnetz . Galois hätte als überzeugter Republikaner an der Julirevolution von 1830 teilnehmen wollen, wurde aber vom Direktor der École Normale daran gehindert.

Galois lebte in einer Zeit politischer Unruhen in Frankreich. Karl X. war 1824 Ludwig XVIII . nachgefolgt , aber 1827 erlitt seine Partei einen großen Rückschlag bei den Wahlen, und 1830 erlangte die liberale Oppositionspartei die Mehrheit . Angesichts des politischen Widerstands der Kammern inszenierte Charles einen Staatsstreich und erließ seine berüchtigten Juliverordnungen , die die Julirevolution auslösten, die damit endete, dass Louis Philippe König wurde. Während ihre Kollegen an der Polytechnique auf den Straßen Geschichte schrieben, wurde Galois an der École Normale vom Direktor der Schule eingesperrt. Galois war empört und schrieb einen scharfen Brief, in dem er den Direktor kritisierte, den er bei der Gazette des Écoles einreichte und den Brief mit seinem vollen Namen unterzeichnete. Obwohl der Herausgeber der Gazette die Unterschrift für die Veröffentlichung unterließ, wurde Galois ausgeschlossen.

Obwohl seine Ausweisung offiziell am 4. Januar 1831 in Kraft getreten wäre, verließ Galois sofort die Schule und trat der standhaft republikanischen Artillerieeinheit der Nationalgarde bei . Er teilte seine Zeit zwischen seiner mathematischen Arbeit und seinen politischen Zugehörigkeiten auf. Aufgrund von Kontroversen um die Einheit wurde kurz nachdem Galois Mitglied wurde, am 31. Dezember 1830 die Artillerie der Nationalgarde aus Angst aufgelöst, dass sie die Regierung destabilisieren könnten. Etwa zur gleichen Zeit wurden neunzehn Offiziere der ehemaligen Einheit von Galois festgenommen und wegen Verschwörung zum Sturz der Regierung angeklagt.

Im April 1831 wurden die Offiziere von allen Anklagen freigesprochen, und am 9. Mai 1831 wurde ihnen zu Ehren ein Bankett abgehalten, bei dem viele berühmte Persönlichkeiten wie Alexandre Dumas anwesend waren . Das Verfahren wurde aufrührerisch. Irgendwann stand Galois auf und brachte einen Toast aus, bei dem er mit einem Dolch über seiner Tasse sagte: „Auf Louis Philippe “. Die Republikaner beim Bankett interpretierten Galois 'Toast als Drohung gegen das Leben des Königs und jubelten. Er wurde am folgenden Tag im Haus seiner Mutter festgenommen und bis zum 15. Juni 1831, als er seinen Prozess hatte, im Gefängnis von Sainte-Pélagie inhaftiert . Der Verteidiger von Galois behauptete geschickt, Galois habe tatsächlich gesagt: „Auf Louis-Philippe, wenn er verrät “, aber der Qualifikant sei im Jubel untergegangen. Der Staatsanwalt stellte noch ein paar weitere Fragen, und die Geschworenen, vielleicht beeinflusst von Galois' Jugend, sprachen ihn noch am selben Tag frei.

Am folgenden Bastille-Tag (14. Juli 1831) stand Galois an der Spitze eines Protests, trug die Uniform der aufgelösten Artillerie und kam schwer bewaffnet mit mehreren Pistolen, einem geladenen Gewehr und einem Dolch. Er wurde erneut festgenommen. Während seines Gefängnisaufenthalts trank Galois zum ersten Mal Alkohol, um seine Mithäftlinge anzustacheln. Einer dieser Insassen, François-Vincent Raspail , hielt in einem Brief vom 25. Juli fest, was Galois betrunken sagte. Auszug aus dem Schreiben:

Und ich sage Ihnen, ich werde anlässlich einer coquette de bas étage in einem Duell sterben . Warum? Weil sie mich einladen wird, ihre Ehre zu rächen, die ein anderer kompromittiert hat.
Weißt du, was mir fehlt, mein Freund? Ich kann es nur dir anvertrauen: es ist jemand, den ich nur im Geiste lieben und lieben kann. Ich habe meinen Vater verloren und niemand hat ihn je ersetzt, hörst du mich...?

Die erste Zeile ist eine eindringliche Prophezeiung darüber, wie Galois tatsächlich sterben würde; die zweite zeigt, wie sehr Galois vom Verlust seines Vaters betroffen war. Raspail fährt fort, dass Galois, immer noch im Delirium, einen Selbstmordversuch unternommen habe und dass es ihm gelungen wäre, wenn seine Mithäftlinge ihn nicht gewaltsam daran gehindert hätten. Monate später, als Galois' Prozess am 23. Oktober stattfand, wurde er wegen illegalen Tragens einer Uniform zu sechs Monaten Gefängnis verurteilt. Im Gefängnis entwickelte er seine mathematischen Ideen weiter. Er wurde am 29. April 1832 freigelassen.

Letzte Tage

Siméon Denis Poisson überprüfte Galois 'Papier zur Gleichungstheorie und erklärte es für "unverständlich".

Galois kehrte nach seinem Ausschluss aus der École Normale zur Mathematik zurück , obwohl er sich weiterhin politisch engagierte. Nachdem seine Ausweisung im Januar 1831 offiziell wurde, versuchte er, eine Privatklasse in fortgeschrittener Algebra zu gründen, die auf einiges Interesse stieß, aber dies ließ nach, da es schien, dass sein politischer Aktivismus Vorrang hatte. Siméon Denis Poisson bat ihn, seine Arbeit über die Gleichungstheorie einzureichen , was er am 17. Januar 1831 tat. Um den 4. Juli 1831 erklärte Poisson Galois 'Arbeit für "unverständlich" und erklärte, dass "[Galois'] Argument weder klar genug noch ausreichend entwickelt ist um uns zu erlauben, seine Strenge zu beurteilen"; Der Ablehnungsbericht endet jedoch mit einem ermutigenden Hinweis: "Dann würden wir dem Autor vorschlagen, sein gesamtes Werk zu veröffentlichen, um sich eine endgültige Meinung zu bilden." Während Poissons Bericht vor der Verhaftung von Galois am 14. Juli erstellt wurde, dauerte es bis Oktober, bis er Galois im Gefängnis erreichte. Angesichts seines Charakters und seiner damaligen Situation ist es nicht verwunderlich, dass Galois heftig auf das Ablehnungsschreiben reagierte und beschloss, seine Arbeiten nicht mehr über die Akademie zu veröffentlichen, sondern sie privat über seinen Freund Auguste Chevalier herauszugeben. Anscheinend ignorierte Galois Poissons Rat nicht, als er noch im Gefängnis begann, alle seine mathematischen Manuskripte zu sammeln, und bis zu seiner Freilassung am 29. April 1832 weiter an seinen Ideen feilte, woraufhin er irgendwie zu einem Duell überredet wurde.

Das tödliche Duell von Galois fand am 30. Mai statt. Die wahren Motive hinter dem Duell sind unklar. Über sie wurde viel spekuliert. Bekannt ist, dass er fünf Tage vor seinem Tod einen Brief an Chevalier geschrieben hat, der eindeutig auf eine zerbrochene Liebe anspielt.

Einige Archivuntersuchungen zu den Originalbriefen legen nahe, dass die Frau von romantischem Interesse Stéphanie-Félicie Poterin du Motel war, die Tochter des Arztes in der Herberge, in der Galois die letzten Monate seines Lebens verbrachte. Fragmente von Briefen von ihr, die von Galois selbst kopiert wurden (wobei viele Teile, wie z. B. ihr Name, entweder ausgelöscht oder absichtlich weggelassen wurden), sind verfügbar. Die Briefe deuten darauf hin, dass du Motel Galois einige ihrer Probleme anvertraut hatte, und dies könnte ihn veranlasst haben, das Duell selbst für sie zu provozieren. Diese Vermutung wird auch durch andere Briefe unterstützt, die Galois später in der Nacht vor seinem Tod an seine Freunde schrieb. Galois Cousin Gabriel Demante erwähnte auf die Frage, ob er den Grund des Duells kenne, dass Galois "sich in Gegenwart eines vermeintlichen Onkels und eines vermeintlichen Verlobten befand, von denen jeder das Duell provozierte". Galois selbst rief aus: "Ich bin das Opfer einer berüchtigten Kokette und ihrer beiden Betrüger."

Viel detailliertere Spekulationen auf der Grundlage dieser spärlichen historischen Details wurden von vielen Biographen von Galois (insbesondere von Eric Temple Bell in Men of Mathematics ) interpoliert, wie die häufig wiederholte Spekulation, dass der gesamte Vorfall von der Polizei und Royalisten inszeniert wurde Fraktionen, um einen politischen Feind zu eliminieren.

Als seinen Gegner im Duell nennt Alexandre Dumas Pescheux d'Herbinville, der tatsächlich einer der neunzehn Artillerieoffiziere war, deren Freispruch bei dem Bankett gefeiert wurde, das zu Galois' erster Verhaftung führte. Allerdings ist Dumas mit dieser Behauptung allein, und wenn er Recht hätte, ist unklar, warum d'Herbinville beteiligt gewesen wäre. Es wurde spekuliert, dass er zu dieser Zeit der "angebliche Verlobte" von du Motel war (sie heiratete schließlich jemand anderen), aber es wurden keine eindeutigen Beweise gefunden, die diese Vermutung stützen. Auf der anderen Seite geben erhaltene Zeitungsausschnitte von nur wenigen Tagen nach dem Duell eine Beschreibung seines Gegners (identifiziert durch die Initialen "LD"), die anscheinend genauer auf einen von Galois' republikanischen Freunden zutrifft, höchstwahrscheinlich Ernest Duchatelet, der wurde mit Galois unter denselben Anklagepunkten inhaftiert. Angesichts der widersprüchlichen verfügbaren Informationen könnte die wahre Identität seines Mörders für die Geschichte verloren gehen.

Was auch immer die Gründe für das Duell waren, Galois war von seinem bevorstehenden Tod so überzeugt, dass er die ganze Nacht aufblieb, um Briefe an seine republikanischen Freunde zu schreiben und sein mathematisches Testament zu verfassen, den berühmten Brief an Auguste Chevalier, in dem er seine Ideen skizzierte, und drei beigefügte Manuskripte . Der Mathematiker Hermann Weyl sagte über dieses Testament: "Dieser Brief ist, gemessen an der Neuheit und Tiefe der darin enthaltenen Ideen, vielleicht das umfangreichste Schriftstück in der gesamten Literatur der Menschheit." Die Legende von Galois, der in der Nacht vor seinem Tod seine mathematischen Gedanken zu Papier brachte, scheint jedoch übertrieben gewesen zu sein. In diesen Abschlussarbeiten skizzierte er die Ecken und Kanten einiger Arbeiten, die er in der Analyse geleistet hatte, und kommentierte eine Kopie des Manuskripts, das der Akademie vorgelegt wurde, und andere Arbeiten.

Das Galois-Denkmal auf dem Friedhof von Bourg-la-Reine . Évariste Galois wurde in einem Gemeinschaftsgrab beigesetzt, dessen genauer Ort noch unbekannt ist.

Am frühen Morgen des 30. Mai 1832 wurde er in den Unterleib geschossen , von seinen Gegnern und seinen eigenen Sekundanten ausgesetzt und von einem vorbeigehenden Bauern gefunden. Er starb am folgenden Morgen um zehn Uhr im Hôpital Cochin (wahrscheinlich an Bauchfellentzündung ), nachdem er die Ämter eines Priesters abgelehnt hatte. Seine Beerdigung endete in Unruhen. Es gab Pläne, während seiner Beerdigung einen Aufstand zu initiieren, aber zur gleichen Zeit hörten die Führer vom Tod von General Jean Maximilien Lamarque und der Aufstand wurde ohne Aufstand auf den 5. Juni verschoben . Nur Galois' jüngerer Bruder wurde vor Galois' Tod über die Ereignisse informiert. Galois war 20 Jahre alt. Seine letzten Worte an seinen jüngeren Bruder Alfred waren:

"Ne pleure pas, Alfred! J'ai besoin de tout mon Courage pour mourir à vingt ans!"
(Weine nicht, Alfred! Ich brauche all meinen Mut, um mit zwanzig zu sterben!)

Am 2. Juni wurde Évariste Galois in einem Gemeinschaftsgrab auf dem Friedhof von Montparnasse beigesetzt , dessen genauer Standort unbekannt ist. Auf dem Friedhof seiner Geburtsstadt Bourg-la-Reine wurde ihm zu Ehren neben den Gräbern seiner Verwandten ein Kenotaph errichtet.

1843 überprüfte Joseph Liouville sein Manuskript und erklärte es für gesund. Es wurde schließlich in der Oktober-November-Ausgabe 1846 des Journal de Mathématiques Pures et Appliquées veröffentlicht . Der berühmteste Beitrag dieses Manuskripts war ein neuartiger Beweis, dass es keine Quintenformel gibt – das heißt, dass Gleichungen fünften und höheren Grades im Allgemeinen nicht durch Radikale lösbar sind. Obwohl Niels Henrik Abel bereits 1824 die Unmöglichkeit einer "quintischen Formel" durch Radikale bewiesen hatte und Paolo Ruffini 1799 eine Lösung veröffentlicht hatte, die sich als fehlerhaft herausstellte, führten Galois' Methoden zu einer tieferen Erforschung dessen, was heute als Galois-Theorie bezeichnet wird. Zum Beispiel kann man damit für jede Polynomgleichung bestimmen, ob sie eine Lösung durch Radikale hat.

Beiträge zur Mathematik

Die letzte Seite von Galois' mathematischem Testament, von seiner eigenen Hand. Der Satz „um dieses ganze Durcheinander zu entschlüsseln“ („déchiffrer tout ce gâchis“) steht in der vorletzten Zeile.

Aus den Schlusszeilen eines Briefes von Galois an seinen Freund Auguste Chevalier vom 29. Mai 1832, zwei Tage vor Galois Tod:

Tu prieras publiquement Jacobi oder Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes.

Après cela, il y aura, j'espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.

(Bitten Sie Jacobi oder Gauß öffentlich, ihre Meinung zu äußern, nicht zur Wahrheit, aber zur Bedeutung dieser Theoreme. Später wird es hoffentlich einige Leute geben, die es zu ihrem Vorteil finden werden, all dieses Durcheinander zu entschlüsseln.)

Auf den rund 60 Seiten von Galois' gesammelten Werken finden sich viele wichtige Ideen, die weitreichende Konsequenzen für fast alle Bereiche der Mathematik hatten. Seine Arbeit wurde mit der von Niels Henrik Abel verglichen , einem anderen Mathematiker, der in sehr jungen Jahren starb, und viele ihrer Arbeiten hatten erhebliche Überschneidungen.

Algebra

Während viele Mathematiker vor Galois über die heutigen Gruppen nachdachten, war es Galois, der als erster das Wort Gruppe (auf Französisch groupe ) in einem dem heutigen technischen Sinn nahekommenden Sinn verwendete und damit zu den Begründern zählte des als Gruppentheorie bekannten Zweigs der Algebra . Er entwickelte das Konzept, das heute als Normaluntergruppe bekannt ist . Er nannte die Zerlegung einer Gruppe in ihre linke und rechte Nebenklasse eine echte Zerlegung, wenn die linke und die rechte Nebenklasse zusammenfallen, was heute als normale Untergruppe bekannt ist. Er führte auch das Konzept eines endlichen Feldes (zu seinen Ehren auch als Galois-Feld bekannt ) in im Wesentlichen der gleichen Form ein, wie es heute verstanden wird.

In seinem letzten Brief an Chevalier und den beigefügten Manuskripten, dem zweiten von drei, führte er grundlegende Untersuchungen linearer Gruppen über endlichen Feldern durch:

Galois-Theorie

Hauptartikel: Galois-Theorie

Galois' bedeutendster Beitrag zur Mathematik ist seine Entwicklung der Galois-Theorie. Er erkannte, dass die algebraische Lösung einer Polynomgleichung mit der Struktur einer Gruppe von Permutationen zusammenhängt , die mit den Wurzeln des Polynoms verbunden sind, der Galois-Gruppe des Polynoms. Er fand heraus, dass eine Gleichung in Radikalen gelöst werden kann, wenn man eine Reihe von Untergruppen ihrer Galois-Gruppe finden kann, jede in ihrem Nachfolger mit abelschem Quotienten normal, dh ihre Galois-Gruppe ist lösbar . Dies erwies sich als fruchtbarer Ansatz, den spätere Mathematiker neben der Gleichungstheorie , auf die Galois ihn ursprünglich anwandte, auf viele andere Bereiche der Mathematik anwendeten.

Analyse

Galois leistete auch einige Beiträge zur Theorie der abelschen Integrale und fortgesetzten Brüche .

Wie in seinem letzten Brief geschrieben, ging Galois vom Studium der elliptischen Funktionen zur Betrachtung der Integrale der allgemeinsten algebraischen Differentiale über, die heute Abelsche Integrale genannt werden. Er ordnete diese Integrale in drei Kategorien ein.

Fortgesetzte Brüche

In seiner ersten Arbeit im Jahr 1828 bewies Galois, dass der reguläre Kettenbruch, der eine quadratische Surd ζ darstellt , genau dann rein periodisch ist, wenn ζ eine reduzierte Surd ist, das heißt, und sein Konjugat erfüllt .

Tatsächlich zeigte Galois mehr als das. Er bewies auch, dass, wenn ζ eine reduzierte quadratische Surd und η ihre Konjugierte ist, die Kettenbrüche für ζ und für (−1/ η ) beide rein periodisch sind und der sich wiederholende Block in einem dieser Kettenbrüche das Spiegelbild ist des sich wiederholenden Blocks im anderen. In Symbolen haben wir

wobei ζ eine beliebige reduzierte quadratische Surd ist und η ihre Konjugierte ist.

Aus diesen beiden Sätzen von Galois lässt sich ein bereits Lagrange bekanntes Ergebnis ableiten. Wenn r  > 1 eine rationale Zahl ist, die kein perfektes Quadrat ist, dann

Insbesondere wenn n eine nicht quadratische positive ganze Zahl ist, enthält die reguläre fortgesetzte Brucherweiterung von √ n einen sich wiederholenden Block der Länge m , in dem die ersten m  − 1 Teilnenner eine palindromische Zeichenfolge bilden.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Externe Links