Algebraisch geschlossenes Feld - Algebraically closed field

In der Mathematik ist ein Gebiet F wird algebraisch geschlossen , wenn jedes nicht-konstantes Polynom in F [ x ] (die univariate Polynomrings mit Koeffizienten in F ) einen hat Wurzel in F .

Beispiele

Zum Beispiel ist der Körper der reellen Zahlen nicht algebraisch abgeschlossen, da die Polynomgleichung x 2  + 1 = 0 keine Lösung in reellen Zahlen hat, obwohl alle ihre Koeffizienten (1 und 0) reell sind. Das gleiche Argument beweist, dass kein Teilkörper des reellen Körpers algebraisch abgeschlossen ist; insbesondere ist der Körper der rationalen Zahlen nicht algebraisch abgeschlossen. Auch ist kein endlicher Körper F algebraisch abgeschlossen, denn wenn a 1 , a 2 , ..., a n die Elemente von F sind , dann ist das Polynom ( x  −  a 1 )( x  −  a 2 ) ⋯ ( x  −  a n ) + 1 hat keinen Null in F . Im Gegensatz dazu besagt der Fundamentalsatz der Algebra , dass der Körper der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen ist. Ein weiteres Beispiel für einen algebraisch abgeschlossenen Körper ist der Körper der (komplexen) algebraischen Zahlen .

Äquivalente Eigenschaften

Für einen Körper F ist die Aussage " F ist algebraisch abgeschlossen" äquivalent zu anderen Aussagen:

Die einzigen irreduziblen Polynome sind diejenigen vom Grad eins

Der Körper F ist genau dann algebraisch abgeschlossen, wenn die einzigen irreduziblen Polynome im Polynomring F [ x ] diejenigen vom Grad eins sind.

Die Behauptung "die Polynome ersten Grades sind irreduzibel" gilt trivialerweise für jeden Körper. Wenn F algebraisch abgeschlossen ist und p ( x ) ein irreduzibles Polynom von F [ x ] ist, dann hat es eine Wurzel a und daher ist p ( x ) ein Vielfaches von x  −  a . Da p ( x ) irreduzibel ist, bedeutet dies, dass p ( x ) =  k ( x  −  a ), für einige k  ∈  F  \ {0}. Andererseits, wenn F nicht algebraisch abgeschlossen ist, dann gibt es ein nicht konstantes Polynom p ( x ) in F [ x ] ohne Wurzeln in F . Sei q ( x ) ein irreduzibler Faktor von p ( x ). Da p ( x ) hat keine Wurzeln in F , q ( x ) hat auch keine Wurzeln in F . Daher hat q ( x ) einen Grad größer als eins, da jedes Polynom ersten Grades eine Wurzel in F hat .

Jedes Polynom ist ein Produkt von Polynomen ersten Grades

Das Feld F , wenn jedes Polynom algebraisch , wenn und nur dann geschlossen , p ( x ) vom Grad n  ≥ 1 ist , mit Koeffizienten in F , Splits in lineare Faktoren . Mit anderen Worten, es ist Elemente kx 1x 2 , ...,  x n des Feldes F , so daß p ( x ) =  k ( x  -  x 1 ) ( x  -  x 2 ) ⋯ ( x  -  x n. ).

Wenn F diese Eigenschaft hat, dann hat offensichtlich jedes nichtkonstante Polynom in F [ x ] eine Wurzel in F ; mit anderen Worten, F ist algebraisch abgeschlossen. Dass die hier angegebene Eigenschaft andererseits für F gilt, wenn F algebraisch abgeschlossen ist, folgt aus der vorherigen Eigenschaft zusammen mit der Tatsache, dass für jeden Körper K jedes Polynom in K [ x ] als Produkt irreduzibler Polynome geschrieben werden kann .

Polynome Primzahlgrade haben Wurzeln

Wenn jedes Polynom über F Primzahlgrades eine Wurzel in F hat , dann hat jedes nicht konstante Polynom eine Wurzel in F . Daraus folgt, dass ein Körper genau dann algebraisch abgeschlossen ist, wenn jedes Polynom über F Primzahlgrades eine Wurzel in F hat .

Das Feld hat keine richtige algebraische Erweiterung

Der Körper F ist genau dann algebraisch abgeschlossen, wenn er keine echte algebraische Erweiterung hat .

Wenn F keine echte algebraische Erweiterung hat, sei p ( x ) ein irreduzibles Polynom in F [ x ]. Dann ist der Quotient von F [ x ] modulo das von p ( x ) erzeugte Ideal eine algebraische Erweiterung von F, deren Grad gleich dem Grad von p ( x ) ist. Da es sich nicht um eine echte Erweiterung handelt, ist sein Grad 1 und daher der Grad von p ( x ) 1.

Wenn F dagegen eine echte algebraische Erweiterung K hat , dann ist das minimale Polynom eines Elements in K  \  F irreduzibel und sein Grad ist größer als 1.

Der Körper hat keine echte endliche Erweiterung

Der Körper F ist genau dann algebraisch abgeschlossen, wenn er keine echte endliche Erweiterung hat, denn wenn innerhalb des vorherigen Beweises der Term "algebraische Erweiterung" durch den Term "endliche Erweiterung" ersetzt wird, dann ist der Beweis immer noch gültig. (Beachten Sie, dass endliche Erweiterungen notwendigerweise algebraisch sind.)

Jeder Endomorphismus von F n hat einen Eigenvektor

Der Körper F ist genau dann algebraisch abgeschlossen, wenn für jede natürliche Zahl n jede lineare Abbildung von F n in sich selbst einen Eigenvektor besitzt .

Ein Endomorphismus von F n hat genau dann einen Eigenvektor, wenn sein charakteristisches Polynom eine Wurzel hat. Wenn F also algebraisch abgeschlossen ist, hat jeder Endomorphismus von F n einen Eigenvektor. Wenn andererseits jeder Endomorphismus von F n einen Eigenvektor hat, sei p ( x ) ein Element von F [ x ]. Dividieren durch seinen führenden Koeffizienten erhalten wir ein weiteres Polynom q ( x ), das genau dann Wurzeln hat, wenn p ( x ) Wurzeln hat. Aber wenn q ( x ) =  x n  +  a n  − 1 x n  − 1 + ⋯ +  a 0 , dann ist q ( x ) das charakteristische Polynom der n×n- Begleitmatrix

Zerlegung rationaler Ausdrücke

Der Körper F ist genau dann algebraisch abgeschlossen, wenn jede rationale Funktion in einer Variablen x mit Koeffizienten in F als Summe einer Polynomfunktion mit rationalen Funktionen der Form a /( x  −  b ) n geschrieben werden kann , wobei n eine natürliche Zahl ist und a und b Elemente von F sind .

Wenn F algebraisch abgeschlossen ist, dann gilt, da die irreduziblen Polynome in F [ x ] alle vom Grad 1 sind, die oben genannte Eigenschaft durch den Satz über die Partialbruchzerlegung .

Nehmen wir andererseits an, dass die oben genannte Eigenschaft für den Körper F gilt . Sei p ( x ) ein irreduzibles Element in F [ x ]. Dann lässt sich die rationale Funktion 1/ p als Summe einer Polynomfunktion q mit rationalen Funktionen der Form a /( x  −  b ) n schreiben . Daher ist der rationale Ausdruck

kann als Quotient zweier Polynome geschrieben werden, wobei der Nenner ein Produkt von Polynomen ersten Grades ist. Da p ( x ) irreduzibel ist, muss es dieses Produkt teilen und muss daher auch ein Polynom ersten Grades sein.

Relativ Primzahlpolynome und Nullstellen

Für einen Körper F , wenn zwei Polynome p ( x ), q ( xF [ x ] relativ prim sind, dann haben sie keine gemeinsame Wurzel, denn wenn a  ∈  F eine gemeinsame Wurzel wäre, dann  p ( x ) und   q ( x ) wären beide Vielfache von x  −  a und daher nicht teilerfremd. Die Körper, für die die umgekehrte Implikation gilt (dh die Körper, bei denen immer zwei Polynome keine gemeinsame Wurzel haben, dann sind sie relativ prim) sind genau die algebraisch abgeschlossenen Körper.

Wenn der Körper F algebraisch abgeschlossen ist, seien p ( x ) und q ( x ) zwei nicht teilerfremde Polynome und sei r ( x ) ihr größter gemeinsamer Teiler . Da r ( x ) nicht konstant ist, hat es dann eine Wurzel a , die dann eine gemeinsame Wurzel von p ( x ) und q ( x ) ist.

Falls F nicht algebraisch abgeschlossen ist, sei p ( x ) ein Polynom mit einem Grad von mindestens 1 ohne Nullstellen. Dann sind p ( x ) und p ( x ) nicht relativ prim, aber sie haben keine gemeinsamen Wurzeln (da keine von ihnen Wurzeln hat).

Andere Eigenschaften

Ist F ein algebraisch abgeschlossener Körper und n eine natürliche Zahl, dann enthält F alle n- ten Einheitswurzeln, denn dies sind (per Definition) die n (nicht unbedingt verschiedenen) Nullstellen des Polynoms x n  − 1. Eine Körpererweiterung das in einer Erweiterung enthalten ist, die von den Einheitswurzeln erzeugt wird, ist eine zyklotomische Erweiterung , und die Erweiterung eines Körpers, die von allen Einheitswurzeln erzeugt wird, wird manchmal ihre zyklotomische Abgeschlossenheit genannt . Somit sind algebraisch abgeschlossene Körper zyklotomisch abgeschlossen. Das Gegenteil ist nicht wahr. Selbst die Annahme, dass jedes Polynom der Form x n  −  a in lineare Faktoren zerfällt, reicht nicht aus, um sicherzustellen, dass das Feld algebraisch abgeschlossen ist.

Wenn ein Satz, der in der Sprache der Logik erster Ordnung ausgedrückt werden kann, für einen algebraisch abgeschlossenen Körper gilt, dann gilt er für jeden algebraisch abgeschlossenen Körper mit der gleichen Eigenschaft . Wenn ein solcher Satz für einen algebraisch abgeschlossenen Körper mit der Eigenschaft 0 gilt, dann gilt er nicht nur für alle anderen algebraisch abgeschlossenen Körper mit der Eigenschaft 0, sondern es gibt auch eine natürliche Zahl N, so dass der Satz für jedes algebraisch abgeschlossene . gilt Feld mit Charakteristik  p wenn p  >  N .

Jeder Körper F hat eine algebraisch abgeschlossene Erweiterung. Eine solche Erweiterung wird als algebraisch abgeschlossene Erweiterung bezeichnet . Unter all diesen Erweiterungen gibt es eine und nur eine ( bis auf Isomorphie , aber nicht eindeutige Isomorphie ), die eine algebraische Erweiterung von F ist ; es heißt algebraischer Abschluss von F .

Die Theorie der algebraisch geschlossenen Felder hat eine Quantoreneliminierung .

Anmerkungen

Verweise

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  • van der Waerden, Bartel Leendert (2003). Algebra . ich (7. Aufl.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-40624-7.