Analoge Signalverarbeitung - Analog signal processing

Die analoge Signalverarbeitung ist eine Art der Signalverarbeitung, die an kontinuierlichen analogen Signalen durch einige analoge Mittel durchgeführt wird (im Gegensatz zur diskreten digitalen Signalverarbeitung, bei der die Signalverarbeitung durch einen digitalen Prozess ausgeführt wird). "Analog" bezeichnet etwas, das mathematisch als eine Menge kontinuierlicher Werte dargestellt wird. Dies unterscheidet sich von "digital", das eine Reihe von diskreten Größen verwendet, um das Signal darzustellen. Analogwerte werden typischerweise als Spannung , elektrischer Strom oder elektrische Ladung um Komponenten in den elektronischen Geräten herum dargestellt. Ein Fehler oder Rauschen, das solche physikalischen Größen beeinflusst, führt zu einem entsprechenden Fehler in den Signalen, die durch solche physikalischen Größen repräsentiert werden.

Beispiele für die analoge Signalverarbeitung sind Crossover-Filter in Lautsprechern, "Bass-", "Treble"- und "Lautstärke"-Regler bei Stereoanlagen und "Tint"-Regler bei Fernsehgeräten. Übliche analoge Verarbeitungselemente umfassen Kondensatoren, Widerstände und Induktoren (als passive Elemente) und Transistoren oder Operationsverstärker (als aktive Elemente).

Werkzeuge für die analoge Signalverarbeitung

Das Verhalten eines Systems kann mathematisch modelliert werden und wird im Zeitbereich als h(t) und im Frequenzbereich als H(s) dargestellt, wobei s eine komplexe Zahl in der Form s=a+ib oder s=a . ist +jb in der Elektrotechnik (Elektroingenieure verwenden "j" anstelle von "i", da der Strom durch die Variable i repräsentiert wird). Eingangssignale werden normalerweise als x(t) oder X(s) bezeichnet und Ausgangssignale werden normalerweise als y(t) oder Y(s) bezeichnet.

Faltung

Faltung ist das Grundkonzept in der Signalverarbeitung, das besagt, dass ein Eingangssignal mit der Funktion des Systems kombiniert werden kann, um das Ausgangssignal zu finden. Es ist das Integral des Produkts zweier Wellenformen, nachdem eine umgekehrt und verschoben wurde; das Symbol für die Faltung ist *.

Das ist das Faltungsintegral und wird verwendet, um die Faltung eines Signals und eines Systems zu finden; typischerweise a = -∞ und b = +∞.

Betrachten Sie zwei Wellenformen f und g. Durch Berechnung der Faltung bestimmen wir, um wie viel eine umgekehrte Funktion g entlang der x-Achse verschoben werden muss, um mit der Funktion f identisch zu werden. Die Faltungsfunktion kehrt die Funktion g im Wesentlichen um und verschiebt sie entlang der Achse und berechnet das Integral ihres (f und das umgekehrte und verschobene g) Produkt für jeden möglichen Gleitbetrag. Wenn die Funktionen übereinstimmen, wird der Wert von (f*g) maximiert. Dies geschieht, weil positive Bereiche (Peaks) oder negative Bereiche (Täler) multipliziert werden, sie zum Integral beitragen.

Fourier-Transformation

Die Fourier-Transformation ist eine Funktion, die ein Signal oder System im Zeitbereich in den Frequenzbereich transformiert, funktioniert aber nur für bestimmte Funktionen. Die Einschränkung, an die Systeme oder Signale durch die Fourier-Transformation transformiert werden können, ist folgende:

Dies ist das Fourier-Transformationsintegral:

Normalerweise wird das Fourier-Transformationsintegral nicht verwendet, um die Transformation zu bestimmen; stattdessen wird eine Tabelle von Transformationspaaren verwendet, um die Fourier-Transformation eines Signals oder Systems zu finden. Die inverse Fourier-Transformation wird verwendet, um vom Frequenzbereich in den Zeitbereich zu gelangen:

Jedes Signal oder System, das transformiert werden kann, hat eine einzigartige Fourier-Transformation. Für jedes Frequenzsignal gibt es nur ein Zeitsignal und umgekehrt.

Laplace-Transformation

Die Laplace-Transformation ist eine verallgemeinerte Fourier-Transformation . Es erlaubt eine Transformation jedes Systems oder Signals, da es sich um eine Transformation in die komplexe Ebene und nicht nur um die jω-Linie wie bei der Fourier-Transformation handelt. Der Hauptunterschied besteht darin, dass die Laplace-Transformation einen Konvergenzbereich hat, für den die Transformation gültig ist. Dies impliziert, dass ein Signal in der Frequenz mehr als ein Signal in der Zeit haben kann; das richtige Zeitsignal für die Transformation wird durch den Konvergenzbereich bestimmt . Wenn der Konvergenzbereich die jω-Achse enthält, kann jω in die Laplace-Transformation für s eingesetzt werden und ist dasselbe wie die Fourier-Transformation. Die Laplace-Transformation lautet:

und die inverse Laplace-Transformation, wenn alle Singularitäten von X(s) in der linken Hälfte der komplexen Ebene liegen, lautet:

Bode-Plots

Bode-Diagramme sind Diagramme der Größe über der Frequenz und der Phase über der Frequenz für ein System. Die Betragsachse ist in [Dezibel] (dB) angegeben. Die Phasenachse ist entweder in Grad oder im Bogenmaß angegeben. Die Frequenzachsen liegen in einer [logarithmischen Skala]. Diese sind nützlich, da bei sinusförmigen Eingaben die Ausgabe die Eingabe ist, die mit dem Wert des Betragsdiagramms bei der Frequenz multipliziert und mit dem Wert des Phasendiagramms bei der Frequenz verschoben wird.

Domänen

Zeitbereich

Dies ist die Domäne, mit der die meisten Menschen vertraut sind. Ein Plot im Zeitbereich zeigt die Amplitude des Signals in Abhängigkeit von der Zeit.

Frequenzbereich

Ein Diagramm im Frequenzbereich zeigt entweder die Phasenverschiebung oder die Größe eines Signals bei jeder Frequenz, bei der es existiert. Diese können durch die Fourier-Transformation eines Zeitsignals ermittelt werden und werden ähnlich einem Bode-Plot aufgetragen.

Signale

Während jedes Signal in der analogen Signalverarbeitung verwendet werden kann, gibt es viele Arten von Signalen, die sehr häufig verwendet werden.

Sinusoide

Sinuskurven sind der Baustein der analogen Signalverarbeitung. Alle Signale der realen Welt können über eine Fourier-Reihe als unendliche Summe von Sinusfunktionen dargestellt werden . Eine Sinusfunktion kann durch die Anwendung der Eulerschen Formel als Exponentialfunktion dargestellt werden .

Impuls

Ein Impuls ( Dirac-Deltafunktion ) ist definiert als ein Signal, das eine unendliche Größe und eine infinitesimal schmale Breite mit einer Fläche darunter von Eins hat, die bei Null zentriert ist. Ein Impuls kann als unendliche Summe von Sinuskurven dargestellt werden, die alle möglichen Frequenzen umfasst. Es ist in der Realität nicht möglich, ein solches Signal zu erzeugen, aber es kann mit einem schmalen Impuls großer Amplitude ausreichend angenähert werden, um die theoretische Impulsantwort in einem Netzwerk mit einem hohen Genauigkeitsgrad zu erzeugen. Das Symbol für einen Impuls ist δ(t). Wenn ein Impuls als Eingang für ein System verwendet wird, wird der Ausgang als Impulsantwort bezeichnet. Die Impulsantwort definiert das System, da alle möglichen Frequenzen im Eingang dargestellt werden

Schritt

Eine Einheitssprungfunktion, auch Heaviside-Stufenfunktion genannt , ist ein Signal, das eine Größe von Null vor Null und eine Größe von Eins nach Null hat. Das Symbol für einen Einheitsschritt ist u(t). Wenn ein Schritt als Eingang für ein System verwendet wird, wird der Ausgang als Sprungantwort bezeichnet. Die Sprungantwort zeigt, wie ein System auf eine plötzliche Eingabe reagiert, ähnlich wie beim Einschalten eines Schalters. Die Periode, bevor sich der Ausgang stabilisiert, wird als transienter Teil eines Signals bezeichnet. Die Sprungantwort kann mit anderen Signalen multipliziert werden, um zu zeigen, wie das System reagiert, wenn ein Eingang plötzlich eingeschaltet wird.

Die Einheitsschrittfunktion ist mit der Dirac-Deltafunktion verbunden durch;

Systeme

Lineare zeitinvariante (LTI)

Linearität bedeutet, dass Sie bei einer Linearkombination dieser beiden Eingänge eine Linearkombination der Ausgänge erhalten, wenn Sie zwei Eingänge und zwei entsprechende Ausgänge haben. Ein Beispiel für ein lineares System ist ein Tiefpass- oder Hochpassfilter erster Ordnung. Lineare Systeme bestehen aus analogen Geräten, die lineare Eigenschaften aufweisen. Diese Geräte müssen nicht vollständig linear sein, müssen jedoch einen linearen Betriebsbereich aufweisen. Ein Operationsverstärker ist ein nichtlineares Gerät, weist jedoch einen linearen Betriebsbereich auf, sodass er innerhalb dieses Betriebsbereichs als linear modelliert werden kann. Zeitinvarianz bedeutet, dass es egal ist, wann Sie ein System starten, es wird die gleiche Ausgabe ausgegeben. Wenn Sie beispielsweise ein System haben und heute eine Eingabe vornehmen, würden Sie die gleiche Ausgabe erhalten, wenn Sie das System stattdessen morgen starten würden. Es gibt keine echten Systeme, die LTI sind, aber viele Systeme können als LTI modelliert werden, um die Bestimmung ihrer Ausgabe zu vereinfachen. Alle Systeme haben eine gewisse Abhängigkeit von Dingen wie Temperatur, Signalpegel oder anderen Faktoren, die dazu führen, dass sie nicht linear oder nicht zeitinvariant sind, aber die meisten sind stabil genug, um als LTI modelliert zu werden. Linearität und Zeitinvarianz sind wichtig, da sie die einzigen Systemtypen sind, die mit herkömmlichen analogen Signalverarbeitungsverfahren leicht gelöst werden können. Sobald ein System nichtlinear oder zeitinvariant wird, wird es zu einem nichtlinearen Differentialgleichungsproblem, und es gibt nur sehr wenige davon, die tatsächlich gelöst werden können. (Haykin & Van Veen 2003)

Siehe auch

Schaltungen

Filter

Verweise

  • Haykin, Simon und Barry Van Veen. Signale und Systeme. 2. Aufl. Hoboken, NJ: John Wiley and Sons, Inc., 2003.
  • McClellan, James H., Ronald W. Schafer und Mark A. Yoder. Signalverarbeitung zuerst. Upper Saddle River, NJ: Pearson Education, Inc., 2003.