Adjungierte Funktoren - Adjoint functors

In der Mathematik , insbesondere der Kategorientheorie , ist die Adjunktion eine Beziehung, die zwei Funktoren haben können. Zwei Funktoren, die in dieser Beziehung stehen, werden als adjungierte Funktoren bezeichnet , einer ist der linksadjungierte und der andere der rechtsadjungierte . Paare von adjungierten Funktoren sind in der Mathematik allgegenwärtig und entstehen oft aus Konstruktionen "optimaler Lösungen" für bestimmte Probleme (dh Konstruktionen von Objekten mit einer bestimmten universellen Eigenschaft ), wie der Konstruktion einer freien Gruppe auf einer Menge in der Algebra oder der Konstruktion der Stone-Čech-Kompaktifizierung eines topologischen Raums in der Topologie.

Per Definition ist eine Adjunktion zwischen Kategorien und ein Funktorpaar (als kovariant angenommen ) ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal{D}}}$

${\displaystyle F:{\mathcal{D}}\rightarrow {\mathcal{C}}}$   und   ${\displaystyle G:{\mathcal{C}}\rightarrow {\mathcal{D}}}$

und für alle Objekte in und in einer Bijektion zwischen den jeweiligen Morphismusmengen ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal{D}}}$

${\displaystyle \mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}$

so dass diese Bijektionsfamilie in und natürlich ist . Naturality bedeutet hier , dass es natürliche Isomorphismen zwischen dem Paar von functors und für eine feste in , und auch das Paar von functors und für eine feste in . ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal{C}}(F-,X):{\mathcal{D}}\to \mathrm {Menge}}$${\displaystyle {\mathcal{D}}(-,GX):{\mathcal{D}}\to \mathrm {Menge}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}(FY,-):{\mathcal {C}}\to \mathrm {Menge} }$${\displaystyle {\mathcal{D}}(Y,G-):{\mathcal{C}}\to \mathrm {Menge}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal{D}}}$

Der Funktor wird als linksadjungierter Funktor oder linksadjungiert zu bezeichnet , während er als rechtsadjungierter Funktor oder rechtsadjungiert zu bezeichnet wird . ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$

Eine Adjunktion zwischen den Kategorien und ist in gewisser Weise einer "schwachen Form" einer Äquivalenz zwischen und ähnlich , und tatsächlich ist jede Äquivalenz eine Adjunktion. In vielen Situationen kann eine Adjunktion durch eine geeignete natürliche Modifikation der beteiligten Kategorien und Funktoren zu einer Äquivalenz "aufgewertet" werden. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal{D}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal{D}}}$

Terminologie und Notation

Es werden zwei verschiedene Wurzeln verwendet: "adjunct" und "adjoint". Aus dem kürzeren englischen Wörterbuch von Oxford stammt "adjunct" aus dem Lateinischen, "adjoint" aus dem Französischen.

In Mac Lane, Kategorien für den arbeitenden Mathematiker, Kap. 4, "Adjoints", kann man die folgende Verwendung überprüfen. Eine Familie geschenkt

${\displaystyle \varphi _{XY}:\mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}$

von hom-set Bijektionen nennen wir eine "Adjunktion" oder eine "Adjunktion zwischen und ". Wenn ein Pfeil in ist , ist der rechte "Zusatz" von (S. 81). Der Funktor ist links "adjungiert" zu und rechtsadjungiert zu . (Beachten Sie, dass dies selbst ein rechtes Adjungat haben kann, das sich ganz von unterscheidet ; siehe unten für ein Beispiel.) ${\displaystyle\varphi}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)}$${\displaystyle\varphi f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$

Im Allgemeinen sind die Ausdrücke " ist linksadjungiert" und " hat rechtsadjungiert" äquivalent. ${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

Wenn F adjungiert zu G bleibt , schreiben wir auch

${\displaystyle F\dashv G.}$

Die Terminologie stammt aus der Hilbert - Raum Idee von Operatoren , mit , die auf die obige Beziehung zwischen hom-Sätzen formal ähnlich ist. Die Analogie zu adjungierten Abbildungen von Hilberträumen kann in bestimmten Zusammenhängen präzisiert werden. ${\displaystyle T}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \langle Ty,x\rangle =\langle y,Ux\rangle}$

Einführung und Motivation

Das Motto lautet "Adjungierte Funktoren entstehen überall".

—  Saunders Mac Lane, Kategorien für den arbeitenden Mathematiker

Die lange Liste von Beispielen in diesem Artikel zeigt, dass gängige mathematische Konstruktionen sehr oft adjungierte Funktoren sind. Folglich kodieren allgemeine Sätze über links/rechts-adjungierte Funktoren die Details vieler nützlicher und ansonsten nicht trivialer Ergebnisse. Zu solchen allgemeinen Sätzen gehören die Äquivalenz der verschiedenen Definitionen von adjungierten Funktoren, die Eindeutigkeit eines rechtsadjungierten für einen gegebenen linksadjungierten Funktor , die Tatsache, dass links-/ rechtsadjungierte Funktoren jeweils Kolimiten/Grenzwerte erhalten (die auch in jedem Bereich der Mathematik zu finden sind) , und die allgemeinen adjungierten Funktorsätze geben Bedingungen an, unter denen ein gegebener Funktor links/rechts adjungiert ist.

Lösungen für Optimierungsprobleme

In gewisser Weise ist ein adjungierter Funktor ein Weg, um die effizienteste Lösung eines Problems durch eine formelhafte Methode zu geben . Ein elementares Problem in der Ringtheorie ist beispielsweise, wie man einen rng (der wie ein Ring ist, der möglicherweise keine multiplikative Identität hat) in einen Ring umwandelt . Der effizienteste Weg besteht darin, ein Element '1' an den rng anzuhängen, alle (und nur) die Elemente anzufügen, die zur Erfüllung der Ringaxiome notwendig sind (zB r +1 für jedes r im Ring) und keine Relationen in aufzuerlegen der neu gebildete Ring, der nicht durch Axiome erzwungen wird. Darüber hinaus ist diese Konstruktion in dem Sinne formelhaft, dass sie für jeden Ring im Wesentlichen gleich funktioniert.

Dies ist ziemlich vage, aber suggestiv und kann in der Sprache der Kategorientheorie präzisiert werden: Eine Konstruktion ist am effizientesten, wenn sie eine universelle Eigenschaft erfüllt , und ist formelhaft, wenn sie einen Funktor definiert . Es gibt zwei Arten von universellen Eigenschaften: Anfangseigenschaften und Terminaleigenschaften. Da es sich um duale Begriffe handelt, ist es nur notwendig, einen von ihnen zu diskutieren.

Die Idee der Verwendung einer Anfangseigenschaft besteht darin, das Problem anhand einer Hilfskategorie E aufzustellen , so dass das vorliegende Problem dem Finden eines Anfangsobjekts von E entspricht . Dies hat den Vorteil, dass die Optimierung – das Gefühl, dass der Prozess die effizienteste Lösung findet – etwas Strenges bedeutet und erkennbar ist, ähnlich wie das Erreichen eines Supremums . Auch die Kategorie E ist in dieser Konstruktion formelhaft, da sie immer die Kategorie der Elemente des Funktors ist, zu der man einen Adjungierten konstruiert.

Zurück zu unserem Beispiel: Nehmen Sie den gegebenen rng R und bilden Sie eine Kategorie E, deren Objekte rng-Homomorphismen R → S sind , wobei S ein Ring mit multiplikativer Identität ist. Die Morphismen in E zwischen R → S ₁ und R → S ₂ sind kommutative Dreiecke der Form ( R → S ₁ , R → S ₂ , S ₁ → S ₂ ), wobei S ₁ → S ₂ eine Ringabbildung ist (die Die Identität). (Beachten Sie, dass dies genau die Definition der Kommakategorie von R über den Einschluss von unitären Ringen in rng ist.) Die Existenz eines Morphismus zwischen R → S ₁ und R → S ₂ impliziert, dass S ₁ eine mindestens ebenso effiziente Lösung ist als S ₂ zu unserem Problem: S ₂ kann mehr aneinandergrenzende Elemente und/oder mehr nicht durch Axiome auferlegte Relationen haben als S ₁ . Daher bedeutet die Behauptung, dass ein Objekt R → R* initial in E ist, dh dass es einen Morphismus von ihm zu einem anderen Element von E gibt , dass der Ring R * die effizienteste Lösung unseres Problems ist.

Die beiden Tatsachen, dass diese Methode, Ringe in Ringe zu verwandeln, am effizientesten und formelhaftsten ist, können gleichzeitig ausgedrückt werden, indem man sagt, dass sie einen adjungierten Funktor definiert . Genauer gesagt : Sei F den obigen Prozess des Anhängens einer Identität an einen rng, also F ( R )= R* . Sei G den Vorgang des „Vergessens“, ob ein Ring S eine Identität hat und betrachte ihn einfach als rng, also im Wesentlichen G ( S )= S . Dann ist F der linksadjungierte Funktor von G .

Beachten Sie jedoch, dass wir R* noch nicht wirklich konstruiert haben; es ist eine wichtige und nicht ganz triviale algebraische Tatsache, dass ein solcher linksadjungierter Funktor R → R* tatsächlich existiert.

Symmetrie von Optimierungsproblemen

Es ist auch möglich, mit dem Funktor F zu beginnen und die folgende (vage) Frage zu stellen: Gibt es ein Problem, für das F die effizienteste Lösung ist?

Die Vorstellung, dass F die effizienteste Lösung des von G gestellten Problems ist, ist in einem gewissen strengen Sinne äquivalent zu der Vorstellung, dass G das schwierigste Problem darstellt , das F löst.

Dies gibt die Intuition hinter der Tatsache , dass Adjunktion paarweise auftreten: Wenn F linker adjoint, ist G , dann G ist richtig adjoint zu F .

Formale Definitionen

Es gibt verschiedene äquivalente Definitionen für adjungierte Funktoren:

• Die Definitionen über universelle Morphismen sind leicht zu formulieren und erfordern minimale Überprüfungen, wenn man einen adjungierten Funktor konstruiert oder zwei Funktoren als adjungiert beweist. Sie sind auch unserer Intuition mit Optimierungen am ähnlichsten.
• Die Definition über hom-sets macht Symmetrie am deutlichsten und ist der Grund für die Verwendung des Wortes adjungiert .
• Die Definition mittels Count-Unit-Adjunktion ist praktisch für Beweise über Funktoren, die bekanntermaßen adjungiert sind, da sie Formeln liefern, die direkt manipuliert werden können.

Die Äquivalenz dieser Definitionen ist sehr nützlich. Adjungierte Funktoren treten überall, in allen Bereichen der Mathematik auf. Da die Struktur in jeder dieser Definitionen die Struktur in den anderen hervorbringt, werden beim Wechsel zwischen ihnen implizit viele langwierige Details verwendet, die sonst in jedem Themenbereich separat wiederholt werden müssten.

Konventionen

Der Theorie der Adjungierten liegen die Begriffe links und rechts zugrunde , und es gibt viele Komponenten, die in einer der beiden betrachteten Kategorien C und D leben. Daher kann es hilfreich sein, Buchstaben alphabetisch danach zu wählen, ob sie in der Kategorie „links“ C oder in der Kategorie „ D “ „rechts“ leben , und sie nach Möglichkeit auch in dieser Reihenfolge aufzuschreiben.

In diesem Artikel werden zum Beispiel die Buchstaben X , F , f , durchgängig Dinge bezeichnen, die in der Kategorie C leben , die Buchstaben Y , G , g , η werden durchweg Dinge bezeichnen, die in der Kategorie D leben , und wann immer möglich solche Dinge werden der Reihe nach von links nach rechts bezeichnet (ein Funktor F  : D → C kann man sich als "lebend" vorstellen, wo seine Ausgaben in C sind ).

Definition über universelle Morphismen

Per Definition ist ein Funktor ein linksadjungierter Funktor, wenn für jedes Objekt darin ein universeller Morphismus von bis existiert . Buchstabierte, bedeutet dies , dass für jedes Objekt in dort ein Objekt existiert in und einen Morphismus , so dass für jedes Objekt in und jeden Morphismus einen Morphismus existiert mit . ${\displaystyle F:D\to C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle G(X)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \epsilon_{X}:F(G(X))\to X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f:F(Y)\nach X}$${\displaystyle g:Y\to G(X)}$${\displaystyle \epsilon_{X}\circ F(g)=f}$

Letztere Gleichung wird durch das folgende kommutative Diagramm ausgedrückt :

In dieser Situation kann man zeigen, dass auf einzigartige Weise in einen Funktor umgewandelt werden kann , so dass für alle Morphismen in ; heißt dann linksadjungiert zu . ${\displaystyle G}$${\displaystyle G:C\to D}$${\displaystyle \epsilon_{X}\circ F(G(f))=f\circ \epsilon_{X'}}$${\displaystyle f:X'\to X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

Ebenso können wir rechtsadjungierte Funktoren definieren. Ein Funktor ist ein rechtsadjungierter Funktor, wenn für jedes Objekt in ein universeller Morphismus von bis existiert . Buchstabierte, bedeutet dies , dass für jedes Objekt in , gibt ein Objekt existiert in und einen Morphismus , so dass für jedes Objekt in und jeden Morphismus einen Morphismus existiert mit . ${\displaystyle G:C\to D}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle D}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle G}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle D}$${\displaystyle F(Y)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \eta_{Y}:Y\to G(F(Y))}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle g:Y\to G(X)}$${\displaystyle f:F(Y)\nach X}$${\displaystyle G(f)\circ \eta_{Y}=g}$

Dies kann wiederum eindeutig in einen Funktor umgewandelt werden, so dass für einen Morphismus in ; heißt dann rechtsadjungiert zu . ${\displaystyle F}$${\displaystyle F:D\to C}$${\displaystyle G(F(g))\circ \eta_{Y}=\eta_{Y'}\circ g}$${\displaystyle g:Y\to Y'}$${\displaystyle D}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$

Es ist wahr, wie die Terminologie impliziert, dass linksadjungiert zu genau dann ist, wenn rechtsadjungiert zu ist . ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$

Diese Definitionen über universelle Morphismen sind oft nützlich, um festzustellen, ob ein bestimmter Funktor links- oder rechtsadjungiert ist, da sie in ihren Anforderungen minimalistisch sind. Sie sind auch intuitiv sinnvoll, da das Finden eines universellen Morphismus wie das Lösen eines Optimierungsproblems ist.

Definition über Hom-Set-Adjunktion

Eine hom-set Adjunktion zwischen zwei Kategorien C und D besteht aus zwei Funktoren F  : D → C und G  : C → D und einem natürlichen Isomorphismus

${\displaystyle \Phi :\mathrm {hom} _{C}(F-,-)\to \mathrm {hom} _{D}(-,G-)}$.

Dies spezifiziert eine Familie von Bijektionen

${\displaystyle \Phi_{Y,X}:\mathrm {hom} _{C}(FY,X)\to \mathrm {hom}_{D}(Y,GX)}$

für alle Objekte X in C und Y in D .

In dieser Situation F ist links adjoint zu G und G ist richtig adjoint zu F .

Diese Definition ist insofern ein logischer Kompromiss, als sie etwas schwieriger zu erfüllen ist als die universellen Morphismus-Definitionen und weniger unmittelbare Auswirkungen hat als die Count-Unit-Definition. Es ist wegen seiner offensichtlichen Symmetrie nützlich und als Sprungbrett zwischen den anderen Definitionen.

Um Φ als natürlichen Isomorphismus zu interpretieren , muss man hom _C ( F –, –) und hom _D (–, G –) als Funktoren erkennen. Tatsächlich sind sie beide Bifunktoren von D ^op × C bis Set (der Kategorie der Mengen ). Weitere Informationen finden Sie im Artikel zu Hom-Funktoren . Explizit bedeutet die Natürlichkeit von Φ, dass für alle Morphismen f  : X → X′ in C und alle Morphismen g  : Y ′ → Y in D das folgende Diagramm kommutiert :

Die vertikalen Pfeile in diesem Diagramm sind die durch die Zusammensetzung induzierten. Formal ist Hom( Fg , f ) : Hom _C ( FY , X ) → Hom _C ( FY′ , X′ ) gegeben durch h → f o h o Fg für jedes h in Hom _C ( FY , X ). Hom( g , Gf ) ist ähnlich.

Definition über Count-Unit-Adjunktion

Eine Count-Unit-Adjunktion zwischen zwei Kategorien C und D besteht aus zwei Funktoren F  : D → C und G  : C → D und zwei natürlichen Transformationen

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &:FG\to 1_{\mathcal {C}}\\\eta &:1_{\mathcal {D}}\to GF\end{aligned}}}$

bezeichnet jeweils die counit und die Einheit der adjunction (Terminologie aus Universelle Algebra ), so dass die Zusammensetzungen

${\displaystyle F{\xrightarrow {\;F\eta\;}}FGF{\xrightarrow {\;\varepsilon F\,}}F}$

${\displaystyle G{\xrightarrow {\;\eta G\;}}GFG{\xrightarrow {\;G\varepsilon\,}}G}$

sind die Identität Transformationen 1 _F und 1 _G auf F und G sind.

In dieser Situation sagen wir, dass F linksadjungiert zu G ist und G rechtsadjungiert zu F ist , und können diese Beziehung schriftlich  oder einfach   angeben    . ${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$${\displaystyle F\dashv G}$

In Gleichungsform sind die obigen Bedingungen an ( ε , η ) die Count-Unit-Gleichungen

${\displaystyle {\begin{aligned}1_{F}&=\varepsilon F\circ F\eta \\1_{G}&=G\varepsilon \circ \eta G\end{aligned}}}$

was bedeutet, dass für jedes X in C und jedes Y in D ,

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}1_{FY}&=\varepsilon_{FY}\circ F(\eta_{Y})\\1_{GX}&=G(\varepsilon_{X})\ Kreis \eta _{GX}\end{ausgerichtet}}}$.

Beachten Sie, dass die Identifizierung Funktor auf der Kategorie bezeichnet , bezeichnet die Identität natürliche Transformation von der Funktor F auf sich selbst, und bezeichnet die Identität morphism des Objekts FY . ${\displaystyle 1_{\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle 1_{F}}$${\displaystyle 1_{FY}}$

Diese Gleichungen sind nützlich, um Beweise über adjungierte Funktoren auf algebraische Manipulationen zu reduzieren. Sie werden manchmal als Dreiecksidentitäten oder manchmal als Zick-Zack-Gleichungen bezeichnet, weil die entsprechenden Zeichenfolgendiagramme erscheinen . Eine Möglichkeit, sich an sie zu erinnern, besteht darin, zuerst die unsinnige Gleichung aufzuschreiben und dann entweder F oder G auf eine der beiden einfachen Arten auszufüllen , die die Kompositionen definieren. ${\displaystyle 1=\varepsilon\circ\eta}$

Hinweis: Die Verwendung des Präfixes "co" in counit ist hier nicht mit der Terminologie von Grenzwerten und Kolimiten vereinbar, da ein Kolimit eine anfängliche Eigenschaft erfüllt, während die counit-Morphismen terminale Eigenschaften erfüllen , und zwar dual. Der Begriff Einheit ist hier der Monadentheorie entlehnt, wo es wie das Einfügen der Identität 1 in ein Monoid aussieht.

Geschichte

Die Idee der adjungierten Funktoren wurde 1958 von Daniel Kan eingeführt . Wie viele der Konzepte in der Kategorientheorie wurde sie durch die Bedürfnisse der homologischen Algebra vorgeschlagen , die zu dieser Zeit der Berechnung gewidmet war. Diejenigen, die mit einer sauberen, systematischen Präsentation des Themas konfrontiert waren, würden Zusammenhänge wie

hom( F ( X ), Y ) = hom ( X , G ( Y ))

in der Kategorie der abelschen Gruppen , wobei F der Funktor war (dh das Tensorprodukt mit A nehmen ) und G der Funktor hom( A ,–) war (dies ist jetzt als Tensor-hom-Adjunktion bekannt ). Die Verwendung des Gleichheitszeichens ist ein Notationsmissbrauch ; diese beiden Gruppen sind nicht wirklich identisch, aber es gibt einen natürlichen Weg, sie zu identifizieren . Es kann als natürlich angesehen werden, erstens daran, dass dies zwei alternative Beschreibungen der bilinearen Abbildungen von X × A auf Y sind . Dies ist jedoch etwas Besonderes für das Tensorprodukt. In der Kategorientheorie wird die ' Natürlichkeit ' der Bijektion unter den Begriff eines natürlichen Isomorphismus subsumiert . ${\displaystyle -\otimes A}$

Allgegenwart

Wenn man nach diesen adjungierten Funktorpaaren sucht, stellt sich heraus, dass sie in der abstrakten Algebra und auch anderswo sehr häufig vorkommen . Der folgende Beispielabschnitt belegt dies; außerdem führen universelle Konstruktionen , die einigen vielleicht bekannter sind, zu zahlreichen adjungierten Funktorpaaren.

In Übereinstimmung mit der Denkweise von Saunders Mac Lane sollte jede Idee, wie etwa adjungierte Funktoren, die in der Mathematik weit genug vorkommt, um ihrer selbst willen studiert werden.

Konzepte können sowohl nach ihrer Verwendung bei der Lösung von Problemen als auch nach ihrer Verwendung in Bautheorien beurteilt werden. Die Spannung zwischen diesen beiden Motivationen war in den 1950er Jahren besonders groß, als die Kategorientheorie erstmals entwickelt wurde. Betreten Sie Alexander Grothendieck , der die Kategorientheorie verwendet hat, um in anderen Arbeiten Kompass-Peilungen vorzunehmen – in der Funktionsanalyse , der homologischen Algebra und schließlich der algebraischen Geometrie .

Es ist wahrscheinlich falsch zu sagen, dass er das Konzept des adjungierten Funktors isoliert propagierte: aber die Anerkennung der Rolle der Adjunktion war Grothendiecks Ansatz inhärent. Eine seiner größten Errungenschaften war zum Beispiel die Formulierung der Serre-Dualität in relativer Form – lose in einer kontinuierlichen Familie algebraischer Varietäten. Der gesamte Beweis drehte sich um die Existenz eines Rechts neben einem bestimmten Funktor. Dies ist etwas unbestreitbar Abstraktes und Nicht-Konstruktives, aber auch auf seine Weise kraftvoll.

Beispiele

Kostenlose Gruppen

Die Konstruktion freier Gruppen ist ein gängiges und aufschlussreiches Beispiel.

Sei F  : Set → Grp der Funktor, der jeder Menge Y die von den Elementen von Y erzeugte freie Gruppe zuweist , und sei G  : Grp → Set der vergessliche Funktor , der jeder Gruppe X ihre zugrunde liegende Menge zuweist . Dann ist F linksadjungiert zu G :

Anfängliche Morphismen. Für jede Menge Y ist die Menge GFY nur die unterliegende Menge der von Y erzeugten freien Gruppe FY . Sei     die durch "Inklusion von Generatoren" gegebene Mengenabbildung. Dies ist ein erster morphism von Y bis G , da jeder Satz der Karte von Y mit dem darunterliegenden Satz GW irgendeiner Gruppe W Willen Faktor durch     über eine einzigartige Gruppe von Homomorphismus FY zu W . Dies ist genau die universelle Eigenschaft der freien Gruppe auf Y . ${\displaystyle \eta_{Y}:Y\to GFY}$${\displaystyle \eta_{Y}:Y\to GFY}$

Terminale Morphismen. Für jede Gruppe X ist die Gruppe FGX die freie Gruppe, die von GX , den Elementen von X, frei generiert wird . Sei     der Gruppenhomomorphismus, der die Generatoren von FGX zu den Elementen von X schickt , denen sie entsprechen, die durch die universelle Eigenschaft freier Gruppen existiert. Dann wird jedes     ist ein Terminal morphism von F zu X , weil jede Gruppe Homomorphismus von einer freien Gruppe FZ zu X wird durch Faktor     über einen einzigartigen Satz Karte von Z bis GX . Dies bedeutet, dass ( F , G ) ein adjungiertes Paar ist. ${\displaystyle \varepsilon_{X}:FGX\to X}$${\displaystyle (GX,\varepsilon_{X})}$${\displaystyle \varepsilon_{X}:FGX\to X}$

Home-Set-Zusatz. Gruppenhomomorphismen von der freien Gruppe FY auf eine Gruppe X entsprechen genau Abbildungen von der Menge Y auf die Menge GX : jeder Homomorphismus von FY nach X ist vollständig durch seine Wirkung auf Generatoren bestimmt, eine weitere Neuformulierung der universellen Eigenschaft freier Gruppen. Man kann direkt verifizieren, dass diese Entsprechung eine natürliche Transformation ist, also eine hom-set Adjunktion für das Paar ( F , G ).

Count-Unit-Adjunktion. Man kann auch direkt nachweisen, dass ε und η natürlich sind. Dann ist eine direkte Überprüfung, dass sie eine Count-Unit-Adjunktion bilden,     wie folgt: ${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$

Die erste Count-Unit-Gleichung     besagt, dass für jede Menge Y die Zusammensetzung ${\displaystyle 1_{F}=\varepsilon F\circ F\eta}$

${\displaystyle FY{\xrightarrow {\;F(\eta_{Y})\;}}FGFY{\xrightarrow {\;\varepsilon_{FY}\,}}FY}$

sollte die Identität sein. Die Zwischengruppe FGFY ist die freie Gruppe, die durch die Wörter der freien Gruppe FY frei erzeugt wird . (Stellen Sie sich diese Wörter in Klammern vor, um anzuzeigen, dass sie unabhängige Generatoren sind.) Der Pfeil     ist der Gruppenhomomorphismus von FY in FGFY , der jeden Generator y von FY an das entsprechende Wort der Länge eins ( y ) als Generator von FGFY sendet . Der Pfeil     ist die Gruppe von Homomorphismus FGFY zu FY jeder Generator an das Wort des Sendens FY er entspricht (so dass diese Karte „dropping Klammern“). Die Zusammensetzung dieser Karten ist tatsächlich die Identität auf FY . ${\displaystyle F(\eta_{Y})}$${\displaystyle \varepsilon_{FY}}$

Die zweite Count-Unit-Gleichung     besagt, dass für jede Gruppe X die Zusammensetzung ${\displaystyle 1_{G}=G\varepsilon\circ\eta G}$

 ${\displaystyle GX{\xrightarrow {\;\eta_{GX}\;}}GFGX{\xrightarrow {\;G(\varepsilon_{X})\,}}GX}$ 

sollte die Identität sein. Die Zwischenmenge GFGX ist nur die zugrunde liegende Menge von FGX . Der Pfeil     ist die Set-Map "Inklusion von Generatoren" vom Set GX zum Set GFGX . Der Pfeil     ist die Mengenabbildung von GFGX zu GX , die dem Gruppenhomomorphismus zugrunde liegt, der jeden Generator von FGX zu dem Element von X sendet , dem er entspricht ("fallende Klammern"). Die Zusammensetzung dieser Karten ist tatsächlich die Identität auf GX . ${\displaystyle \eta _{GX}}$${\displaystyle G(\varepsilon_{X})}$

Freie Konstruktionen und vergessene Funktoren

Freie Objekte sind alle Beispiele für einen linken Adjungierten zu einem vergessenen Funktor, der einem algebraischen Objekt seine zugrunde liegende Menge zuweist. Diese algebraischen freien Funktoren haben im Allgemeinen dieselbe Beschreibung wie in der obigen ausführlichen Beschreibung der Situation der freien Gruppe.

Diagonalfunktionen und Grenzen

Produkte , Faserprodukte , Equalizer und Kernel sind alles Beispiele für den kategorischen Begriff eines Grenzwerts . Jeder Grenzwertfunktor ist direkt neben einem entsprechenden Diagonalfunktor (vorausgesetzt, die Kategorie hat die fragliche Art von Grenzwerten), und der Count der Adjunktion liefert die definierenden Abbildungen des Grenzwertobjekts (dh vom Diagonalfunktor am Grenzwert, im Funktorkategorie). Nachfolgend finden Sie einige konkrete Beispiele.

• Produkte Sei Π : Grp ² → Grp der Funktor, der jedem Paar ( X ₁ , X ₂ ) die Produktgruppe X ₁ × X ₂ zuordnet , und sei Δ : Grp → Grp ² der Diagonalfunktor, der jeder Gruppe X die Paar ( X , X ) in der Produktkategorie Grp ² . Die universelle Eigenschaft der Produktgruppe zeigt, dass Π rechtsadjungiert zu Δ ist. Die Anzahl dieser Adjunktion ist das definierende Paar von Projektionsabbildungen von X ₁ × X ₂ auf X ₁ und X _2, die den Grenzwert definieren, und die Einheit ist die diagonale Aufnahme einer Gruppe X in X × X (Abbildung von x auf (x ,x)).

Das kartesische Produkt von Mengen , das Produkt von Ringen, das Produkt von topologischen Räumen usw. folgen demselben Muster; es kann auch auf einfache Weise auf mehr als nur zwei Faktoren erweitert werden. Allgemeiner gesagt ist jede Art von Grenze direkt neben einem Diagonalfunktor.

• Kerne. Betrachten Sie die Kategorie D der Homomorphismen abelscher Gruppen. Wenn f ₁  : A ₁ → B ₁ und f ₂  : A ₂ → B ₂ zwei Objekte von D sind , dann ist ein Morphismus von f ₁ nach f ₂ ein Paar ( g _A , g _B ) von Morphismen mit g _B f ₁ = f ₂ g _A . Sei G  : D → Ab der Funktor, der jedem Homomorphismus seinen Kern zuordnet und sei F  : Ab → D der Funktor, der die Gruppe A auf den Homomorphismus A → 0 abbildet . Dann ist G rechtsadjungiert zu F , was das Universale ausdrückt Eigenschaft der Kerne. Der Count dieser Adjunktion ist die definierende Einbettung des Kerns eines Homomorphismus in die Domäne des Homomorphismus, und die Einheit ist der Morphismus, der eine Gruppe A mit dem Kern des Homomorphismus A → 0 identifiziert .

Eine geeignete Variation dieses Beispiels zeigt auch, dass die Kernel-Funktoren für Vektorräume und für Module Rechtsadjungierte sind. Analog kann man zeigen, dass die Cokernel-Funktoren für abelsche Gruppen, Vektorräume und Module linksadjungiert sind.

Colimits und Diagonalfunktionen

Co - Produkte , fibred Koprodukte , coequalizers und cokernels sind alle Beispiele der kategorischen Vorstellung eines Kolimes . Jeder Colimit-Funktor wird an einen entsprechenden Diagonalfunktor angrenzend belassen (vorausgesetzt, die Kategorie hat den fraglichen Colimit-Typ), und die Einheit der Adjunktion liefert die definierenden Abbildungen in das Colimit-Objekt. Nachfolgend finden Sie einige konkrete Beispiele.

• Kuppelprodukte. Wenn F  : Ab ² → Ab jedem Paar ( X ₁ , X ₂ ) von abelschen Gruppen ihre direkte Summe zuweist , und wenn G  : Ab → Ab ² der Funktor ist , der jeder abelschen Gruppe Y das Paar ( Y , Y ) zuweist , dann bleibt F adjungiert zu G , wiederum eine Folge der universellen Eigenschaft der direkten Summen. Die Einheit dieses adjungierten Paares ist das definierende Paar von Inklusionsabbildungen von X ₁ und X ₂ in die direkte Summe, und die counit ist die additive Abbildung von der direkten Summe von ( X , X ) zurück zu X (Senden eines Elements ( a , b ) der direkten Summe zum Element a + b von X ).

Analoge Beispiele sind die direkte Summe von Vektorräumen und Modulen , das freie Produkt von Gruppen und die disjunkte Vereinigung von Mengen.

Weitere Beispiele

Algebra

• Angrenzen einer Identität an einen rng . Dieses Beispiel wurde oben im Motivationsabschnitt besprochen. Bei gegebenem rng R kann ein multiplikatives Identitätselement hinzugefügt werden, indem man R x Z nimmt und ein Z -bilineares Produkt mit (r,0)(0,1) = (0,1)(r,0) = (r, 0), (r,0)(s,0) = (rs,0), ​​(0,1)(0,1) = (0,1). Dies konstruiert einen linken Adjungierte zum Funktor, der einen Ring zum darunterliegenden rng nimmt.
• Anhängen einer Identität an eine Halbgruppe . In ähnlicher Weise können wir bei einer gegebenen Halbgruppe S ein Identitätselement hinzufügen und ein Monoid erhalten, indem wir die disjunkte Vereinigung S {1} nehmen und eine binäre Operation darauf definieren, so dass sie die Operation auf S erweitert und 1 ein Identitätselement ist. Diese Konstruktion ergibt einen Funktor, der linksadjungiert zu dem Funktor ist, der ein Monoid zur darunter liegenden Halbgruppe nimmt.${\displaystyle \sqcup}$
• Ring-Erweiterungen. Angenommen R und S sind Ringe und ρ : R → S ist ein Ringhomomorphismus . Dann kann S als (linker) R -Modul betrachtet werden, und das Tensorprodukt mit S liefert einen Funktor F  : R - Mod → S - Mod . Dann F ist links adjoint zum vergesslich functor G  : S - Mod → R - Mod .
• Tensor-Produkte . Ist R ein Ring und M ein rechter R -Modul, dannliefertdas Tensorprodukt mit M einen Funktor F  : R - Mod → Ab . Der Funktor G  : Ab → R - Mod , definiert durch G ( A ) = hom _Z ( M , A ) für jede abelsche Gruppe A , ist rechtsadjungiert zu F .
• Von Monoiden und Gruppen bis hin zu Ringen. Die integrierte Monoid-Ringkonstruktion gibt einen Funktor von Monoiden zu Ringen. Dieser Funktor bleibt adjungiert zu dem Funktor, der einem gegebenen Ring sein zugrundeliegendes multiplikatives Monoid zuordnet. In ähnlicher Weise liefert die integrale Gruppenringkonstruktion einen Funktor von Gruppen zu Ringen, links adjungiert zu dem Funktor, der einem gegebenen Ring seine Gruppe von Einheiten zuweist . Man kann auch mit einem Körper K beginnen und die Kategorie der K - Algebren anstelle der Kategorie der Ringe betrachten, um die Monoid- und Gruppenringe über K zu erhalten .
• Feld der Brüche. Betrachten Sie die Kategorie Dom _m von Integralbereichen mit injektiven Morphismen. Der vergessliche Funktor Feld → Dom _m von Feldern hat einen linksadjungierten – er weist jedem ganzzahligen Gebiet seinen Bruchteil zu .
• Polynomringe . Sei Ring _* die Kategorie der spitzen kommutativen Ringe mit Eins (Paare (A,a) wobei A ein Ring ist, a ∈ A und Morphismen erhalten die ausgezeichneten Elemente). Der Vergesslichkeitsfunktor G: Ring _* → Ring hat einen linksadjungierten – er weist jedem Ring R das Paar (R[x],x) zu, wobei R[x] der Polynomring mit Koeffizienten aus R ist.
• Abelianisierung . Betrachten Sie den Inklusionsfunktor G  : Ab → Grp von der Kategorie der abelschen Gruppen zur Kategorie der Gruppen . Sie besitzt eine linksadjungierte Abelianisierung, die jeder Gruppe G die Quotientengruppe G ^ab = G /[ G , G ] zuordnet .
• Die Grothendieck-Gruppe . In der K-Theorie ist der Ausgangspunkt zu beobachten, dass die Kategorie der Vektorbündel auf einem topologischen Raum eine kommutative Monoidstruktur unter direkter Summe hat . Man kann aus diesem Monoid, der Grothendieck-Gruppe , eine abelsche Gruppe machen , indem man formal für jedes Bündel (oder Äquivalenzklasse) eine additive Inverse hinzufügt. Alternativ kann man beobachten, dass der Funktor, der für jede Gruppe das zugrunde liegende Monoid nimmt (ohne Berücksichtigung der Inversen), einen linksadjungierten hat. Dies ist eine einmalige Konstruktion, im Einklang mit der obigen Erörterung des dritten Abschnitts. Das heißt, man kann die Konstruktion negativer Zahlen nachahmen ; aber es gibt die andere Möglichkeit eines Existenzsatzes . Für den Fall endlicher algebraischer Strukturen kann die Existenz an sich auf die universelle Algebra oder die Modelltheorie bezogen werden ; natürlich gibt es auch einen an die Kategorientheorie angepassten Beweis.
• Frobenius Reziprozität in der Repräsentationstheorie von Gruppen : siehe induzierte Repräsentation . Dieses Beispiel ließ die allgemeine Theorie um etwa ein halbes Jahrhundert erahnen.

Topologie

• Ein Funktor mit einem linken und einem rechten Adjungierten. Sei G der Funktor von topologischen Räumen zu Mengen , der jedem topologischen Raum seine zugrundeliegende Menge zuordnet (also die Topologie vergessend). G hat ein linksadjungiertes F , das den diskreten Raum auf einer Menge Y erzeugt , und ein rechtsadjungiertes H , das die triviale Topologie auf Y erzeugt .
• Aufhängungen und Schleifenräume. Gegebene topologischen Räume X und Y , der Raum [ SX , Y ] von Homotopieklassen von Karten aus der Suspension SX von X zu Y ist natürlich isomorph zu dem Raum [ X , Ω Y ] von Homotopieklassen von Karten von X an den Schleifenraum Ω Y von Y . Der Suspensionsfunktor wird daher in der Homotopiekategorie adjungiert zum Schleifenraumfunktor belassen , eine wichtige Tatsache in der Homotopietheorie .
• Stein-Čech-Verdichtung. Sei KHaus die Kategorie der kompakten Hausdorff-Räume und G  : KHaus → Top der Inklusionsfunktor der Kategorie der topologischen Räume . Dann hat G ein linksadjungiertes F  : Top → KHaus , die Stone-Čech-Kompaktifikation . Die Einheit dieses adjungierten Paares liefert eine stetige Abbildung von jedem topologischen Raum X in seine Stone-Čech-Kompaktifikation.
• Direkte und inverse Bilder von Garben. Jede stetige Abbildung f  : X → Y zwischen topologischen Räumen induziert einen Funktor f _∗ aus der Kategorie der Garben (von Mengen oder abelschen Gruppen oder Ringen...) auf X zur entsprechenden Kategorie von Garben auf Y , dem Direktbildfunktor . Es induziert auch einen Funktor f ⁻¹ aus der Kategorie der Garben abelscher Gruppen auf Y in die Kategorie der Garben abelscher Gruppen auf X , den inversen Bildfunktor . f ⁻¹ ist linksadjungiert zu f _∗ . Hier ist ein subtilerer Punkt, dass sich die linke Adjungierte für kohärente Garben von der für Garben (von Mengen) unterscheidet.
• Ernüchterung. Der Artikel über die Steindualität beschreibt eine Verbindung zwischen der Kategorie der topologischen Räume und der Kategorie der nüchternen Räume , die als Nüchternheit bezeichnet wird. Bemerkenswert ist, dass der Artikel auch eine detaillierte Beschreibung eines anderen Zusatzes enthält, der den Weg für die berühmte Dualität von nüchternen Räumen und räumlichen Orten bereitet , die in sinnloser Topologie ausgenutzt werden .

Posen

Jede teilweise geordnete Menge kann als Kategorie betrachtet werden (wobei die Elemente des Poset zu den Objekten der Kategorie werden und wir genau dann einen einzigen Morphismus von x nach y haben, wenn x ≤ y ist ). Ein Paar adjungierter Funktoren zwischen zwei teilweise geordneten Mengen wird Galois-Verbindung genannt (oder, wenn sie kontravariant ist, Antiton- Galois-Verbindung). Siehe diesen Artikel für eine Reihe von Beispielen: Der Fall der Galois-Theorie ist natürlich ein führender. Jede Galois-Verbindung führt zu Abschlussoperatoren und zu Bijektionen mit inverser Ordnungserhaltung zwischen den entsprechenden abgeschlossenen Elementen.

Wie bei Galois-Gruppen liegt das eigentliche Interesse oft darin, eine Entsprechung zu einer Dualität zu verfeinern (dh Isomorphismus der Antiton- Ordnung). Eine Behandlung der Galois-Theorie in dieser Richtung durch Kaplansky war einflussreich für die Erkenntnis der allgemeinen Struktur hier.

Der Fall partieller Ordnung kollabiert die Adjunktionsdefinitionen ziemlich merklich, kann aber mehrere Themen liefern:

• Adjunktionen dürfen keine Dualitäten oder Isomorphismen sein, sind aber Kandidaten für die Aufwertung in diesen Status
• Abschlussoperatoren können das Vorhandensein von Adjunktionen als entsprechende Monaden anzeigen (vgl. die Kuratowski-Abschlussaxiome )
• ein sehr allgemeiner Kommentar von William Lawvere ist, dass Syntax und Semantik adjungiert sind: Nehmen wir C als die Menge aller logischen Theorien (Axiomatisierungen) und D die Potenzmenge der Menge aller mathematischen Strukturen. Für eine Theorie T in C sei G ( T ) die Menge aller Strukturen, die die Axiome T erfüllen ; für eine Reihe von mathematischen Strukturen S , lassen F ( S ) die minimale Axiomatisierung sein S . Wir können dann sagen , dass S eine Teilmenge von ist G ( T ) , wenn und nur wenn F ( S ) logisch impliziert T : die „Semantik Funktors“ G Recht adjoint auf die „Syntax Funktors“ ist F .
• Division ist (im Allgemeinen) der Versuch, die Multiplikation zu invertieren , aber in Situationen, in denen dies nicht möglich ist, versuchen wir oft, stattdessen eine Adjungierte zu konstruieren : Der ideale Quotient ist adjungiert zur Multiplikation mit Ringidealen , und die Implikation in der Aussagenlogik ist adjungiert zur logischen Konjunktion .

Kategorientheorie

• Äquivalenzen. Wenn F  : D → C eine Äquivalenz von Kategorien ist , dann haben wir eine inverse Äquivalenz G  : C → D , und die beiden Funktoren F und G bilden ein adjungiertes Paar. Einheit und Count sind in diesem Fall natürliche Isomorphismen.
• Eine Reihe von Ergänzungen. Der Funktor _0, der einer Kategorie seine Menge zusammenhängender Komponenten zuweist, ist linksadjungiert zu dem Funktor D, der einer Menge die diskrete Kategorie dieser Menge zuweist. Darüber hinaus ist D linksadjungiert zu dem Objektfunktor U, der jeder Kategorie ihre Menge von Objekten zuweist, und schließlich ist U linksadjungiert zu A, der jeder Menge die indiskrete Kategorie dieser Menge zuweist.
• Exponentielles Objekt . In einer kartesischen geschlossenen Kategorie hat der durch –× A gegebene Endofunktor C → C einen rechtsadjungierten – ^A . Dieses Paar wird oft als Currying und Uncurrying bezeichnet; in vielen Spezialfällen sind sie auch stetig und bilden einen Homöomorphismus.

Kategoriale Logik

• Quantifizierung. Wenn es sich um ein unäres Prädikat handelt, das eine Eigenschaft ausdrückt, kann eine hinreichend starke Mengentheorie die Existenz der Menge von Termen beweisen , die die Eigenschaft erfüllen. Eine echte Teilmenge und die damit verbundene Injektion von in ist durch ein Prädikat gekennzeichnet , das eine streng restriktivere Eigenschaft ausdrückt.${\displaystyle \phi_{Y}}$${\displaystyle Y=\{y\mid \phi _{Y}(y)\}}$${\displaystyle T\subset Y}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \phi_{T}(y)=\phi_{Y}(y)\land\varphi(y)}$

Die Rolle von Quantoren in der Prädikatenlogik besteht darin, Aussagen zu bilden und auch komplexe Prädikate auszudrücken, indem Formeln mit möglicherweise mehr Variablen geschlossen werden. Betrachten Sie beispielsweise ein Prädikat mit zwei offenen Variablen sort und . Mit einem Quantor zum Schließen können wir die Menge bilden ${\displaystyle \psi_{f}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \{y\in Y\mid \exists x.\,\psi _{f}(x,y)\land \phi_{S}(x)\}}$

aller Elemente der für die es eine , an das es -bezogene, und die sich durch die Eigenschaft charakterisiert . Mengentheoretische Operationen wie die Schnittmenge zweier Mengen entsprechen direkt der Konjunktion von Prädikaten. In der kategorialen Logik , einem Teilgebiet der Topos-Theorie , werden Quantoren mit Adjoints zum Pullback-Funktor identifiziert. Eine solche Erkenntnis kann in Analogie zur Diskussion der Aussagenlogik mit Hilfe der Mengenlehre gesehen werden, aber die allgemeine Definition ermöglicht ein reicheres Spektrum an Logiken.${\displaystyle y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \psi_{f}}$${\displaystyle \phi_{S}}$${\displaystyle \cap}$${\displaystyle \land}$

Betrachten Sie also ein Objekt in einer Kategorie mit Pullbacks. Jeder Morphismus induziert einen Funktor ${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle f^{*}:{\text{Sub}}(Y)\longrightarrow {\text{Sub}}(X)}$

auf der Kategorie, die die Vorbestellung von Unterobjekten ist. Es bildet Unterobjekte von (technisch: Monomorphismusklassen von ) auf den Pullback ab . Wenn dieser Funktors eine links- oder rechts adjoint hat, werden sie genannt und sind. Beide Karten von hinten nach . Grob gesagt schließt sich der Funktor/Quantor bei einem gegebenen Bereich zur Quantifizierung einer durch over ausgedrückten Relation an und gibt die dadurch angegebene Teilmenge von zurück .${\displaystyle T}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T\to Y}$${\displaystyle X\times _{Y}T}$${\displaystyle \exists _{f}}$${\displaystyle \forall_{f}}$${\displaystyle {\text{Sub}}(X)}$${\displaystyle {\text{Sub}}(Y)}$${\displaystyle S\Teilmenge X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times _{Y}T}$${\displaystyle Y}$

Beispiel : In der Kategorie der Mengen und Funktionen sind die kanonischen Unterobjekte die Untermenge (bzw. deren kanonische Injektionen). Der Pullback einer Injektion einer Teilmenge in entlang wird als die größte Menge bezeichnet, die alles über und die Injektion von in kennt . Es stellt sich daher (in Bijektion mit) als inverses Bild heraus .${\displaystyle \operatorname {Set} }$${\displaystyle f^{*}T=X\times _{Y}T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f^{-1}[T]\subseteq X}$

Denn , lassen Sie uns herauszufinden , die linke adjoint aus, die über definiert ${\displaystyle S\subseteq X}$

${\displaystyle {\operatorname {Hom} }(\exists _{f}S,T)\cong {\operatorname {Hom} }(S,f^{*}T),}$

was hier nur bedeutet

${\displaystyle \exists_{f}S\subseteq T\leftrightarrow S\subseteq f^{-1}[T]}$.

Betrachten Sie . Wir sehen . Umgekehrt, wenn wir auch eine haben , dann klar . Also impliziert . Wir schließen daraus, dass linksadjungiert zum inversen Bildfunktor durch das direkte Bild gegeben ist. Hier ist eine Charakterisierung dieses Ergebnisses, die eher der logischen Interpretation entspricht: Das Bild von under ist der vollständige Satz von 's, also nicht leer. Dies funktioniert, weil es genau diejenigen vernachlässigt, die in der Ergänzung von stehen . So ${\displaystyle f[S]\subseteq T}$${\displaystyle S\subseteq f^{-1}[f[S]]\subseteq f^{-1}[T]}$${\displaystyle x\in S}$${\displaystyle x\in f^{-1}[T]}$${\displaystyle f(x)\in T}$${\displaystyle S\subseteq f^{-1}[T]}$${\displaystyle f[S]\subseteq T}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \exists _{f}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f^{-1}[\{y\}]\cap S}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle f[S]}$

${\displaystyle \exists_{f}S=\{y\in Y\mid \exists (x\in f^{-1}[\{y\}]).\,x\in S\;\} =f[S].}$

Setzen Sie dies in Analogie zu unserer Motivation .${\displaystyle \{y\in Y\mid \exists x.\,\psi _{f}(x,y)\land \phi_{S}(x)\}}$

Die rechte Adjungierte zum inversen Bildfunktor ist (ohne die Berechnung hier durchzuführen) gegeben durch

${\displaystyle \forall _{f}S=\{y\in Y\mid \forall (x\in f^{-1}[\{y\}]).\,x\in S\;\} .}$

Die Teilmenge von wird als die vollständige Menge von 's mit der Eigenschaft charakterisiert , dass das inverse Bild von in Bezug auf vollständig enthalten ist . Beachten Sie, dass das Prädikat, das die Menge bestimmt, das gleiche ist wie oben, außer dass es durch ersetzt wird .${\displaystyle \forall_{f}S}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \{y\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \exists}$${\displaystyle \forall}$

Siehe auch Powerset .

Ergänzungen vollständig

Es gibt daher zahlreiche Funktoren und natürliche Transformationen, die mit jeder Adjunktion verbunden sind, und nur ein kleiner Teil reicht aus, um den Rest zu bestimmen.

Eine Adjunktion zwischen den Kategorien C und D besteht aus

• Ein Funktor F  : D → C heißt der linke Adjungierte
• Ein functor G  : C → D genannt Recht adjoint
• Ein natürlicher Isomorphismus Φ : hom _C ( F –,–) → hom _D (–, G –)
• Eine natürliche Transformation ε : FG → 1 _C heißt Count
• Eine natürliche Transformation η : 1 _D → GF heißt die Einheit

Eine äquivalente Formulierung, in der X ein beliebiges Objekt von C bezeichnet und Y ein beliebiges Objekt von D bezeichnet , lautet wie folgt:

Für jeden C- Morphismus f  : FY → X gibt es einen eindeutigen D- Morphismus Φ _{Y , X} ( f ) = g  : Y → GX derart, dass die untenstehenden Diagramme kommutieren, und für jeden D- Morphismus g  : Y → GX , es einen eindeutigen C- Morphismus Φ ⁻¹ _{Y , X} ( g ) = f  : FY → X in C gibt, so dass die untenstehenden Diagramme kommutieren:

Aus dieser Behauptung kann man folgendes entnehmen:

• Die Transformationen ε, η und Φ sind durch die Gleichungen

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}f=\Phi_{Y,X}^{-1}(g)&=\varepsilon_{X}\circ F(g)&\in &\,\,\ mathrm {hom} _{C}(F(Y),X)\\g=\Phi_{Y,X}(f)&=G(f)\circ \eta_{Y}&\in &\ ,\,\mathrm {hom}_{D}(Y,G(X))\\\Phi_{GX,X}^{-1}(1_{GX})&=\varepsilon_{X}& \in &\,\,\mathrm {hom}_{C}(FG(X),X)\\\Phi_{Y,FY}(1_{FY})&=\eta_{Y}&\ in &\,\,\mathrm {hom} _{D}(Y,GF(Y))\\\end{ausgerichtet}}}$

• Die Transformationen ε, η erfüllen die Count-Unit-Gleichungen

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}1_{FY}&=\varepsilon_{FY}\circ F(\eta_{Y})\\1_{GX}&=G(\varepsilon_{X})\ Kreis \eta _{GX}\end{ausgerichtet}}}$

• Jedes Paar ( GX , ε _X ) ist ein terminaler Morphismus von F nach X in C
• Jedes Paar ( FY , η _Y ) ist ein Anfangsmorphismus von Y nach G in D

Insbesondere erlauben die obigen Gleichungen, , und in Bezug auf eine der drei zu definieren. Die adjungierten Funktoren F und G allein reichen jedoch im Allgemeinen nicht aus, um die Adjunktion zu bestimmen. Die Äquivalenz dieser Situationen wird unten gezeigt.

Universelle Morphismen induzieren hom-set Adjunktion

Gegeben sei ein rechtsadjungierter Funktor G  : C → D ; im Sinne von Anfangsmorphismen kann man die induzierte hom-set-Adjunktion konstruieren, indem man die folgenden Schritte durchführt.

• Konstruieren Sie einen Funktor F  : D → C und eine natürliche Transformation η.
  • Wähle für jedes Objekt Y in D einen anfänglichen Morphismus ( F ( Y ), η _Y ) von Y nach G , so dass η _Y  : Y → G ( F ( Y )). Wir haben die Abbildung von F auf Objekten und die Familie der Morphismen η.
  • Für jedes f  : Y ₀ → Y ₁ , as ( F ( Y ₀ ), η _{Y 0} ) ist ein erster morphism, dann factorize η _{Y 1} o f mit η _{Y 0} und erhalten F ( f ): F ( Y ₀ ) → F ( Y ₁ ). Dies ist die Abbildung von F auf Morphismen.
  • Das kommutierende Diagramm dieser Faktorisierung impliziert das kommutierende Diagramm natürlicher Transformationen, also ist η : 1 _D → G o F eine natürliche Transformation .
  • Die Einzigartigkeit dieser Faktorisierung und dass G ein Funktor ist, impliziert, dass die Abbildung von F auf Morphismen Zusammensetzungen und Identitäten bewahrt.
• Konstruieren Sie einen natürlichen Isomorphismus Φ : hom _C ( F -,-) → hom _D (-, G -).
  • Für jedes Objekt X in C , jedes Objekt Y in D , da ( F ( Y ), η _Y ) ein Anfangsmorphismus ist, dann ist Φ _{Y , X} eine Bijektion, wobei Φ _{Y , X} ( f  : F ( Y ) → X ) = G ( f ) o η _Y .
  • η ist eine natürliche Transformation, G ist ein Funktor, dann für beliebige Objekte X ₀ , X ₁ in C , alle Objekte Y ₀ , Y ₁ in D , jedes x  : X ₀ → X ₁ , jedes y  : Y ₁ → Y ₀ , gilt Φ _{Y 1 , X 1} ( x o f o F ( y )) = G(x) o G ( f ) o G ( F ( y )) o η _{Y 1} = G ( x ) o G ( f ) o η _{Y 0} o y = G ( x ) o Φ _{Y 0 , x 0} ( f ) O y , und dann ist Φ in beiden Argumenten natürlich.

Ein ähnliches Argument erlaubt es, eine hom-set Adjunktion aus den terminalen Morphismen zu einem linksadjungierten Funktor zu konstruieren. (Die Konstruktion, die mit einem Rechtsadjungierten beginnt, ist etwas häufiger, da der Rechtsadjungierte in vielen adjungierten Paaren eine trivial definierte Inklusion oder ein Vergesslicher Funktor ist.)

Count-Unit-Adjunktion induziert hom-set-Adjunktion

Bei gegebenen Funktoren F  : D → C , G  : C → D und einer Count-Unit-Adjunktion (ε, η) : F G können wir eine hom-Mengen-Adjunktion konstruieren, indem wir die natürliche Transformation Φ : hom _C ( F -, -) → hom _D (-, G -) in folgenden Schritten: ${\displaystyle \dashv}$

• Definiere für jedes f  : FY → X und jedes g  : Y → GX

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Psi _{Y,X}(g)=\varepsilon _ {X}\circ F(g)\end{ausgerichtet}}}$

Die Transformationen Φ und Ψ sind natürlich, weil η und ε natürlich sind.

• Wenn wir in der Reihenfolge F ein Funktor, ε natürlich und die Einheitsgleichung 1 _FY = ε _FY o F (η _Y ) verwenden, erhalten wir

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\Psi\Phi f&=\varepsilon _{X}\circ FG(f)\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ \varepsilon _{FY }\circ F(\eta_{Y})\\&=f\circ 1_{FY}=f\end{ausgerichtet}}}$

daher ist ΨΦ die Identitätstransformation.

• Unter Verwendung von G als Funktor, natürlich und der Einheitsgleichung 1 _GX = G (ε _X ) o η _GX erhalten wir

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\Phi\Psi g&=G(\varepsilon_{X})\circ GF(g)\circ \eta_{Y}\\&=G(\varepsilon_{X} )\circ \eta_{GX}\circ g\\&=1_{GX}\circ g=g\end{ausgerichtet}}}$

daher ist ΦΨ die Identitätstransformation. Somit ist Φ ein natürlicher Isomorphismus mit inversem Φ ⁻¹ = Ψ.

Home-Set-Adjunktion induziert alle oben genannten Punkte

Gegeben Funktoren F  : D → C , G  : C → D und einer hom-Mengen-Adjunktion Φ : hom _C ( F -,-) → hom _D (-, G -), kann man eine Count-Unit-Adjunktion konstruieren

${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$ ,

die Familien von Anfangs- und Endmorphismen in den folgenden Schritten definiert:

• Sei     für jedes X in C , wo     ist der Identitätsmorphismus.${\displaystyle \varepsilon_{X}=\Phi_{GX,X}^{-1}(1_{GX})\in \mathrm {hom}_{C}(FGX,X)}$${\displaystyle 1_{GX}\in \mathrm {hom} _{D}(GX,GX)}$
• Lassen   Sie   für jedes Y in D , wo     die Identität morphism ist.${\displaystyle \eta_{Y}=\Phi_{Y,FY}(1_{FY})\in \mathrm {hom}_{D}(Y,GFY)}$${\displaystyle 1_{FY}\in \mathrm {hom} _{C}(FY,FY)}$
• Die Bijektivität und Natürlichkeit von implizieren, dass jedes ( GX , ε _X ) ein terminaler Morphismus von F nach X in C ist und jedes ( FY , η _Y ) ein anfänglicher Morphismus von Y nach G in D ist .
• Die Natürlichkeit von Φ impliziert die Natürlichkeit von ε und η, und die beiden Formeln

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Phi_{Y,X}^{-1}(g )=\varepsilon_{X}\circ F(g)\end{ausgerichtet}}}$

für jedes f : FY → X und g : Y → GX (die Φ vollständig bestimmen).

• Einsetzen von FY für X und η _Y = Φ _{Y , FY} (1 _FY ) für g in der zweiten Formel ergibt die erste Count-Unit-Gleichung

${\displaystyle 1_{FY}=\varepsilon_{FY}\circ F(\eta_{Y})}$,

und das Einsetzen von GX für Y und ε _X = Φ ⁻¹ _{GX, X} (1 _GX ) für f in der ersten Formel ergibt die zweite Count-Unit-Gleichung

${\displaystyle 1_{GX}=G(\varepsilon_{X})\circ \eta_{GX}}$.

Eigenschaften

Existenz

Nicht jeder Funktor G  : C → D besitzt einen Linksadjungierten. Wenn C eine vollständige Kategorie ist , dann lassen sich die linksadjungierten Funktoren durch den Satz von Peter J. Freyd charakterisieren : G hat genau dann linksadjungiert, wenn sie stetig ist und eine bestimmte Kleinheitsbedingung erfüllt ist: für jedes Objekt Y von D existiert eine Familie von Morphismen

f _i  : Y → G ( X _i )

wobei die Indizes i aus einer Menge I stammen , nicht einer echten Klasse , so dass jeder Morphismus

h  : Y → G ( X )

kann geschrieben werden als

h = G ( t ) von f _i

für manche ich in ich und etwas Morphismus

t  : X _i → X in C .

Eine analoge Aussage charakterisiert die Funktoren mit einem rechtsadjungierten.

Ein wichtiger Sonderfall sind die lokal vorzeigbaren Kategorien . Wenn ein Funktor zwischen lokal darstellbaren Kategorien ist, dann ${\displaystyle F:C\to D}$

• F hat genau dann ein Recht adjungiert, wenn F kleine Colimits erhält
• F hat genau dann linksadjungiert, wenn F kleine Grenzen erhält und ein zugänglicher Funktor ist

Einzigartigkeit

Hat der Funktor F  : D → C zwei rechtsadjungierte G und G , dann sind G und G ′ natürlich isomorph . Das gleiche gilt für linke Adjungierte.

Umgekehrt, wenn F linksadjungiert zu G bleibt und G natürlich isomorph zu G ist , dann ist F auch linksadjungiert zu G ′. Allgemeiner gesagt , wenn 〈F , G , ε, η〉 eine Adjunktion ist (mit Count-Unit (ε,η)) und

: F → F ′

: G → G ′

natürliche Isomorphismen sind, dann ist 〈F ′, G ′, ε′, η′〉 eine Adjunktion mit

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\eta '&=(\tau \ast \sigma )\circ \eta \\\varepsilon '&=\varepsilon \circ (\sigma^{-1}\ast \tau ^ {-1}).\end{ausgerichtet}}}$

Hier bezeichnet die vertikale Zusammensetzung natürlicher Transformationen und bezeichnet die horizontale Zusammensetzung. ${\displaystyle \circ}$${\displaystyle \ast}$

Komposition

Adjunktionen können auf natürliche Weise zusammengesetzt werden. Wenn F , G , ε, eine Adjunktion zwischen C und D ist und 〈F ′, G ′, ε′, η′〉 eine Adjunktion zwischen D und E ist, dann ist der Funktor

${\displaystyle F\circ F':E\rightarrow C}$

bleibt neben

${\displaystyle G'\circ G:C\to E.}$

Genauer gesagt gibt es eine Adjunktion zwischen F F' und G' G mit Einheit und Anzahl, die jeweils durch die Zusammensetzungen gegeben sind:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}&1_{\mathcal {E}}{\xrightarrow {\eta '}}G'F'{\xrightarrow {G'\eta F'}}G'GFF'\\&FF' G'G{\xrightarrow {F\varepsilon 'G}}FG{\xrightarrow {\varepsilon}}1_{\mathcal {C}}.\end{aligned}}}$

Diese neue Adjunktion wird die Zusammensetzung der beiden gegebenen Adjunktionen genannt.

Da es auch einen natürlichen Weg gibt, eine Identitätsadjunktion zwischen einer Kategorie C und sich selbst zu definieren , kann man dann eine Kategorie bilden, deren Objekte alle kleine Kategorien sind und deren Morphismen Adjunktionen sind.

Limiterhaltung

Die wichtigste Eigenschaft von adjoints ist ihre Kontinuität: jeder functor, der einen linken adjoint hat (und daher ist ein Recht adjoint) ist kontinuierlich (dh pendelt mit Grenzen in der Kategorie theoretischen Sinne); jeder functor , die ein Recht adjoint hat (und daher ist eine linke adjoint) ist kokontinuierlichen (dh pendelt mit Colimites ).

Da viele gebräuchliche Konstruktionen in der Mathematik Grenzwerte oder Colimits sind, bietet dies eine Fülle von Informationen. Beispielsweise:

• Anwenden eines rechtsadjungierten Funktors auf ein Produkt von Objekten ergibt das Produkt der Bilder;
• Anwenden eines linken adjungierten Funktors auf ein Koprodukt von Objekten ergibt das Koprodukt der Bilder;
• jedes Recht Adjunktion zwischen zwei abelian Kategorien ist genau links ;
• jeder linksadjungierte Funktor zwischen zwei abelschen Kategorien ist rechtsexakt .

Additiv

Wenn C und D sind preadditive Kategorien und F  : D → C ist ein Additiv Funktor mit einem rechten adjoint G  : C → D , dann G ist auch ein Additiv Funktors und das hom-Set Bijektionen

${\displaystyle \Phi_{Y,X}:\mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX) }$

sind in der Tat Isomorphismen abelscher Gruppen. Dually, wenn G - Additiv mit einem linken adjoint ist F , dann F ist auch additiv.

Außerdem, wenn sowohl C und D sind additive Kategorien (dh preadditive Kategorien mit allen finite biproducts ), dann gibt jedes Paar von Adjunktion zwischen ihnen automatisch additiv.

Beziehungen

Universelle Konstruktionen

Wie bereits erwähnt, ein adjunction zwischen den Kategorien C und D führt zu einer Familie von universellem morphisms , einem für jedes Objekt in C und einem für jedes Objekt in D . Existiert umgekehrt ein universeller Morphismus zu einem Funktor G  : C → D von jedem Objekt von D , dann hat G eine linksadjungierte.

Universelle Konstruktionen sind jedoch allgemeiner als adjungierte Funktoren: Eine universelle Konstruktion ist wie ein Optimierungsproblem; es führt genau dann zu einem adjungierten Paar, wenn dieses Problem für jedes Objekt von D (äquivalent jedes Objekt von C ) eine Lösung hat .

Äquivalenzen von Kategorien

Ist ein Funktor F  : D → C die Hälfte einer Äquivalenz von Kategorien, dann ist er die Linksadjungierte in einer adjungierten Äquivalenz von Kategorien, dh eine Adjunktion, deren Einheit und Anzahl Isomorphismen sind.

Jede Adjunktion 〈F , G , ε, η〉 erweitert eine Äquivalenz bestimmter Unterkategorien. Definiere C ₁ als die vollständige Unterkategorie von C bestehend aus den Objekten X von C, für die ε _X ein Isomorphismus ist, und definiere D ₁ als die vollständige Unterkategorie von D, bestehend aus den Objekten Y von D, für die η _Y ein Isomorphismus ist. Dann können F und G auf D ₁ und C _{1 beschränkt werden} und ergeben inverse Äquivalenzen dieser Unterkategorien.

In gewissem Sinne sind Adjoints also "verallgemeinerte" Inverse. Beachten Sie jedoch, dass eine Rechtsinverse von F (dh ein Funktor G, so dass FG von Natur aus zu 1 _D isomorph ist ) kein Rechts- (oder Links-) Adjungierte von F sein muss . Adjoints verallgemeinern zweiseitige Inverse.

Monaden

Jede Adjunktion 〈F , G , ε, η〉 führt zu einer zugehörigen Monade〈T , η, μ〉 in der Kategorie D . Der Funktor

${\displaystyle T:{\mathcal{D}}\to {\mathcal{D}}}$

ist gegeben durch T = GF . Die Einheit der Monade

${\displaystyle \eta:1_{\mathcal{D}}\to T}$

ist nur die Einheit η der Adjunktion und der Multiplikationstransformation

${\displaystyle \mu :T^{2}\to T\,}$

ist gegeben durch μ = G ε F . Dual definiert das Tripel 〈FG , ε, F η G〉 eine Komonade in C .

Jede Monade entsteht aus einer Beigabe – tatsächlich typischerweise aus vielen Beigaben – auf die oben beschriebene Weise. Zwei Konstruktionen, die als Kategorie der Eilenberg-Moore-Algebren und als Kleisli-Kategorie bezeichnet werden, sind zwei extremale Lösungen für das Problem der Konstruktion einer Adjunktion, die zu einer gegebenen Monade führt.

Anmerkungen

Verweise

• Adamek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstrakte und konkrete Kategorien. Katzenfreude (PDF) . John Wiley & Söhne. ISBN 0-471-60922-6. Zbl  0695.18001 .
• Mac Lane, Saunders (1998). Kategorien für den arbeitenden Mathematiker . Abschlusstexte der Mathematik . 5 (2. Aufl.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl  0906.18001 .

Externe Links

• Adjunctions Playlist auf YouTube – sieben kurze Vorträge über Adjunctions von Eugenia Cheng von The Catsters
• WildCats ist ein Kategorientheoriepaket für Mathematica . Manipulation und Visualisierung von Objekten, Morphismen , Kategorien, Funktoren , natürlichen Transformationen , universellen Eigenschaften .