Aktionswinkelkoordinaten - Action-angle coordinates

In der klassischen Mechanik sind Aktionswinkelkoordinaten ein Satz kanonischer Koordinaten , die zur Lösung vieler integrierbarer Systeme nützlich sind . Verfahren nach aktions Winkel ist nützlich für den Erhalt Frequenzen oszillatorischer oder Rotationsbewegung , ohne die Lösung Bewegungsgleichungen . Aktionswinkelkoordinaten werden hauptsächlich verwendet, wenn die Hamilton-Jacobi-Gleichungen vollständig trennbar sind. (Daher hängt der Hamilton-Operator nicht explizit von der Zeit ab, dh die Energie bleibt erhalten .) Aktionswinkelvariablen definieren einen invarianten Torus , der so genannt wird, weil das Halten der Aktionskonstante die Oberfläche eines Torus definiert , während die Winkelvariablen die Koordinaten parametrisieren auf dem Torus.

Die Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsbedingungen , die zur Entwicklung der Quantenmechanik vor dem Aufkommen der Wellenmechanik verwendet wurden , besagen, dass die Aktion ein ganzzahliges Vielfaches der Planckschen Konstante sein muss ; In ähnlicher Weise wurde Einsteins Einblick in die EBK-Quantisierung und die Schwierigkeit, nicht integrierbare Systeme zu quantisieren, als invariante Tori von Aktionswinkelkoordinaten ausgedrückt.

Aktionswinkelkoordinaten sind auch in der Störungstheorie der Hamiltonschen Mechanik nützlich , insbesondere bei der Bestimmung adiabatischer Invarianten . Eines der frühesten Ergebnisse der Chaostheorie für nichtlineare Störungen dynamischer Systeme mit einer geringen Anzahl von Freiheitsgraden ist das KAM-Theorem , das besagt, dass die invarianten Tori unter kleinen Störungen stabil sind.

Die Verwendung von Aktionswinkelvariablen war von zentraler Bedeutung für die Lösung des Toda-Gitters und für die Definition von Lax-Paaren oder allgemeiner für die Idee der isospektralen Entwicklung eines Systems.

Ableitung

Aktionswinkel ergeben sich aus einer kanonischen Transformation vom Typ 2 , bei der die Erzeugungsfunktion die charakteristische Funktion von Hamilton ist ( nicht die Hauptfunktion von Hamilton ). Da der ursprüngliche Hamilton-Operator nicht explizit von der Zeit abhängt, ist der neue Hamilton-Operator lediglich der alte Hamilton-Operator, ausgedrückt als neue kanonische Koordinaten , die wir als (die Aktionswinkel , die die verallgemeinerten Koordinaten sind ) und ihre neuen verallgemeinerten Impulse bezeichnen . Wir müssen hier nicht nach der Erzeugungsfunktion selbst suchen; Stattdessen werden wir es lediglich als Vehikel verwenden, um die neuen und alten kanonischen Koordinaten in Beziehung zu setzen . ${\ displaystyle W (\ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle K (\ mathbf {w}, \ mathbf {J})}$ ${\ displaystyle H (\ mathbf {q}, \ mathbf {p})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$ ${\ displaystyle W}$

Anstatt die Aktionswinkel direkt zu definieren, definieren wir stattdessen ihre verallgemeinerten Impulse, die der klassischen Aktion für jede ursprüngliche verallgemeinerte Koordinate ähneln ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$

{\ displaystyle J_ {k} \ equiv \ oint p_ {k} \, \ mathrm {d} q_ {k}}

wobei der Integrationspfad implizit durch die konstante Energiefunktion gegeben ist . Da die tatsächliche Bewegung nicht an dieser Integration beteiligt ist, sind diese verallgemeinerten Impulse Konstanten der Bewegung, was bedeutet, dass der transformierte Hamilton-Operator nicht von den konjugierten verallgemeinerten Koordinaten abhängt ${\ displaystyle E = E (q_ {k}, p_ {k})}$ ${\ displaystyle J_ {k}}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle w_ {k}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} J_ {k} = 0 = {\ frac {\ partielle K} {\ partielle w_ {k}}}

wobei die durch die typische Gleichung für eine kanonische Transformation vom Typ 2 gegeben sind ${\ displaystyle w_ {k}}$

{\ displaystyle w_ {k} \ equiv {\ frac {\ partielle W} {\ partielle J_ {k}}}}

Daher hängt der neue Hamilton-Operator nur von den neuen verallgemeinerten Impulsen ab . ${\ displaystyle K = K (\ mathbf {J})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$

Die Dynamik der Aktionswinkel ist durch Hamilton-Gleichungen gegeben

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} w_ {k} = {\ frac {\ partielle K} {\ partielle J_ {k}} \ equiv \ nu _ { k} (\ mathbf {J})}

Die rechte Seite ist eine Konstante der Bewegung (da alle sind). Daher ist die Lösung gegeben durch ${\ displaystyle J}$

{\ displaystyle w_ {k} = \ nu _ {k} (\ mathbf {J}) t + \ beta _ {k}}

Wo ist eine Konstante der Integration. Insbesondere wenn die ursprüngliche verallgemeinerte Koordinate eine Schwingung oder Drehung der Periode erfährt , ändert sich der entsprechende Aktionswinkel um . ${\ displaystyle \ beta _ {k}}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle w_ {k}}$ ${\ displaystyle \ Delta w_ {k} = \ nu _ {k} (\ mathbf {J}) T}$

Dies sind die Schwingungs- / Rotationsfrequenzen für die ursprünglichen verallgemeinerten Koordinaten . Um dies zu zeigen, integrieren wir die Nettoveränderung des Aktionswinkels über genau eine vollständige Variation (dh Oszillation oder Rotation) seiner verallgemeinerten Koordinaten ${\ displaystyle \ nu _ {k} (\ mathbf {J})}$ ${\ displaystyle q_ {k}}$ ${\ displaystyle w_ {k}}$ ${\ displaystyle q_ {k}}$

{\ displaystyle \ Delta w_ {k} \ equiv \ oint {\ frac {\ partielle w_ {k}} {\ partielle q_ {k}}} \, \ mathrm {d} q_ {k} = \ oint {\ frac {\ partiell ^ {2} W} {\ partiell J_ {k} \, \ partiell q_ {k}}} \, \ mathrm {d} q_ {k} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} J_ {k}}} \ oint {\ frac {\ partielles W} {\ partielles q_ {k}}} \, \ mathrm {d} q_ {k} = {\ frac {\ mathrm {d} } {\ mathrm {d} J_ {k}}} \ oint p_ {k} \, \ mathrm {d} q_ {k} = {\ frac {\ mathrm {d} J_ {k}} {\ mathrm {d } J_ {k}}} = 1}

Wenn wir die beiden Ausdrücke auf gleich setzen, erhalten wir die gewünschte Gleichung ${\ displaystyle \ Delta w_ {k}}$

{\ displaystyle \ nu _ {k} (\ mathbf {J}) = {\ frac {1} {T}}}

Die Aktionswinkel sind ein unabhängiger Satz verallgemeinerter Koordinaten . Somit kann im allgemeinen Fall jede ursprüngliche verallgemeinerte Koordinate als Fourier-Reihe in allen Aktionswinkeln ausgedrückt werden ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$ ${\ displaystyle q_ {k}}$

{\ displaystyle q_ {k} = \ sum _ {s_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum _ {s_ {2} = - \ infty} ^ {\ infty} \ cdots \ sum _ { s_ {N} = - \ infty} ^ {\ infty} A_ {s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {N}} ^ {k} e ^ {i2 \ pi s_ {1} w_ { 1}} e ^ {i2 \ pi s_ {2} w_ {2}} \ cdots e ^ {i2 \ pi s_ {N} w_ {N}}}

wo ist der Fourierreihenkoeffizient. In den meisten praktischen Fällen kann eine ursprüngliche verallgemeinerte Koordinate jedoch nur in ihren eigenen Aktionswinkeln als Fourier-Reihe ausgedrückt werden ${\ displaystyle A_ {s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {N}} ^ {k}}$ ${\ displaystyle q_ {k}}$ ${\ displaystyle w_ {k}}$

{\ displaystyle q_ {k} = \ sum _ {s_ {k} = - \ infty} ^ {\ infty} A_ {s_ {k}} ^ {k} e ^ {i2 \ pi s_ {k} w_ {k }}}

Zusammenfassung des Basisprotokolls

Das allgemeine Verfahren besteht aus drei Schritten:

Berechnen Sie die neuen verallgemeinerten Impulse ${\ displaystyle J_ {k}}$
Drücken Sie den ursprünglichen Hamilton-Operator vollständig in Bezug auf diese Variablen aus.
Nehmen Sie die Ableitungen des Hamilton-Operators in Bezug auf diese Impulse, um die Frequenzen zu erhalten ${\ displaystyle \ nu _ {k}}$

Entartung

In einigen Fällen sind die Frequenzen von zwei verschiedenen verallgemeinerten Koordinaten identisch, dh z . In solchen Fällen wird die Bewegung als entartet bezeichnet . ${\ displaystyle \ nu _ {k} = \ nu _ {l}}$ ${\ displaystyle k \ neq l}$

Entartete Bewegung signalisiert, dass es zusätzliche allgemein konservierte Mengen gibt; Beispielsweise sind die Frequenzen des Kepler-Problems entartet, was der Erhaltung des Laplace-Runge-Lenz-Vektors entspricht .

Eine entartete Bewegung signalisiert auch, dass die Hamilton-Jacobi-Gleichungen in mehr als einem Koordinatensystem vollständig trennbar sind. Beispielsweise ist das Kepler-Problem sowohl in sphärischen als auch in parabolischen Koordinaten vollständig trennbar .

Siehe auch

Verweise

LD Landau und EM Lifshitz, (1976) Mechanics , 3rd. Hrsg., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (Hardcover) und ISBN 0-08-029141-4 (Softcover).
H. Goldstein, (1980) Klassische Mechanik , 2 .. Hrsg., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
G. Sardanashvily , (2015) Handbuch integrierbarer Hamilton-Systeme , URSS. ISBN 978-5-396-00687-4
Previato, Emma (2003), Wörterbuch der angewandten Mathematik für Ingenieure und Wissenschaftler , CRC Press , Bibcode : 2003dame.book ..... P , ISBN 978-1-58488-053-0

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