Absolute Konvergenz - Absolute convergence

In der Mathematik heißt es , dass eine unendliche Reihe von Zahlen absolut konvergiert (oder absolut konvergent ist ), wenn die Summe der Absolutwerte der Summanden endlich ist. Genauer gesagt, eine echte oder komplexe Serie soll absolut konvergieren , wenn für einige reelle Zahl ähnlicher Weise eine uneigentliche Integral einer Funktion , wird gesagt, konvergiert absolut , wenn das Integral des absoluten Werts des Integra endlich ist , das heißt, wenn

Absolute Konvergenz ist für das Studium unendlicher Reihen wichtig, weil ihre Definition stark genug ist, um Eigenschaften endlicher Summen zu haben, die nicht alle konvergenten Reihen besitzen, aber breit genug, um häufig vorzukommen. (Eine konvergente Reihe, die nicht absolut konvergent ist, heißt bedingt konvergent .) Absolut konvergente Reihen verhalten sich "schön". Beispielsweise ändern Umordnungen den Wert der Summe nicht. Dies gilt nicht für bedingt konvergente Reihen: Die alternierende harmonische Reihe konvergiert gegen, während ihre Umordnung (bei der das sich wiederholende Vorzeichenmuster aus zwei positiven Termen gefolgt von einem negativen Term besteht) gegen konvergiert

Hintergrund

Man kann die Konvergenz von Reihen untersuchen, deren Terme Elemente einer beliebigen abelschen topologischen Gruppe sind . Der Begriff der absoluten Konvergenz erfordert mehr Struktur, nämlich eine Norm , die eine positive reellwertige Funktion auf einer abelschen Gruppe ( additive geschrieben , mit Identitätselement 0) ist, so dass:

  1. Die Norm des Identitätselements von ist null:
  2. Für jeden impliziert
  3. Für jeden
  4. Für jeden

In diesem Fall induziert die Funktion die Struktur eines metrischen Raums (eine Art Topologie ) auf Wir können also -wertige Reihen betrachten und eine solche Reihe als absolut konvergent definieren, wenn

Insbesondere gelten diese Aussagen mit der Norm ( Absolutwert ) im Raum der reellen Zahlen oder komplexen Zahlen.

In topologischen Vektorräumen

Wenn ein topologischer Vektorraum (TVS) und eine (möglicherweise überzählige ) Familie ist, dann ist diese Familie absolut summierbar, wenn

  1. ist summierbar in (d. h. wenn der Grenzwert des Netzes konvergiert in wo ist die gerichtete Menge aller endlichen Teilmengen von gerichtet durch Inklusion und ), und
  2. für jede stetige Seminorm auf der Familie ist summierbar in

Wenn ist ein normabler Raum und wenn ist eine absolut summierbare Familie in dann sind notwendigerweise alle außer einer abzählbaren Sammlung von 's 0.

Absolut summable Familien spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der Kernräume .

Beziehung zur Konvergenz

Wenn bezüglich der Metrik vollständig ist, dann ist jede absolut konvergente Reihe konvergent. Der Beweis ist derselbe wie für komplexwertige Reihen: Leiten Sie aus der Vollständigkeit das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz her – eine Reihe ist genau dann konvergent, wenn ihre Enden in der Norm beliebig klein gemacht werden können – und wenden Sie die Dreiecksungleichung an.

Insbesondere für Reihen mit Werten in einem beliebigen Banach-Raum impliziert absolute Konvergenz Konvergenz. Das Umgekehrte gilt auch: Wenn absolute Konvergenz Konvergenz in einem normierten Raum impliziert, dann ist der Raum ein Banachraum.

Wenn eine Reihe konvergent, aber nicht absolut konvergent ist, heißt sie bedingt konvergent . Ein Beispiel für eine bedingt konvergente Reihe ist die alternierende harmonische Reihe . Viele Standardtests für Divergenz und Konvergenz, insbesondere der Verhältnistest und der Wurzeltest , zeigen absolute Konvergenz. Dies liegt daran, dass eine Potenzreihe im Inneren ihrer Konvergenzscheibe absolut konvergent ist.

Beweis, dass jede absolut konvergente Reihe komplexer Zahlen konvergent ist

Angenommen, das ist konvergent. Dann ist äquivalent konvergent, was dies impliziert und durch termweisen Vergleich nicht negativer Terme konvergiert. Es genügt zu zeigen, dass die Konvergenz dieser Reihen die Konvergenz von und für dann die Konvergenz von folgt, durch die Definition der Konvergenz komplexwertiger Reihen.

Die vorangegangene Diskussion zeigt, dass wir nur beweisen müssen, dass die Konvergenz von die Konvergenz von

Seien Sie konvergent. Da haben wir

Da konvergent ist, ist eine beschränkte monotone Folge von Partialsummen und muss auch konvergieren. Da dies der Unterschied zwischen konvergenten Reihen ist, schließen wir, dass es sich wie gewünscht auch um eine konvergente Reihe handelt.

Alternativer Beweis mit Cauchy-Kriterium und Dreiecksungleichung

Durch Anwendung des Cauchy-Kriteriums für die Konvergenz einer komplexen Reihe können wir diese Tatsache auch als einfache Implikation der Dreiecksungleichung beweisen . Durch das Cauchy - Kriterium , konvergent , wenn und nur wenn für irgendwelche existiert , so dass für jede Aber die Dreiecksungleichung bedeutet , dass das so für jede , die genau das Cauchy Kriterium für

Beweis, dass jede absolut konvergente Reihe in einem Banachraum konvergent ist

Das obige Ergebnis kann leicht auf jeden Banachraum verallgemeinert

werden. Sei eine absolut konvergente Reihe in As ist eine Cauchy-Folge reeller Zahlen, für jede und genügend große natürliche Zahl gilt:

Durch die Dreiecksungleichung für die Norm ǁ⋅ǁ erhält man sofort:

was bedeutet, dass dies eine Cauchy-Folge ist, daher ist die Reihe in konvergent

Umlagerungen und unbedingte Konvergenz

Im allgemeinen Kontext einer -wertigen Reihe wird zwischen absoluter und unbedingter Konvergenz unterschieden, und die Aussage, dass eine reelle oder komplexe Reihe, die nicht absolut konvergent ist, notwendigerweise bedingt konvergent (also nicht unbedingt konvergent) ist, ist dann ein Satz, nicht eine Definition. Dies wird weiter unten ausführlicher erörtert.

Gegeben eine Reihe mit Werten in einer normierten abelschen Gruppe und einer

Permutation der natürlichen Zahlen, baut man eine neue Reihe , die man als Umordnung der ursprünglichen Reihe bezeichnet. Eine Reihe heißt unbedingt konvergent, wenn alle Umordnungen der Reihe gegen denselben Wert konvergent sind.

Wenn sie vollständig ist, impliziert absolute Konvergenz unbedingte Konvergenz:

Satz  —  Sei eine vollständig normierte abelsche Gruppe. Vermuten

Wenn eine Permutation ist, dann

Die Frage der Umkehrung ist interessant. Für reelle Reihen folgt aus dem Riemann-Umlagerungssatz, dass unbedingte Konvergenz absolute Konvergenz impliziert. Da eine Reihe mit Werten in einem endlichdimensionalen normierten Raum absolut konvergent ist, wenn jede ihrer eindimensionalen Projektionen absolut konvergent ist, folgt daraus, dass absolute und unbedingte Konvergenz für -wertige Reihen zusammenfallen.

Es gibt aber unbedingt und nicht absolut konvergente Reihen mit Werten im Banachraum , zum Beispiel:

wo ist eine Orthonormalbasis. Ein Satz von

A. Dvoretzky und C. A. Rogers besagt , dass jeder unendlichdimensionale Banach-Raum eine unbedingt konvergente Reihe zulässt, die nicht absolut konvergent ist.

Beweis des Theorems

Für jeden können wir einige auswählen , die:

Lassen

Schließlich für jede ganze Zahl let

Dann

Dies zeigt, dass

das ist:

QED

Produkte der Serie

Das Cauchy-Produkt zweier Reihen konvergiert gegen das Produkt der Summen, wenn mindestens eine der Reihen absolut konvergiert. Das heißt, nehmen wir an, dass

Das Cauchy-Produkt ist als Summe von Termen definiert, wobei:

Wenn entweder die oder die Summe absolut konvergiert, dann

Absolute Konvergenz über Mengen

Eine Verallgemeinerung der absoluten Konvergenz einer Reihe ist die absolute Konvergenz einer Summe einer Funktion über eine Menge. Wir können zunächst abzählbar betrachten und eine Funktion Wir werden eine Definition unter der Summe von dem , über geschrieben als

Beachten Sie zunächst, dass die Reihe nicht durch die grundlegendere Definition einer Reihe verstanden werden kann , da noch keine bestimmte Aufzählung (oder "Indizierung") von angegeben wurde . Tatsächlich kann für bestimmte Beispiele von und die Summe von over überhaupt nicht definiert werden, da eine gewisse Indizierung eine bedingt konvergente Reihe erzeugen kann.

Daher definieren wir nur für den Fall, dass es eine absolut konvergente Bijektion gibt. Beachten Sie, dass hier "absolut konvergent" die grundlegendere Definition verwendet, die auf eine indizierte Reihe angewendet wird. In diesem Fall ist der Wert der

Summe von over definiert durch

Beachten Sie, dass, weil die Reihe absolut konvergent ist, jede Umordnung identisch mit einer anderen Wahl der Bijektion ist. Da alle diese Summen den gleichen Wert haben, ist die Summe von over wohldefiniert.

Noch allgemeiner können wir die Summe von over when unzählbar definieren. Aber zuerst definieren wir, was es bedeutet, dass die Summe konvergent ist.

Sei eine beliebige Menge, abzählbar oder abzählbar, und eine Funktion. Wir sagen, dass

die Summe von über absolut konvergiert, wenn

Es gibt einen Satz, der besagt, dass, wenn die Summe von over absolut konvergent ist, dann Werte ungleich Null auf einer Menge annimmt, die höchstens abzählbar ist. Daher ist das Folgende eine konsistente Definition der Summe von over, wenn die Summe absolut konvergent ist.

Beachten Sie, dass die letzte Reihe die Definition einer Reihe über einer zählbaren Menge verwendet.

Einige Autoren definieren eine iterierte Summe als absolut konvergent, wenn die iterierte Reihe Dies ist in der Tat äquivalent zur absoluten Konvergenz von Das heißt, wenn die Summe von über absolut konvergiert, wie oben definiert, dann konvergiert die iterierte Summe absolut, und umgekehrt umgekehrt.

Absolute Konvergenz von Integralen

Das Integral einer reellen oder komplexwertigen Funktion heißt

absolut konvergieren, wenn man auch sagt, dass es absolut integrierbar ist . Die Frage der absoluten Integrierbarkeit ist kompliziert und hängt davon ab, ob das Riemann- , Lebesgue- oder Kurzweil-Henstock- (Eich-)Integral betrachtet wird; für das Riemann-Integral hängt es auch davon ab, ob wir nur die Integrabilität im eigentlichen Sinne ( und beide beschränkt ) betrachten oder den allgemeineren Fall uneigentlicher Integrale zulassen.

Als Standardeigenschaft des Riemann-Integrals gilt, wenn ein beschränktes

Intervall ist , ist jede stetige Funktion beschränkt und (Riemann) integrierbar, und da stetig stetig impliziert , ist jede stetige Funktion absolut integrierbar. Da Riemann integrierbar ist, wenn (eigentlich) integrierbar und stetig ist, folgt daraus, dass richtig Riemann integrierbar ist, wenn is. Diese Implikation gilt jedoch nicht für uneigentliche Integrale. Zum Beispiel ist die Funktion auf ihrem unbeschränkten Gebiet uneigentlich Riemann-integrierbar, aber nicht absolut integrierbar:
Allgemeiner kann man in der Tat für jede beliebige Reihe die zugehörige
Stufenfunktion betrachten, die definiert ist durch Dann konvergiert absolut, konvergiert bedingt oder divergiert entsprechend dem entsprechenden Verhalten von

Anders verhält es sich beim Lebesgue-Integral, das beschränkte und unbeschränkte Integrationsbereiche nicht getrennt behandelt ( siehe unten ). Die Tatsache, dass das Integral von in den obigen Beispielen unbeschränkt ist, impliziert, dass es auch nicht im Lebesgue-Sinn integrierbar ist. In der Tat, da in der Lebesgueschen Integrationstheorie, die ist

messbar , ist (Lebesgue) integrierbar , wenn und nur wenn ist (Lebesgue) integrierbar. Entscheidend ist jedoch die Hypothese, die messbar ist; es ist im Allgemeinen nicht richtig, dass absolut integrierbare Funktionen auf integrierbar sind (einfach weil sie möglicherweise nicht messbar sind): Sei eine nicht messbare Teilmenge und betrachte, wo die charakteristische Funktion von Dann ist nicht Lebesgue messbar und somit nicht integrierbar, sondern eine Konstante Funktion und klar integrierbar.

Andererseits kann eine Funktion Kurzweil-Henstock-integrierbar sein, während dies nicht der Fall ist. Dies schließt den Fall von uneigentlich Riemann integrierbaren Funktionen ein.

Im Allgemeinen ist das Lebesgue-Integral einer reellwertigen Funktion auf jedem

Maßraum durch seine positiven und negativen Teile definiert, also die Fakten:
  1. integrierbar impliziert integrierbar
  2. messbar, integrierbar impliziert integrierbar

sind im Wesentlichen in die Definition des Lebesgue-Integrals eingebaut. Insbesondere wenn man die Theorie auf das Zählmaß einer Menge anwendet, gewinnt man den von Moore-Smith entwickelten Begriff der ungeordneten Summation von Reihen unter Verwendung von (jetzt so genannten) Netzen wieder. Wann fallen die Menge der natürlichen Zahlen, die Lebesgue-Integrabilität, die ungeordnete Summierbarkeit und die absolute Konvergenz zusammen.

Schließlich gilt alles Obige für Integrale mit Werten in einem Banach-Raum. Die Definition eines Banach-wertigen Riemann-Integrals ist eine offensichtliche Modifikation der üblichen. Für das Lebesgue-Integral muss man die Zerlegung in positive und negative Teile mit Daniells eher funktionsanalytischem Ansatz umgehen , um das Bochner-Integral zu erhalten .

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

zitierte Werke

Allgemeine Referenzen