Algebraischabgeschlossenen Feld - Algebraically closed field


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In Algebra , ein algebraisch geschlossenes Feld F enthält eine Wurzel für jedes nicht-konstantes Polynom in F [ x ], der Ring von Polynomen in der Variablen x mit Koeffizienten in F .

Beispiele

Als ein Beispiel, das Feld von reellen Zahlen ist nicht algebraisch geschlossen, weil die polynomiale Gleichung x 2  + 1 = 0 ist keine Lösung in realen Nummern hat, obwohl alle seine Koeffizienten (1 und 0) sind real. Das gleiche Argument beweist , dass kein Teilfeld des realen Feldes algebraischabgeschlossenen ist; insbesondere im Bereich der rationalen Zahlen ist nicht algebraisch abgeschlossen. Auch kein finiten Feld F algebraisch geschlossen, weil , wenn a 1 , a 2 , ..., a n die Elemente sind F , dann ist das Polynom ( x  -  a 1 ) ( x  -  a 2 ) ··· ( x  -  a n ) + 1 hat keine Null in F . Dagegen ist die Fundamentalsatzes der Algebra besagt , dass das Feld von komplexen Zahlen algebraisch geschlossen ist. Ein anderes Beispiel eines algebraisch abgeschlossenen Bereich ist der Bereich der (Komplex) algebraische Zahlen .

Gleichwertige Eigenschaften

Bei einem gegebenen Feld F , die Assertion „ F geschlossen algebraisch“ zu anderen Assertionen entsprechen:

Die einzigen irreduziblen Polynome sind jene der Grad ein

Das Feld F algebraisch abgeschlossen , wenn und nur wenn die einzigen irreduzible Polynome im Polynomrings F [ x ] eine jene des Grades sind.

Die Geltendmachung „die Polynome vom Grad eins sind irreduziblen“ ist trivial gilt für jedes Feld. Wenn F algebraisch geschlossen ist , und P ( x ) ein irreduzibles Polynom vom F [ x ], dann hat es einige Wurzel a und damit p ( x ) ein Vielfaches von x  -  a . Da p ( x ) nicht reduzierbar ist, bedeutet dies , daß p ( x ) =  k ( x  -  a ), für einige k  ∈  F  \ {0}. Auf der anderen Seite, wenn C nicht algebraisch geschlossen ist, dann gibt es ein paar nicht-konstantes Polynom p ( x ) in F [ x ] ohne Wurzeln in F . Lassen Sie q ( x ) sein , einige irreduziblen Faktor p ( x ). Da P ( x ) hat keine Wurzeln in F , q ( x ) hat auch keine Wurzeln in F . Somit q ( x aufweist) Grad größer als eins ist , da jedes Polynom ersten Grades in eine Wurzel hat F .

Jedes Polynom ist ein Produkt der ersten Grades Polynome

Das Feld F algebraisch geschlossen , wenn und nur wenn jedes Polynom p ( x ) vom Grad n  ≥ 1 ist , mit Koeffizienten in F , in Linearfaktoren aufteilt . Mit anderen Worten gibt es Elemente kx 1x 2 , ...,  x n des Feld F , so dass P ( x ) =  k ( x  -  x 1 ) ( x  -  x 2 ) ··· ( x  -  x n ).

Wenn F diese Eigenschaft besitzt, dann klar jeder nicht-konstantes Polynom in F [ x ] hat einige Wurzel in F ; in anderen Worten, F algebraisch geschlossen. Auf der anderen Seite, dass die Immobilie hier angegeben für hält F , wenn F geschlossen ist algebraisch folgt aus der vorherige Eigenschaft zusammen mit der Tatsache , dass für jedes Feld K , irgendein Polynom in K [ x ] als Produkt irreduzibler Polynome geschrieben werden .

Polynomen prime Abschluss Wurzeln

J. Shipman im Jahr 2007 haben gezeigt , dass , wenn jedes Polynom über F erstklassigen Grades eine Wurzel in hat F , dann ist jede nicht-konstantes Polynom eine Wurzel in hat F , also F algebraisch abgeschlossen.

Das Feld hat keine angemessene algebraische Erweiterung

Das Feld F algebraisch abgeschlossen , wenn und nur wenn es keine richtige hat algebraische Erweiterung .

Wenn F keine richtige algebraische Erweiterung hat, die p ( x ) in einiges irreduzibles Polynom F [ x ]. Dann wird der Quotient von F [ x ] modulo die ideal von erzeugten p ( x ) ist eine algebraische Erweiterung von F , deren Ausmaß gleich dem Grad der p ( x ). Da es keine richtige Verlängerung ist, ist sein Grad 1 und damit der Grad der P ( x ) 1 ist .

Auf der anderen Seite, wenn F eine angemessene algebraische Erweiterung hat K , dann ist das minimale Polynom eines Elements in K  \  F ist irreduziblen und der Grad größer als 1 ist .

Das Feld hat keine richtige endliche Ausdehnung

Das Feld F algebraisch geschlossen , wenn und nur wenn es keine endliche hat algebraische Erweiterung wegen , wenn im vorigen Beweis , das Wort „algebraische“ durch das Wort „endlich“ ersetzt wird, dann ist der Beweis noch gültig ist.

Jede endomorphism von F n hat einige Eigenvektor

Das Feld F algebraisch abgeschlossen , wenn und nur wenn, für jede natürliche Zahl n , jede lineare Abbildung von F n hat in sich eine gewisse Eigenvektor .

Ein endomorphism von F n hat einen Eigenvektor , wenn und nur wenn sein charakteristisches Polynom einige Wurzel hat. Daher wird , wenn F algebraisch geschlossen ist, jeder Endomorphismus von F n hat einige Eigenvektor. Auf der anderen Seite, wenn jeder Endomorphismus von F n ein Eigenvektor hat, die p ( x ) seine ein Element von F [ x ]. Dividieren durch seine führenden Koeffizienten, erhalten wir ein anderes Polynom q ( x ) , die Wurzeln , wenn und nur wenn p ( x ) hat seine Wurzeln. Wenn Q ( x ) =  x n  +  a n  - 1 x n  - 1 + ··· +  a 0 , dann F ( x ) ist das charakteristische Polynom der n × n Begleiter Matrix

Die Zersetzung von rationalen Ausdrücke

Das Feld F algebraisch geschlossen , wenn und nur wenn jede rationale Funktion in einer Variablen x mit Koeffizienten in F , kann als die Summe einer Polynomfunktion mit rationalen Funktionen der Form geschrieben werden , a / ( x  -  b ) n , wobei n eine natürliche Zahl ist , und a und b Elemente sind F .

Falls F algebraisch dann geschlossen wird, da die irreduzible Polynome in F [ x ] 1 sind alle Grad stellte die Eigenschaft hält oberhalb des Theorems auf Partialbruchzerlegung .

Auf der anderen Seite wird angenommen, dass die Eigenschaft oben angegeben für das Feld hält F . Lassen p ( x ) in ein irreduzible Element F [ x ]. Dann ist die rationale Funktion 1 / p kann als die Summe einer Polynomfunktion geschrieben werden q mit rationalen Funktionen der Form a (/ x  -  b ) n . Daher ist der rationale Ausdruck

in denen als Quotient zweier Polynome geschrieben werden , wird der Nenner ein Produkt der ersten Grades Polynome ist. Da p ( x ) nicht reduzierbar ist, muss es dieses Produkt und teilen daher muss es auch ein Polynom ersten Grades sein.

Relativ Primpolynome und Wurzeln

Für jedes Feld F dann , wenn zwei Polynome P ( x ), F ( x ) ∈  F [ x ] sind relativ prim dann, sie nicht über eine gemeinsame Wurzel haben , denn wenn a  ∈  F war eine gemeinsame Wurzel, dann  P ( x ) , und   q ( x ) würde beidem ein Vielfaches von x  -  a und deshalb würden sie nicht relativ prim sein. Die Felder , für die die umgekehrte Implikation hält (das heißt, die Felder , so dass immer dann , wenn zwei Polynome keine gemeinsame Wurzel haben , dann sind sie relativ prim sind) sind genau die algebraisch abgeschlossenen Feldern.

Wenn das Feld F algebraisch geschlossen ist, lassen P ( x ) und Q ( x ) zwei Polynome sein , die nicht relativ prim sind , und lassen r ( x ) sein , deren ggT . Dann wird , da r ( x ) nicht konstant ist, dauert es eine Wurzel ein , die dann eine gemeinsame Wurzel wird P ( x ) und q ( x ).

Falls F nicht algebraisch geschlossen, geschweige p ( x ) ein Polynom , dessen Grad wenigstens 1 ohne Wurzeln. Dann p ( x ) und p ( x ) nicht relativ prim sind , aber sie haben keine gemeinsamen Wurzeln (da keiner von ihnen Wurzeln hat).

andere Eigenschaften

Wenn F ein algebraischabgeschlossenen Feld ist und n eine natürliche Zahl ist , dann F enthält alle n - ten Einheitswurzeln, weil diese (definitionsgemäß ) sind die n (nicht notwendigerweise verschieden) Nullstellen des Polynoms x n  - 1. Ein Felderweiterung daß in einer Erweiterung enthalten ist, durch die Wurzeln der Einheit erzeugte eine zyklotomische Erweiterung und die Ausdehnung eines Feldes von allen Einheitswurzeln erzeugt wird manchmal sein genannten zyklotomische Verschluß . Somit algebraisch abgeschlossenen Körper sind cyclotomically geschlossen. Das Gegenteil ist nicht wahr. Selbst unter der Annahme , dass jedes Polynom der Form x n  -  ein Spagat in Linearfaktoren nicht genug ist , um sicherzustellen , dass das Feld algebraisch geschlossen ist.

Wenn ein Satz, der in der Sprache ausgedrückt werden kann Logik ersten Ordnung für ein algebraisch geschlossenes Feld wahr ist, dann ist es für jedes algebraisch geschlossenes Feld mit der gleichen wahrer Kennlinie . Außerdem, wenn ein solcher Vorschlag für eine algebraischabgeschlossenen Feld mit Charakteristik 0 gültig ist, dann ist es nicht nur gilt für alle anderen algebraischabgeschlossenen Felder mit Charakteristik 0, aber es gibt einige natürliche Zahl N , so dass der Satz gilt für jedes algebraisch geschlossen Feld mit Charakteristik  P , wenn P  >  N .

Jedes Feld F hat einige Erweiterung , die algebraisch geschlossen ist. Eine solche Erweiterung ist ein genannt algebraischabgeschlossenen Verlängerung . Unter all diesen Erweiterungen ist es eine und nur eine ( bis auf Isomorphie , aber nicht einzigartig Isomorphismus ) , die eine ist algebraische Erweiterung von C ; es wird der genannte algebraische Abschluss von F .

Die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper hat Quantorenelimination .

Anmerkungen

Verweise

  • Barwise, Jon (1978), "Eine Einführung in die Logik erster Ordnung", in Barwise, Jon, Handbook of Mathematical Logic , Studies in Logik und die Grundlagen der Mathematik, Nordholland, ISBN  0-7204-2285-X
  • Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Revised dritter Hg.), New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4 , MR  1878556
  • Shipman, Joseph (2007), "Verbesserung des Fundamentalsatzes der Algebra", Mathematical Intelligencer , 29 (4), S. 9-14. Doi : 10.1007 / BF02986170 , ISSN  0343-6993
  • van der Waerden, Bartel Leendert (2003), Algebra , I (7. Aufl.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-40624-7