Ampères Kraftgesetz - Ampère's force law

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Wissenschaftler Ampere Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauß Heaviside Henry Hertz Joule Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Ohm Ritchie Savart Sänger Tesla Volta Weber
v t e

Zwei stromführende Drähte ziehen sich magnetisch an: Der untere Draht hat den Strom I ₁ , der das Magnetfeld B _{1 erzeugt} . Der obere Draht führt einen Strom I ₂ durch das Magnetfeld B ₁ , so dass (durch die Lorentzkraft ) der Draht eine Kraft F ₁₂ erfährt . (Nicht gezeigt ist der gleichzeitige Vorgang, bei dem der obere Draht ein Magnetfeld erzeugt, das zu einer Kraft auf den unteren Draht führt.)

In der Magnetostatik wird die Anziehungs- oder Abstoßungskraft zwischen zwei stromführenden Drähten (siehe erste Abbildung unten) häufig als Ampère-Kraftgesetz bezeichnet . Der physikalische Ursprung dieser Kraft besteht darin, dass jeder Draht nach dem Biot-Savart-Gesetz ein Magnetfeld erzeugt und der andere Draht infolgedessen nach dem Lorentz-Kraftgesetz eine Magnetkraft erfährt .

Gleichung

Sonderfall: Zwei gerade parallele Drähte

Das bekannteste und einfachste Beispiel für das Kraftgesetz von Ampère, das (vor dem 20. Mai 2019) der Definition des Ampere , der SI- Einheit des Stroms, zugrunde lag, besagt, dass die Magnetkraft pro Längeneinheit zwischen zwei geraden parallelen Leitern beträgt

${\ displaystyle {\ frac {F_ {m}} {L}} = 2k _ {\ rm {A}} {\ frac {I_ {1} I_ {2}} {r}}}$ ,

wobei die Magnetkraft konstant aus dem Gesetz von Biot-Savart , auf beiden Drähten pro Längeneinheit der kürzer ist die Gesamtkraft ist (je länger als unendlich lange relativ zu dem kürzeren angenähert wird), ist der Abstand zwischen den beiden Drähten und , sind die Gleichströme, die von den Drähten getragen werden. ${\ displaystyle k _ {\ rm {A}}}$${\ displaystyle F_ {m} / L}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle I_ {1}}$${\ displaystyle I_ {2}}$

Dies ist eine gute Annäherung, wenn ein Draht ausreichend länger als der andere ist, so dass er als unendlich lang angenähert werden kann, und wenn der Abstand zwischen den Drähten im Vergleich zu ihrer Länge klein ist (so dass die eine Annäherung an einen unendlichen Draht gilt). aber groß im Vergleich zu ihren Durchmessern (so dass sie auch als unendlich dünne Linien angenähert werden können). Der Wert von hängt vom gewählten Einheitensystem ab, und der Wert von entscheidet, wie groß die Stromeinheit sein wird. Im SI- System ${\ displaystyle k _ {\ rm {A}}}$${\ displaystyle k _ {\ rm {A}}}$

${\ displaystyle k _ {\ rm {A}} \ {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \ {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} }}$

mit der Magnetkonstante , definiert in SI-Einheiten als ${\ displaystyle \ mu _ {0}}$

${\ displaystyle \ mu _ {0} \ {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \ 4 \ pi \ times 10 ^ {- 7}}$ N / A ² .

So wird im Vakuum

Die Kraft pro Meter Länge zwischen zwei parallelen Leitern, die 1 m voneinander entfernt sind und jeweils einen Strom von 1  A führen, ist genau

${\ displaystyle \ displaystyle 2 \ times 10 ^ {- 7}}$ N / m .

Allgemeiner Fall

Die allgemeine Formulierung der Magnetkraft für beliebige Geometrien basiert auf iterierten Linienintegralen und kombiniert das Biot-Savart-Gesetz und die Lorentz-Kraft in einer Gleichung, wie unten gezeigt.

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {12} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {L_ {1}} \ int _ {L_ {2}} {\ frac {I_ {1} d {\ vec {\ ell}} _ {1} \ \ mathbf {\ times} \ (I_ {2} d {\ vec {\ ell}} _ {2} \ \ mathbf {\ times} \ {\ hat {\ mathbf {r}}} _ {21})} {| r | ^ {2}}}$ ,

wo

• ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {12}}$ ist die gesamte Magnetkraft, die Draht 1 aufgrund von Draht 2 empfindet (normalerweise gemessen in Newton ).
• ${\ displaystyle I_ {1}}$ und sind die Ströme, die durch die Drähte 1 bzw. 2 fließen (üblicherweise gemessen in Ampere ), ${\ displaystyle I_ {2}}$
• Die Doppellinienintegration summiert die Kraft auf jedes Element von Draht 1 aufgrund des Magnetfelds jedes Elements von Draht 2,
• ${\ displaystyle d {\ vec {\ ell}} _ {1}}$ und sind infinitesimale Vektoren, die Draht 1 bzw. Draht 2 zugeordnet sind (üblicherweise gemessen in Metern ); siehe Linienintegral für eine detaillierte Definition, ${\ displaystyle d {\ vec {\ ell}} _ {2}}$
• Der Vektor ist der Einheitsvektor, der vom Differentialelement auf Draht 2 zum Differentialelement auf Draht 1 und | r | zeigt ist der Abstand zwischen diesen Elementen, ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}} _ {21}}$
• Die Multiplikation × ist ein Vektorkreuzprodukt ,
• Das Vorzeichen von ist relativ zur Ausrichtung (z. B. wenn in Richtung des konventionellen Stroms zeigt , dann ). ${\ displaystyle I_ {n}}$${\ displaystyle d {\ vec {\ ell}} _ {n}}$${\ displaystyle d {\ vec {\ ell}} _ {1}}$${\ displaystyle I_ {1}> 0}$

Um die Kraft zwischen Drähten in einem Materialmedium zu bestimmen, wird die Magnetkonstante durch die tatsächliche Permeabilität des Mediums ersetzt.

Für den Fall von zwei getrennten geschlossenen Drähten kann das Gesetz auf folgende äquivalente Weise umgeschrieben werden, indem das Vektor-Tripelprodukt erweitert und der Satz von Stokes angewendet wird:

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {12} = - {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {L_ {1}} \ int _ {L_ {2} } {\ frac {(I_ {1} d {\ vec {\ ell}} _ {1} \ \ mathbf {\ cdot} \ I_ {2} d {\ vec {\ ell}} _ {2}) \ {\ hat {\ mathbf {r}}} _ {21}} {| r | ^ {2}}}.}$

In dieser Form ist sofort ersichtlich, dass die Kraft auf Draht 1 aufgrund von Draht 2 gleich und entgegengesetzt zu der Kraft auf Draht 2 aufgrund von Draht 1 gemäß dem 3. Newtonschen Gesetz ist .

Historischer Hintergrund

Diagramm des ursprünglichen Ampere-Experiments

Die allgemein gegebene Form des Ampere-Kraftgesetzes wurde von Maxwell abgeleitet und ist einer von mehreren Ausdrücken, die mit den ursprünglichen Experimenten von Ampère und Gauss übereinstimmen . Die x-Komponente der Kraft zwischen zwei linearen Strömen I und I ', wie im nebenstehenden Diagramm dargestellt, wurde von Ampère 1825 und Gauss 1833 wie folgt angegeben:

${\ displaystyle dF_ {x} = kII'ds '\ int ds {\ frac {\ cos (xds) \ cos (rds') - \ cos (rx) \ cos (dsds ')} {r ^ {2}} }.}$

Nach Ampère entwickelten eine Reihe von Wissenschaftlern, darunter Wilhelm Weber , Rudolf Clausius , James Clerk Maxwell , Bernhard Riemann , Hermann Grassmann und Walther Ritz , diesen Ausdruck, um einen grundlegenden Ausdruck der Kraft zu finden. Durch Differenzierung kann gezeigt werden, dass:

${\ displaystyle {\ frac {\ cos (xds) \ cos (rds ')} {r ^ {2}}} = - \ cos (rx) {\ frac {(\ cos \ epsilon -3 \ cos \ phi \ cos \ phi ')} {r ^ {2}}}}$ .

und auch die Identität:

${\ displaystyle {\ frac {\ cos (rx) \ cos (dsds ')} {r ^ {2}}} = {\ frac {\ cos (rx) \ cos \ epsilon} {r ^ {2}}} }}$ .

Mit diesen Ausdrücken kann das Kraftgesetz von Ampère ausgedrückt werden als:

${\ displaystyle dF_ {x} = kII'ds '\ int ds' \ cos (rx) {\ frac {2 \ cos \ epsilon -3 \ cos \ phi \ cos \ phi '} {r ^ {2}}} }}$ .

Verwenden der Identitäten:

${\ displaystyle {\ frac {\ partielle r} {\ partielle s}} = \ cos \ phi, {\ frac {\ partielle r} {\ partielle s '}} = - \ cos \ phi'}$ .

und

${\ displaystyle {\ frac {\ partielle ^ {2} r} {\ partielle s \ partielle s '}} = {\ frac {- \ cos \ epsilon + \ cos \ phi \ cos \ phi'} {r}} }}$ .

Die Ergebnisse von Ampère können wie folgt ausgedrückt werden:

${\ displaystyle d ^ {2} F = {\ frac {kII'dsds '} {r ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partielle r} {\ partielle s}} {\ frac {\ partielle r} {\ partielle s '}} - 2r {\ frac {\ partielle ^ {2} r} {\ partielle s \ partielle s'}} \ rechts)}$ .

Wie Maxwell bemerkte, können diesem Ausdruck Terme hinzugefügt werden, die Ableitungen einer Funktion Q (r) sind und sich, wenn sie integriert sind, gegenseitig aufheben. So gab Maxwell "die allgemeinste Form, die mit den experimentellen Tatsachen übereinstimmt" für die Kraft auf ds, die sich aus der Wirkung von ds ergibt:

${\ displaystyle d ^ {2} F_ {x} = kII'dsds '{\ frac {1} {r ^ {2}}} \ left [\ left (\ left ({\ frac {\ partielle r} {\ partielle s}} {\ frac {\ partielle r} {\ partielle s '}} - 2r {\ frac {\ partielle ^ {2} r} {\ partielle s \ partielle s'}} \ rechts) + r {\ frac {\ partielle ^ {2} Q} {\ partielle s \ partielle s '}} \ rechts) \ cos (rx) + {\ frac {\ partielle Q} {\ partielle s'}} \ cos (xds) - {\ frac {\ partielles Q} {\ partielles s}} \ cos (xds ') \ right]}$ .

Q ist nach Maxwell eine Funktion von r, die "nicht ohne irgendwelche Annahmen aus Experimenten bestimmt werden kann, bei denen der aktive Strom einen geschlossenen Kreislauf bildet". Nehmen Sie die Funktion Q (r) in der Form:

${\ displaystyle Q = - {\ frac {(1 + k)} {2r}}}$

Wir erhalten den allgemeinen Ausdruck für die Kraft, die ds auf ds ausübt:

${\ displaystyle \ mathbf {d ^ {2} F} = - {\ frac {kII '} {2r ^ {2}}} \ left [(3-k) {\ hat {\ mathbf {r_ {1}} }} (\ mathbf {dsds '}) -3 (1-k) {\ hat {\ mathbf {r_ {1}}} (\ mathbf {{\ hat {r_ {1}}} ds}) (\ mathbf {{\ hat {r_ {1}}} ds '}) - (1 + k) \ mathbf {ds} (\ mathbf {{\ hat {r_ {1}}} ds'}) - (1 + k ) \ mathbf {d's} (\ mathbf {{\ hat {r_ {1}}} ds}) \ right]}$ .

Die Integration um s 'eliminiert k und der ursprüngliche Ausdruck von Ampère und Gauss wird erhalten. Für die ursprünglichen Ampère-Experimente hat der Wert von k daher keine Bedeutung. Ampère nahm k = -1; Gauß nahm k = + 1, ebenso wie Grassmann und Clausius, obwohl Clausius die S-Komponente wegließ. In den nicht-ätherischen Elektronentheorien nahm Weber k = -1 und Riemann k = + 1. Ritz ließ k in seiner Theorie unbestimmt. Wenn wir k = -1 nehmen, erhalten wir den Ampère-Ausdruck:

${\ displaystyle \ mathbf {d ^ {2} F} = - {\ frac {kII '} {r ^ {3}}} \ left [2 \ mathbf {r} (\ mathbf {dsds'}) -3 \ mathbf {r} (\ mathbf {rds}) (\ mathbf {rds '}) \ right]}$

Wenn wir k = + 1 nehmen, erhalten wir

${\ displaystyle \ mathbf {d ^ {2} F} = - {\ frac {kII '} {r ^ {3}}} \ left [\ mathbf {r} (\ mathbf {dsds'}) - \ mathbf { ds (rds ')} - \ mathbf {ds' (rds)} \ right]}$

Unter Verwendung der Vektoridentität für das Dreifachkreuzprodukt können wir dieses Ergebnis als ausdrücken

${\ displaystyle \ mathbf {d ^ {2} F} = {\ frac {kII '} {r ^ {3}}} \ left [\ left (\ mathbf {ds} \ times \ mathbf {ds'} \ times \ mathbf {r} \ right) + \ mathbf {ds '(rds)} \ right]}$

Wenn um ds 'integriert, ist der zweite Term Null, und daher finden wir die Form des von Maxwell gegebenen Kraftgesetzes von Ampère:

${\ displaystyle \ mathbf {F} = kII '\ int \ int {\ frac {\ mathbf {ds} \ times (\ mathbf {ds'} \ times \ mathbf {r})} {| r | ^ {3} }}}$

Ableitung des parallelen geraden Drahtgehäuses aus der allgemeinen Formel

Beginnen Sie mit der allgemeinen Formel:

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {12} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {L_ {1}} \ int _ {L_ {2}} {\ frac {I_ {1} d {\ vec {\ ell}} _ {1} \ \ mathbf {\ times} \ (I_ {2} d {\ vec {\ ell}} _ {2} \ \ mathbf {\ times} \ {\ hat {\ mathbf {r}}} _ {21})} {| r | ^ {2}}}$ ,

Angenommen, Draht 2 liegt entlang der x-Achse und Draht 1 liegt bei y = D, z = 0 parallel zur x-Achse. Sei die x-Koordinate des Differentialelements von Draht 1 bzw. Draht 2. Mit anderen Worten ist das Differentialelement von Draht 1 an und das Differentialelement von Draht 2 an . Durch Eigenschaften von Linienintegralen und . Ebenfalls, ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$${\ displaystyle (x_ {1}, D, 0)}$${\ displaystyle (x_ {2}, 0,0)}$${\ displaystyle d {\ vec {\ ell}} _ {1} = (dx_ {1}, 0,0)}$${\ displaystyle d {\ vec {\ ell}} _ {2} = (dx_ {2}, 0,0)}$

${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}} _ {21} = {\ frac {1} {\ sqrt {(x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} + D ^ {2} }}} (x_ {1} -x_ {2}, D, 0)}$

und

${\ displaystyle | r | = {\ sqrt {(x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} + D ^ {2}}}}$

Daher ist das Integral

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {12} = {\ frac {\ mu _ {0} I_ {1} I_ {2}} {4 \ pi}} \ int _ {L_ {1}} \ int _ {L_ {2}} {\ frac {(dx_ {1}, 0,0) \ \ mathbf {\ times} \ \ left [(dx_ {2}, 0,0) \ \ mathbf {\ times} \ (x_ {1} -x_ {2}, D, 0) \ right]} {| (x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} + D ^ {2} | ^ {3/2} }}}$ .

Bewertung des Kreuzprodukts:

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {12} = {\ frac {\ mu _ {0} I_ {1} I_ {2}} {4 \ pi}} \ int _ {L_ {1}} \ int _ {L_ {2}} dx_ {1} dx_ {2} {\ frac {(0, -D, 0)} {| (x_ {1} -x_ {2}) ^ {2} + D ^ { 2} | ^ {3/2}}}}$ .

Als nächstes integrieren wir von bis : ${\ displaystyle x_ {2}}$${\ displaystyle - \ infty}$${\ displaystyle + \ infty}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {12} = {\ frac {\ mu _ {0} I_ {1} I_ {2}} {4 \ pi}} {\ frac {2} {D}} (0, -1,0) \ int _ {L_ {1}} dx_ {1}}$ .

Wenn Draht 1 auch unendlich ist, divergiert das Integral, weil die gesamte Anziehungskraft zwischen zwei unendlich parallelen Drähten unendlich ist. Was wir wirklich wissen wollen, ist die Anziehungskraft pro Längeneinheit von Draht 1. Nehmen wir daher an, dass Draht 1 eine große, aber endliche Länge hat . Dann ist der von Draht 1 gefühlte Kraftvektor: ${\ displaystyle L_ {1}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {12} = {\ frac {\ mu _ {0} I_ {1} I_ {2}} {4 \ pi}} {\ frac {2} {D}} (0, -1,0) L_ {1}}$ .

Wie erwartet ist die Kraft, die der Draht empfindet, proportional zu seiner Länge. Die Kraft pro Längeneinheit beträgt:

${\ displaystyle {\ frac {{\ vec {F}} _ {12}} {L_ {1}}} = {\ frac {\ mu _ {0} I_ {1} I_ {2}} {2 \ pi D}} (0, -1,0)}$ .

Die Richtung der Kraft ist entlang der y-Achse und stellt Draht 1 dar, der erwartungsgemäß in Richtung Draht 2 gezogen wird, wenn die Ströme parallel sind. Die Größe der Kraft pro Längeneinheit stimmt mit dem oben gezeigten Ausdruck überein . ${\ displaystyle {\ frac {F_ {m}} {L}}}$

Bemerkenswerte Ableitungen des Ampèreschen Kraftgesetzes

Chronologisch geordnet:

• Ampères ursprüngliche Ableitung von 1823:
  • Assis, André Koch Torres; Chaib, JPM C; Ampère, André-Marie (2015). Ampères Elektrodynamik: Analyse der Bedeutung und Entwicklung von Ampères Kraft zwischen aktuellen Elementen, zusammen mit einer vollständigen Übersetzung seines Meisterwerks: Theorie elektrodynamischer Phänomene, die eindeutig aus der Erfahrung abgeleitet wurde (PDF) . Montreal: Apeiron. ISBN   978-1-987980-03-5 .
• Maxwells Ableitung von 1873:
  • Abhandlung über Elektrizität und Magnetismus vol. 2, teil 4, ch. 2 (§§502–527)
• Pierre Duhem 'Ableitung von 1892:
  • Duhem, Pierre Maurice Marie (9. September 2018). Ampères Kraftgesetz: Eine moderne Einführung . Alan Aversa (trans.). doi : 10.13140 / RG.2.2.31100.03206 / 1 . Abgerufen am 3. Juli 2019 . ( EPUB )
    • Übersetzung von: Leçons sur l'électricité et le magnétisme vol. 3, Anhang zu Buch 14, S. 309-332 (auf Französisch)
• Alfred O'Rahillys Ableitung von 1938:
  • Elektromagnetische Theorie: Eine kritische Untersuchung der Grundlagen vol. 1, S. 102–104 (vgl. Auch die folgenden Seiten)

Siehe auch

• Ampere
• Magnetische Konstante
• Lorentz Kraft
• Ampères Kreislaufgesetz
• Freiraum

Referenzen und Notizen

Externe Links

• Ampères Kraftgesetz Enthält eine animierte Grafik der Kraftvektoren.