Amorpher Satz - Amorphous set

In der Mengenlehre ist eine amorphe Menge eine unendliche Menge, die nicht die disjunkte Vereinigung zweier unendlicher Teilmengen ist .

Existenz

Amorphe Mengen können nicht existieren, wenn das Auswahlaxiom angenommen wird. Fraenkel konstruierte ein Permutationsmodell von Zermelo-Fraenkel mit Atomen, in dem die Menge der Atome eine amorphe Menge ist. Nach Cohens erster Arbeit zum Forcieren im Jahr 1963 wurden Beweise für die Konsistenz amorpher Mengen mit Zermelo-Fraenkel erbracht.

Zusätzliche Eigenschaften

Jede amorphe Menge ist Dedekind-endlich , was bedeutet, dass sie keine Bijektion auf eine echte Teilmenge von sich selbst hat. Um dies zu sehen, nehmen wir an, dass dies eine Menge ist, die eine Bijektion zu einer echten Teilmenge hat. Definiere für jede natürliche Zahl die Menge der Elemente, die zum Bild der -fachen Zusammensetzung von f mit sich selbst gehören, aber nicht zum Bild der -fachen Zusammensetzung. Dann ist jede nicht leer, also wäre die Vereinigung der Mengen mit geraden Indizes eine unendliche Menge, deren Komplement in ebenfalls unendlich ist, was zeigt, dass sie nicht amorph sein kann. Das Umgekehrte ist jedoch nicht unbedingt wahr: Es ist konsistent, dass es unendliche Dedekind-endliche Mengen gibt, die nicht amorph sind. ${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle i\geq 0}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (i+1)}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

Keine amorphe Menge kann linear geordnet werden . Da das Bild einer amorphen Menge selbst entweder amorph oder endlich ist, folgt daraus, dass jede Funktion von einer amorphen Menge bis zu einer linear geordneten Menge nur ein endliches Bild hat.

Der Cofinite-Filter auf einem amorphen Set ist ein Ultrafilter . Dies liegt daran, dass das Komplement jeder unendlichen Teilmenge nicht unendlich sein darf, sodass jede Teilmenge entweder endlich oder kofinit ist.

Variationen

Ist eine Zerlegung einer amorphen Menge in endliche Teilmengen, dann muss es genau eine ganze Zahl geben , die unendlich viele Teilmengen der Größe hat ; denn wenn jede Größe endlich viele Male verwendet wurde oder wenn mehr als eine Größe unendlich oft verwendet wurde, könnte diese Information verwendet werden, um die Partition zu vergröbern und in zwei unendliche Teilmengen aufzuspalten . Besitzt eine amorphe Menge die zusätzliche Eigenschaft, dass für jede Partition , , so heißt sie streng amorph oder stark amorph , und gibt es eine endliche obere Schranke, dann heißt die Menge beschränkt amorph . Es stimmt mit ZF überein, dass amorphe Mengen existieren und alle beschränkt sind, oder dass sie existieren und alle unbeschränkt sind. ${\displaystyle\Pi}$${\displaystyle n(\Pi)}$${\displaystyle\Pi}$${\displaystyle n}$${\displaystyle\Pi}$${\displaystyle\Pi}$${\displaystyle n(\Pi)=1}$${\displaystyle n(\Pi)}$

Verweise