Adiabatische Invariante - Adiabatic invariant

Eine Eigenschaft eines physikalischen Systems , wie die Entropie eines Gases, die ungefähr konstant bleibt, wenn Änderungen langsam auftreten, wird als adiabatische Invariante bezeichnet . Damit ist gemeint, dass, wenn ein System zwischen zwei Endpunkten variiert wird, wenn die Zeit für die Variation zwischen den Endpunkten auf unendlich erhöht wird, die Variation einer adiabatischen Invariante zwischen den beiden Endpunkten auf Null geht.

In der Thermodynamik ist ein adiabatischer Prozess eine Änderung, die ohne Wärmefluss auftritt. es kann langsam oder schnell sein. Ein reversibler adiabatischer Prozess ist ein adiabatischer Prozess, der im Vergleich zur Zeit bis zum Erreichen des Gleichgewichts langsam abläuft. In einem reversiblen adiabatischen Prozess befindet sich das System in allen Stadien im Gleichgewicht und die Entropie ist konstant. In der 1. Hälfte des 20. Jahrhunderts verwendeten die in der Quantenphysik tätigen Wissenschaftler den Begriff "adiabatisch" für reversible adiabatische Prozesse und später für sich allmählich ändernde Bedingungen, die es dem System ermöglichen, seine Konfiguration anzupassen. Die quantenmechanische Definition kommt dem thermodynamischen Konzept eines quasistatischen Prozesses näher und steht in keinem direkten Zusammenhang mit adiabatischen Prozessen in der Thermodynamik.

In der Mechanik ist eine adiabatische Änderung eine langsame Verformung des Hamilton-Operators , bei der die gebrochene Änderungsrate der Energie viel langsamer als die Umlauffrequenz ist. Der Bereich, der von den verschiedenen Bewegungen im Phasenraum umschlossen wird, sind die adiabatischen Invarianten .

In der Quantenmechanik tritt eine adiabatische Änderung mit einer Geschwindigkeit auf, die viel langsamer ist als die Frequenzdifferenz zwischen Energieeigenzuständen. In diesem Fall machen die Energiezustände des Systems keine Übergänge, so dass die Quantenzahl eine adiabatische Invariante ist.

Die alte Quantentheorie wurde formuliert, indem die Quantenzahl eines Systems mit seiner klassischen adiabatischen Invariante gleichgesetzt wurde. Dies bestimmte die Form der Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsregel : Die Quantenzahl ist die Fläche im Phasenraum der klassischen Umlaufbahn.

Thermodynamik

In der Thermodynamik sind adiabatische Änderungen diejenigen, die die Entropie nicht erhöhen. Sie treten im Vergleich zu den anderen charakteristischen Zeitskalen des interessierenden Systems langsam auf und ermöglichen nur einen Wärmefluss zwischen Objekten bei derselben Temperatur. Bei isolierten Systemen lässt eine adiabatische Änderung keine Wärme ein- oder ausströmen.

Adiabatische Expansion eines idealen Gases

Wenn ein Behälter mit einem idealen Gas sofort expandiert wird, ändert sich die Temperatur des Gases überhaupt nicht, da keines der Moleküle langsamer wird. Die Moleküle behalten ihre kinetische Energie, aber jetzt nimmt das Gas ein größeres Volumen ein. Wenn sich der Behälter jedoch langsam ausdehnt, so dass das ideale Gasdruckgesetz jederzeit gilt, verlieren Gasmoleküle Energie mit der Geschwindigkeit, mit der sie an der expandierenden Wand arbeiten. Der Arbeitsaufwand ist der Druck multipliziert mit der Fläche der Wand multipliziert mit der Verschiebung nach außen, dh dem Druck multipliziert mit der Änderung des Gasvolumens:

${\ displaystyle dW = PdV = {Nk_ {B} T \ über V} dV}$

Wenn keine Wärme in das Gas gelangt, nimmt die Energie in den Gasmolekülen um den gleichen Betrag ab. Per Definition ist ein Gas ideal, wenn seine Temperatur nur eine Funktion der inneren Energie pro Partikel ist, nicht des Volumens. So

${\ displaystyle dT = {1 \ über NC_ {v}} dE}$

Wo ist die spezifische Wärme bei konstantem Volumen. Wenn die Änderung der Energie ausschließlich auf Arbeiten an der Wand zurückzuführen ist, ist die Änderung der Temperatur gegeben durch: ${\ displaystyle C_ {v}}$

${\ displaystyle NC_ {v} dT = -dW = - {N {k_ {B}} T \ über V} dV}$

Dies ergibt eine unterschiedliche Beziehung zwischen den Änderungen von Temperatur und Volumen, die integriert werden kann, um die Invariante zu finden. Die Konstante ist nur ein Einheitsumrechnungsfaktor , der gleich eins gesetzt werden kann: ${\ displaystyle k_ {B}}$

${\ displaystyle \, d (C_ {v} N \ log T) = - d (N \ log V)}$

So

${\ displaystyle \, C_ {v} N \ log T + N \ log V}$

ist eine adiabatische Invariante, die mit der Entropie zusammenhängt

${\ displaystyle \, S = C_ {v} N \ log T + N \ log VN \ log N = N \ log (T ^ {C_ {v}} V / N)}$

Entropie ist also eine adiabatische Invariante. Der N  log ( N ) -Term macht das Entropieadditiv, so dass die Entropie von zwei Gasvolumina die Summe der Entropien von jedem ist.

In einer molekularen Interpretation, S ist der Logarithmus des Phasenraumvolumens aller Gaszustände mit Energie E ( T ) und das Volumen V .

Für ein einatomiges ideales Gas kann dies leicht durch Aufschreiben der Energie gesehen werden.

${\ displaystyle E = {1 \ über 2 m} \ sum _ {k} p_ {k1} ^ {2} + p_ {k2} ^ {2} + p_ {k3} ^ {2}}$

Die unterschiedlichen inneren Bewegungen des Gases mit der Gesamtenergie E definieren eine Kugel, die Oberfläche einer 3 N- dimensionalen Kugel mit Radius . Das Volumen der Kugel beträgt ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {2mE}}}$

${\ displaystyle {2 \ pi ^ {3N / 2} (2mE) ^ {{3N-1} \ over 2}} \ over {\ Gamma (3N / 2)}}$ ,

wo die Gamma - Funktion . ${\ displaystyle \ Gamma}$

Da sich jedes Gasmolekül irgendwo innerhalb des Volumens V befinden kann , beträgt das Volumen im Phasenraum, das von den Gaszuständen mit der Energie E eingenommen wird

${\ displaystyle {2 \ pi ^ {3N / 2} (2mE) ^ {{3N-1} \ over 2}} V ^ {N} \ over {\ Gamma (3N / 2)}}$ .

Da die N -Gasmoleküle nicht zu unterscheiden sind, wird das Phasenraumvolumen durch die Anzahl der Permutationen von N- Molekülen geteilt. ${\ displaystyle N! = \ Gamma (N + 1)}$

Unter Verwendung der Stirlingschen Näherung für die Gammafunktion und Ignorieren von Faktoren, die im Logarithmus verschwinden, nachdem N groß genommen wurde,

${\ displaystyle S = N {\ big (} 3/2 \ log (E) -3/2 \ log (3N / 2) + \ log (V) - \ log (N) {\ big)}}$

${\ displaystyle = N {\ big (} 3/2 \ log (\ scriptstyle {\ frac {2} {3}} \ displaystyle E / N) + \ log (V / N) {\ big)}}$

Da die spezifische Wärme eines einatomigen Gases 3/2 beträgt, entspricht dies der thermodynamischen Formel für die Entropie.

Wiener Gesetz - adiabatische Erweiterung einer Lichtkiste

Für eine Strahlungsbox, die die Quantenmechanik ignoriert, ist die Energie eines klassischen Feldes im thermischen Gleichgewicht unendlich , da die Äquipartition erfordert, dass jeder Feldmodus im Durchschnitt die gleiche Energie hat und es unendlich viele Moden gibt. Dies ist physikalisch lächerlich, da dadurch im Laufe der Zeit die gesamte Energie in hochfrequente elektromagnetische Wellen gelangt.

Ohne Quantenmechanik gibt es jedoch einige Dinge, die allein aus der Thermodynamik über die Gleichgewichtsverteilung gesagt werden können, da es immer noch einen Begriff der adiabatischen Invarianz gibt, der Kisten unterschiedlicher Größe in Beziehung setzt.

Wenn eine Box langsam erweitert wird, kann die Frequenz des von der Wand zurückfallenden Lichts aus der Doppler-Verschiebung berechnet werden . Wenn sich die Wand nicht bewegt, fällt das Licht mit der gleichen Frequenz zurück. Wenn sich die Wand langsam bewegt, ist die Rückstoßfrequenz nur in dem Rahmen gleich, in dem die Wand stationär ist. In dem Rahmen, in dem sich die Wand vom Licht wegbewegt, ist das einfallende Licht blauer als das aus dem Licht austretende Licht um den doppelten Doppler-Verschiebungsfaktor v / c .

${\ displaystyle \ Delta f = {2v \ over c} f}$

Andererseits wird die Energie im Licht auch verringert, wenn sich die Wand wegbewegt, weil das Licht durch Strahlungsdruck an der Wand arbeitet. Da das Licht reflektiert wird, entspricht der Druck dem doppelten Impuls des Lichts, nämlich E / c . Die Geschwindigkeit, mit der der Druck an der Wand wirkt, wird durch Multiplikation mit der Geschwindigkeit ermittelt:

${\ displaystyle \, \ Delta E = v {2E \ over c}}$

Dies bedeutet, dass die Änderung der Frequenz des Lichts gleich der Arbeit ist, die der Strahlungsdruck an der Wand leistet. Das reflektierte Licht ändert sich sowohl in der Frequenz als auch in der Energie um den gleichen Betrag:

${\ displaystyle {\ Delta f \ over f} = {\ Delta E \ over E}}$

Da eine langsame Bewegung der Wand eine feste Wärmeverteilung beibehalten sollte, muss die Wahrscheinlichkeit, dass das Licht die Energie E bei der Frequenz f hat, nur eine Funktion von E / f sein .

Diese Funktion kann nicht allein aus thermodynamischen Überlegungen bestimmt werden, und Wien vermutete die Form, die bei hoher Frequenz gültig war. Er nahm an, dass die durchschnittliche Energie in Hochfrequenzmoden durch einen Boltzmann-ähnlichen Faktor unterdrückt wurde. Dies ist nicht die erwartete klassische Energie im Modus, die durch Aufteilung erfolgt, sondern eine neue und ungerechtfertigte Annahme, die zu den Hochfrequenzdaten passt. ${\ displaystyle 1/2 \ beta}$

${\ displaystyle \, \ langle E_ {f} \ rangle = e ^ {- \ beta hf}}$

Wenn der Erwartungswert über alle Moden in einem Hohlraum addiert wird, ist dies die Wien-Verteilung und beschreibt die thermodynamische Energieverteilung in einem klassischen Photonengas. Das Wiener Gesetz geht implizit davon aus, dass Licht statistisch aus Paketen besteht, die Energie und Frequenz auf dieselbe Weise ändern. Die Entropie eines Wiener Gases skaliert als Volumen zur Potenz N , wobei N die Anzahl der Pakete ist. Dies führte Einstein zu dem Schluss, dass Licht aus lokalisierbaren Teilchen besteht, deren Energie proportional zur Frequenz ist. Dann kann die Entropie des Wiener Gases statistisch interpretiert werden als die Anzahl der möglichen Positionen, an denen sich die Photonen befinden können.

Klassische Mechanik - Aktionsvariablen

Angenommen, ein Hamilton-Operator ändert langsam die Zeit, beispielsweise ein eindimensionaler harmonischer Oszillator mit einer sich ändernden Frequenz.

${\ displaystyle H_ {t} (p, x) = {p ^ {2} \ über 2 m} + {m \ omega (t) ^ {2} x ^ {2} \ über 2} \,}$

Die Aktion J einer klassischen Umlaufbahn ist der Bereich, der von der Umlaufbahn im Phasenraum umschlossen ist.

${\ displaystyle J = \ int _ {0} ^ {T} p (t) {dx \ über dt} dt \,}$

Da J über einen ganzen Zeitraum ein Integral ist, ist es nur eine Funktion der Energie. Wenn der Hamilton-Operator zeitlich konstant und J zeitlich konstant ist, nimmt die kanonisch konjugierte Variable mit konstanter Geschwindigkeit zeitlich zu. ${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle {d \ theta \ over dt} = {\ partielles H \ über \ partielles J} = H \, '(J) \,}$

Die Konstante kann also verwendet werden, um Zeitableitungen entlang der Umlaufbahn in partielle Ableitungen in Bezug auf die Konstante J zu ändern . Die Differenzierung des Integrals für J in Bezug auf J ergibt eine Identität, die fixiert ${\ displaystyle H \, '}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle H \, ':}$

${\ displaystyle {dJ \ over dJ} = 1 = \ int _ {0} ^ {T} {\ bigg (} {\ partielles p \ über \ partielles J} {dx \ über dt} + p {\ partielles \ über \ partielles J} {dx \ über dt} {\ bigg)} dt = H \, '\ int _ {0} ^ {T} {\ bigg (} {\ partielles p \ über \ partielles J} {\ partielles x \ over \ partiell \ theta} - {\ partiell p \ over \ partiell \ theta} {\ partiell x \ über \ partiell J} {\ bigg)} dt \,}$

Der Integrand ist die Poisson-Klammer von x und p . Die Poisson-Klammer zweier kanonisch konjugierter Größen wie x und p ist in jedem kanonischen Koordinatensystem gleich 1. So

${\ displaystyle 1 = H \, '\ int _ {0} ^ {T} \ {x, p \} \, dt = H \,' \, T \,}$

und ist die inverse Periode. Die Variable erhöht sich in jeder Periode für alle Werte von J um den gleichen Betrag - es ist eine Winkelvariable. ${\ displaystyle H \, '}$${\ displaystyle \ theta}$

Adiabatische Invarianz von J.

Der Hamilton-Operator ist nur eine Funktion von J und im einfachen Fall des harmonischen Oszillators.

${\ displaystyle \, H = \ omega J \,}$

Wenn H keine Zeitabhängigkeit hat, ist J konstant. Wenn H langsam zeitlich variiert, kann die Änderungsrate von J berechnet werden, indem das Integral für J erneut ausgedrückt wird

${\ displaystyle J = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} p {\ partielles x \ über \ partielles \ theta} d \ theta \,}$

Die zeitliche Ableitung dieser Größe ist

${\ displaystyle {dJ \ over dt} = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ bigg (} {dp \ over dt} {\ partielles x \ über \ partielles \ theta} + p {d \ over dt} {\ partielles x \ über \ partielles \ theta} {\ bigg)} d \ theta \,}$

Das Ersetzen von Zeitableitungen durch Theta-Derivate, Verwenden und Setzen ohne Verlust der Allgemeinheit ( als globale multiplikative Konstante in der resultierenden Zeitableitung der Aktion) ergibt ${\ displaystyle d \ theta = \ omega dt \,}$${\ displaystyle \ omega: = 1 \,}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle {dJ \ over dt} = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ bigg (} {\ partielles p \ über \ partielles \ theta} {\ partielles x \ über \ partielles \ theta} + p {\ partiell \ über \ partiell \ theta} {\ partiell x \ über \ partiell \ theta} {\ bigg)} d \ theta \,}$

Solange also die Koordinaten J , ändern sich nicht wesentlich über eine Periode, kann dieser Ausdruck von Teilen integriert werden Null zu geben. Dies bedeutet, dass bei langsamen Variationen keine Änderung der niedrigsten Ordnung in dem von der Umlaufbahn umschlossenen Bereich auftritt. Dies ist der Satz der adiabatischen Invarianz - die Aktionsvariablen sind adiabatische Invarianten. ${\ displaystyle \ theta}$

Für einen harmonischen Oszillator ist die Fläche im Phasenraum einer Umlaufbahn bei Energie E die Fläche der Ellipse konstanter Energie.

${\ displaystyle E = {p ^ {2} \ über 2 m} + {m \ omega ^ {2} x ^ {2} \ über 2} \,}$

Der x- Radius dieser Ellipse ist , während der p- Radius der Ellipse ist . Multiplizieren ist die Fläche . Wenn also ein Pendel langsam eingezogen wird, so dass sich die Frequenz ändert, ändert sich die Energie um einen proportionalen Betrag. ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {2E / \ omega ^ {2} m}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {2mE}}}$${\ displaystyle 2 \ pi E / \ omega}$

Alte Quantentheorie

Nachdem Planck festgestellt hatte, dass das Wiener Gesetz durch Interpolation mit dem klassischen Äquipartitionsgesetz für Strahlung auf alle Frequenzen, auch auf sehr niedrige, ausgedehnt werden kann, wollten die Physiker das Quantenverhalten anderer Systeme verstehen.

Das Planck-Strahlungsgesetz quantisierte die Bewegung der Feldoszillatoren in Energieeinheiten proportional zur Frequenz:

${\ displaystyle E = hf = \ hbar \ omega \,}$

Das Quantum kann nur durch adiabatische Invarianz von der Energie / Frequenz abhängen, und da die Energie additiv sein muss, wenn Kisten aneinander gereiht werden, müssen die Ebenen gleich beabstandet sein.

Einstein, gefolgt von Debye, erweiterte den Bereich der Quantenmechanik, indem er die Schallmoden in einem Festkörper als quantisierte Oszillatoren betrachtete . Dieses Modell erklärte, warum die spezifische Wärme von Festkörpern bei niedrigen Temperaturen gegen Null ging, anstatt wie bei der klassischen Equipartition vorhergesagt fest zu bleiben . ${\ displaystyle 3k_ {B}}$

Auf der Solvay-Konferenz wurde die Frage der Quantisierung anderer Bewegungen aufgeworfen, und Lorentz wies auf ein Problem hin, das als Rayleigh-Lorentz-Pendel bekannt ist . Wenn Sie ein Quantenpendel betrachten, dessen Saite sehr langsam verkürzt wird, kann sich die Quantenzahl des Pendels nicht ändern, da zu keinem Zeitpunkt eine Frequenz vorhanden ist, die hoch genug ist, um einen Übergang zwischen den Zuständen zu bewirken. Die Frequenz des Pendels ändert sich jedoch, wenn die Saite kürzer ist, sodass die Quantenzustände die Energie ändern.

Einstein antwortete, dass sich beim langsamen Ziehen sowohl die Frequenz als auch die Energie des Pendels ändern, das Verhältnis jedoch fest bleibt. Dies ist analog zu Wiens Beobachtung, dass bei Zeitlupe der Wand das Energie-Frequenz-Verhältnis der reflektierten Wellen konstant ist. Die Schlussfolgerung war, dass die zu quantisierenden Größen adiabatische Invarianten sein müssen.

Diese Argumentation wurde von Sommerfeld zu einer allgemeinen Theorie erweitert: Die Quantenzahl eines beliebigen mechanischen Systems wird durch die adiabatische Aktionsvariable angegeben. Da die Aktionsvariable im harmonischen Oszillator eine ganze Zahl ist, ist die allgemeine Bedingung:

${\ displaystyle \ int pdq = nh \,}$

Diese Bedingung war die Grundlage der alten Quantentheorie , die das qualitative Verhalten atomarer Systeme vorhersagen konnte. Die Theorie ist für kleine Quantenzahlen ungenau, da sie klassische und Quantenkonzepte mischt. Aber es war ein nützlicher halber Schritt zur neuen Quantentheorie .

Plasmaphysik

In der Plasmaphysik gibt es drei adiabatische Invarianten der Bewegung geladener Teilchen.

Die erste adiabatische Invariante, μ

Das magnetische Moment eines sich drehenden Teilchens,

${\ displaystyle \ mu = {\ frac {mv _ {\ perp} ^ {2}} {2B}}}$

ist eine Konstante der Bewegung zu allen Ordnungen in einer Expansion in , wobei die Rate aller Änderungen ist, die das Teilchen erfährt, z. B. aufgrund von Kollisionen oder aufgrund zeitlicher oder räumlicher Variationen im Magnetfeld. Folglich bleibt das magnetische Moment selbst bei Änderungen mit Raten, die sich der Gyrofrequenz nähern, nahezu konstant. Wenn μ konstant ist, ist die senkrechte Teilchenenergie proportional zu B , so dass die Teilchen durch Erhöhen von B erwärmt werden können. Dies ist jedoch ein "One-Shot" -Deal, da das Feld nicht unbegrenzt erhöht werden kann. Es findet Anwendung in Magnetspiegeln und Magnetflaschen . ${\ displaystyle \ omega / \ omega _ {c}}$${\ displaystyle \ omega}$

Es gibt einige wichtige Situationen, in denen das magnetische Moment nicht unveränderlich ist:

• Magnetpumpen: Wenn die Kollisionsfrequenz größer als die Pumpfrequenz ist, bleibt μ nicht mehr erhalten. Insbesondere ermöglichen Kollisionen eine Nettowärmung, indem ein Teil der senkrechten Energie auf parallele Energie übertragen wird.
• Zyklotronerwärmung: Wenn B mit der Zyklotronfrequenz schwingt, wird die Bedingung für eine adiabatische Invarianz verletzt und eine Erwärmung ist möglich. Insbesondere dreht sich das induzierte elektrische Feld mit einigen Partikeln in Phase und beschleunigt sie kontinuierlich.
• Magnetischer Höckern: Das Magnetfeld in der Mitte einer Spitze verschwindet, so dass die Zyklotronfrequenz automatisch kleiner ist als die Rate der ist jegliche Änderungen. Somit bleibt das magnetische Moment nicht erhalten und Partikel werden relativ leicht in den Verlustkegel gestreut .

Die zweite adiabatische Invariante, J.

Die longitudinale Invariante eines in einem Magnetspiegel eingeschlossenen Teilchens ,

${\ displaystyle J = \ int _ {a} ^ {b} p _ {\ parallel} ds}$

wo das Integral zwischen den beiden Wendepunkten liegt, ist auch eine adiabatische Invariante. Dies garantiert zum Beispiel, dass ein Teilchen in der Magnetosphäre, das sich um die Erde bewegt, immer zur gleichen Kraftlinie zurückkehrt. Der adiabatische Zustand wird beim magnetischen Pumpen während der Laufzeit verletzt , bei dem die Länge eines Magnetspiegels mit der Sprungfrequenz oszilliert, was zu einer Nettoerwärmung führt.

Die dritte adiabatische Invariante, ${\ displaystyle \ Phi}$

Der gesamte magnetische Fluss, der von einer Driftoberfläche eingeschlossen wird, ist die dritte adiabatische Invariante, die mit der periodischen Bewegung von spiegelgefangenen Partikeln verbunden ist, die um die Achse des Systems driften. Da diese Driftbewegung relativ langsam ist, bleibt sie in praktischen Anwendungen oft nicht erhalten. ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Phi}$

Verweise

• Yourgrau, Wolfgang; Stanley Mandelstam (1979). Variationsprinzipien in Dynamik und Quantentheorie . New York: Dover. ISBN   978-0-486-63773-0 . §10
• Pauli, Wolfgang (1973). Charles P. Enz (Hrsg.). Pauli Vorlesungen über Physik . 4 . Cambridge, Messe: MIT Press. ISBN   978-0-262-66035-8 . S. 85–89

Externe Links

• Vorlesungsunterlagen zur zweiten adiabatischen Invariante
• Vorlesungsunterlagen zur dritten adiabatischen Invariante