Abstrakte Algebra - Abstract algebra

Bild eines Zauberwürfels
Die Permutationen des Zauberwürfels bilden eine Gruppe , ein grundlegendes Konzept der abstrakten Algebra.

In der Algebra , einem breiten Bereich der Mathematik , ist abstrakte Algebra (gelegentlich auch moderne Algebra genannt ) das Studium algebraischer Strukturen . Algebraische Strukturen umfassen Gruppen , Ringe , Körper , Module , Vektorräume , Gitter und Algebren . Der Begriff der abstrakte Algebra wurde im frühen 20. Jahrhundert prägt diesen Bereich der Studie von älteren Teilen der Algebra zu unterscheiden, und insbesondere von elementarem Algebra , die Verwendung von Variablen Zahlen bei der Berechnung und Argumentation zu vertreten.

Algebraische Strukturen mit ihren zugehörigen Homomorphismen bilden mathematische Kategorien . Die Kategorientheorie ist ein Formalismus, der es ermöglicht, Eigenschaften und Konstruktionen, die für verschiedene Strukturen ähnlich sind, einheitlich auszudrücken.

Universelle Algebra ist ein verwandtes Fach, das Arten von algebraischen Strukturen als einzelne Objekte untersucht. Zum Beispiel ist die Struktur der Gruppen ein einzelne Objekt in Universal-Algebra, die die genannten Vielzahl von Gruppen .

Geschichte

Wie in anderen Teilen der Mathematik haben konkrete Probleme und Beispiele eine wichtige Rolle bei der Entwicklung der abstrakten Algebra gespielt. Bis zum Ende des 19. Jahrhunderts waren viele – vielleicht die meisten – dieser Probleme in irgendeiner Weise mit der Theorie der algebraischen Gleichungen verbunden . Zu den Hauptthemen gehören:

Zahlreiche Lehrbücher der abstrakten Algebra beginnen mit axiomatischen Definitionen verschiedener algebraischer Strukturen und fahren dann mit der Feststellung ihrer Eigenschaften fort. Dies erweckt den falschen Eindruck, dass in der Algebra Axiome zuerst gekommen seien und dann als Motivation und Grundlage für weitere Studien gedient hätten. Die wahre Reihenfolge der historischen Entwicklung war fast genau das Gegenteil. Zum Beispiel hatten die hyperkomplexen Zahlen des 19. Jahrhunderts kinematische und physikalische Motivationen, forderten jedoch das Verständnis heraus. Die meisten Theorien, die heute als Teile der Algebra anerkannt sind, begannen als Sammlungen unterschiedlicher Fakten aus verschiedenen Zweigen der Mathematik, erhielten ein gemeinsames Thema, das als Kern diente, um den verschiedene Ergebnisse gruppiert wurden, und wurden schließlich auf der Grundlage einer gemeinsamen Reihe von Konzepte. Ein archetypisches Beispiel für diese fortschreitende Synthese findet sich in der Geschichte der Gruppentheorie .

Frühe Gruppentheorie

Es gab mehrere Fäden in der frühen Entwicklung der Gruppentheorie, die in der modernen Sprache lose der Zahlentheorie , der Gleichungstheorie und der Geometrie entsprachen .

Leonhard Euler betrachtete in seiner Verallgemeinerung des kleinen Satzes von Fermat algebraische Operationen auf Zahlen modulo eine ganze Zahl – modulare Arithmetik . Diese Untersuchungen wurden von Carl Friedrich Gauss viel weitergeführt , der die Struktur multiplikativer Restgruppen mod n betrachtet und viele Eigenschaften der auf diese Weise entstehenden zyklischen und allgemeineren abelschen Gruppen feststellte . In seinen Untersuchungen zur Komposition binärer quadratischer Formen hat Gauß ausdrücklich das Assoziativgesetz für die Komposition von Formen angegeben, aber wie Euler vor ihm scheint er mehr an konkreten Ergebnissen als an allgemeiner Theorie interessiert gewesen zu sein. 1870 gab Leopold Kronecker eine Definition einer abelschen Gruppe im Kontext idealer Klassengruppen eines Zahlenkörpers und verallgemeinerte Gauß' Arbeit; aber es scheint, dass er seine Definition nicht mit früheren Arbeiten über Gruppen, insbesondere Permutationsgruppen, verknüpft hat. 1882 erkannte Heinrich M. Weber unter Berücksichtigung derselben Frage den Zusammenhang und gab eine ähnliche Definition, die die Löschungseigenschaft beinhaltete, aber die Existenz des inversen Elements wegließ , was in seinem Kontext ausreichend war (endliche Gruppen).

Permutationen wurden von Joseph-Louis Lagrange in seinem 1770 erschienenen Aufsatz Réflexions sur la résolution algébrique des équations (Gedanken zur algebraischen Lösung von Gleichungen) untersucht , der Lösungen von algebraischen Gleichungen widmete, in denen er Lagrange-Resolventen einführte . Lagranges Ziel war es zu verstehen, warum Gleichungen dritten und vierten Grades Lösungsformeln zulassen, und er identifizierte als Schlüsselobjekte Permutationen der Wurzeln. Ein wichtiger neuer Schritt von Lagrange in dieser Arbeit war die abstrakte Betrachtung der Wurzeln, dh als Symbole und nicht als Zahlen. Er dachte jedoch nicht an die Zusammensetzung von Permutationen. Serendipitously, die erste Ausgabe von Edward Waring ‚s Meditationes Algebraicae ( Meditations on Algebra erschien) im selben Jahr mit einer erweiterten Version 1782 Waring veröffentlicht erwies sich den Fundamentalsatz der symmetrischen Polynome , und speziell die Beziehung zwischen den Wurzeln eines betrachtet quartische Gleichung und ihre resolvente kubische. Mémoire sur la résolution des équations ( Memoire on the Solving of Equations ) von Alexandre Vandermonde (1771) entwickelte die Theorie der symmetrischen Funktionen aus einem etwas anderen Blickwinkel, aber wie Lagrange, mit dem Ziel, die Lösbarkeit algebraischer Gleichungen zu verstehen.

Kronecker behauptete 1888, dass das Studium der modernen Algebra mit dieser ersten Arbeit von Vandermonde begann. Cauchy stellt ganz klar fest, dass Vandermonde bei dieser bemerkenswerten Idee Vorrang vor Lagrange hatte, was schließlich zum Studium der Gruppentheorie führte.

Paolo Ruffini war der erste, der die Theorie der Permutationsgruppen entwickelt hat , und wie seine Vorgänger auch im Zusammenhang mit der Lösung algebraischer Gleichungen. Sein Ziel war es, die Unmöglichkeit einer algebraischen Lösung einer allgemeinen algebraischen Gleichung mit einem Grad größer als vier festzustellen. Auf dem Weg zu diesem Ziel führte er den Begriff der Ordnung eines Elements einer Gruppe, die Konjugation, die Zyklenzerlegung von Elementen von Permutationsgruppen und die Begriffe von primitiv und imprimitiven ein und bewies einige wichtige Theoreme, die sich auf diese Konzepte beziehen, wie z

wenn G eine Untergruppe von S 5 ist, deren Ordnung durch 5 teilbar ist, dann enthält G ein Element der Ordnung 5.

Er kam jedoch aus, ohne das Konzept einer Gruppe oder gar einer Permutationsgruppe zu formalisieren. Den nächsten Schritt unternahm variste Galois im Jahr 1832, obwohl seine Arbeit bis 1846 unveröffentlicht blieb, als er zum ersten Mal die so genannte Abschlusseigenschaft einer Gruppe von Permutationen betrachtete, die er ausdrückte als

wenn man in einer solchen Gruppe die Substitutionen S und T hat, dann hat man die Substitution ST.

Die Theorie der Permutationsgruppen erhielt durch Augustin Cauchy und Camille Jordan eine weitreichende Weiterentwicklung , sowohl durch die Einführung neuer Konzepte als auch vor allem durch eine große Fülle von Ergebnissen über spezielle Klassen von Permutationsgruppen und sogar einige allgemeine Sätze. Jordan definierte unter anderem einen Begriff von Isomorphie , noch im Kontext von Permutationsgruppen, und er war es übrigens, der den Begriff Gruppe weit verbreitet hat.

Der abstrakte Begriff einer Gruppe tauchte zum ersten Mal 1854 in Arthur Cayleys Arbeiten auf. Cayley erkannte, dass eine Gruppe keine Permutationsgruppe (oder sogar endlich ) sein muss, sondern stattdessen aus Matrizen bestehen kann , deren algebraische Eigenschaften, wie z Multiplikation und Umkehrung untersuchte er in den folgenden Jahren systematisch. Viel später ging Cayley erneut auf die Frage ein, ob abstrakte Gruppen allgemeiner waren als Permutationsgruppen, und stellte fest, dass tatsächlich jede Gruppe zu einer Gruppe von Permutationen isomorph ist.

Moderne Algebra

Ende des 19. und Anfang des 20. Jahrhunderts kam es zu einem methodischen Wandel der Mathematik. Die abstrakte Algebra entstand zu Beginn des 20. Jahrhunderts unter dem Namen moderne Algebra . Sein Studium war Teil des Strebens nach mehr intellektueller Strenge in der Mathematik. Die Annahmen in der klassischen Algebra , von denen die gesamte Mathematik (und große Teile der Naturwissenschaften ) abhängen, waren zunächst axiomatische Systeme . Die Mathematiker waren nicht mehr damit zufrieden, Eigenschaften von konkreten Objekten zu bestimmen, und begannen, ihre Aufmerksamkeit der allgemeinen Theorie zuzuwenden. Formale Definitionen bestimmter algebraischer Strukturen begannen im 19. Jahrhundert zu entstehen. Zum Beispiel wurden Ergebnisse über verschiedene Gruppen von Permutationen als Instanzen von allgemeinen Sätzen angesehen, die einen allgemeinen Begriff einer abstrakten Gruppe betreffen . Fragen der Struktur und Klassifikation verschiedener mathematischer Objekte traten in den Vordergrund.

Diese Prozesse traten in der gesamten Mathematik auf, wurden aber in der Algebra besonders ausgeprägt. Für viele grundlegende algebraische Strukturen wie Gruppen , Ringe und Felder wurden formale Definitionen durch primitive Operationen und Axiome vorgeschlagen . Daher nahmen solche Dinge wie die Gruppentheorie und die Ringtheorie ihren Platz in der reinen Mathematik ein . Die algebraischen Untersuchungen allgemeiner Körper von Ernst Steinitz und von kommutativen und dann allgemeinen Ringen von David Hilbert , Emil Artin und Emmy Noether , aufbauend auf den Arbeiten von Ernst Kummer , Leopold Kronecker und Richard Dedekind , die Ideale in kommutativen Ringen betrachtet hatten, und von Georg Frobenius und Issai Schur über die Darstellungstheorie von Gruppen kam zur Definition der abstrakten Algebra. Diese Entwicklungen des letzten Viertels des 19. Jahrhunderts und im ersten Quartal des 20. Jahrhunderts wurden in systematisch ausgesetzt Bartel van der Waerden ‚s Moderne Algebra , die zweibändige Monographie veröffentlicht in 1930-1931, die für immer verändert für die mathematische Welt der Bedeutung von das Wort Algebra von der Gleichungstheorie zur Theorie der algebraischen Strukturen .

Grundlegendes Konzept

Durch die Abstrahierung verschiedener Detailmengen haben Mathematiker verschiedene algebraische Strukturen definiert, die in vielen Bereichen der Mathematik verwendet werden. Zum Beispiel sind fast alle untersuchten Systeme Mengen , für die die Sätze der Mengenlehre gelten. Jene Mengen, auf denen eine bestimmte binäre Operation definiert ist, bilden Magmen , auf die sowohl die Konzepte über Magmen als auch über Mengen zutreffen. Wir können der algebraischen Struktur zusätzliche Beschränkungen hinzufügen, wie z. B. Assoziativität (um Halbgruppen zu bilden ); Identität und Umkehrungen (um Gruppen zu bilden ); und andere komplexere Strukturen. Mit zusätzlicher Struktur könnten mehr Theoreme bewiesen werden, aber die Allgemeinheit ist eingeschränkt. Die "Hierarchie" algebraischer Objekte (im Sinne der Allgemeinheit) schafft eine Hierarchie der entsprechenden Theorien: Zum Beispiel können die Sätze der Gruppentheorie beim Studium von Ringen (algebraischen Objekten, die zwei binäre Operationen mit bestimmten Axiomen haben) verwendet werden, da ein Ring ist eine Gruppe über eine ihrer Operationen. Im Allgemeinen gibt es ein Gleichgewicht zwischen dem Grad der Allgemeinheit und dem Reichtum der Theorie: allgemeinere Strukturen haben normalerweise weniger nichttriviale Theoreme und weniger Anwendungen.

Algebraische Strukturen zwischen Magmen und Gruppen . Monoide sind beispielsweise Halbgruppen mit Identität.

Beispiele für algebraische Strukturen mit einer einzigen binären Operation sind:

Beispiele für mehrere Operationen sind:

Anwendungen

Aufgrund ihrer Allgemeingültigkeit wird die abstrakte Algebra in vielen Bereichen der Mathematik und Naturwissenschaften verwendet. Zum Beispiel verwendet die algebraische Topologie algebraische Objekte, um Topologien zu untersuchen. Die 2003 bewiesene Poincaré-Vermutung behauptet, dass die Fundamentalgruppe einer Mannigfaltigkeit, die Informationen über die Verbundenheit kodiert, verwendet werden kann, um zu bestimmen, ob eine Mannigfaltigkeit eine Kugel ist oder nicht. Die algebraische Zahlentheorie untersucht verschiedene Zahlenringe , die die Menge der ganzen Zahlen verallgemeinern. Mit Werkzeugen der algebraischen Zahlentheorie bewies Andrew Wiles den letzten Satz von Fermat .

In der Physik werden Gruppen verwendet, um Symmetrieoperationen darzustellen, und die Verwendung der Gruppentheorie könnte Differentialgleichungen vereinfachen. In der Eichtheorie kann die Forderung der lokalen Symmetrie verwendet werden, um die Gleichungen abzuleiten, die ein System beschreiben. Die Gruppen, die diese Symmetrien beschreiben, sind Lie-Gruppen , und das Studium von Lie-Gruppen und Lie-Algebren enthüllt viel über das physikalische System; zum Beispiel ist die Anzahl der Kraftträger in einer Theorie gleich der Dimension der Lie-Algebra, und diese Bosonen interagieren mit der Kraft, die sie vermitteln, wenn die Lie-Algebra nichtabelsch ist.

Siehe auch

Verweise

  1. ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Alexandre-Théophile Vandermonde" , MacTutor History of Mathematics Archiv , University of St Andrews
  2. ^ Schumm, Bruce (2004), Deep Down Things , Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 0-8018-7971-X

Quellen

Externe Links