Kovarianzanalyse - Analysis of covariance

Die Kovarianzanalyse ( ANCOVA ) ist ein allgemeines lineares Modell, das ANOVA und Regression kombiniert . ANCOVA bewertet, ob die Mittelwerte einer abhängigen Variablen (DV) auf allen Ebenen einer kategorialen unabhängigen Variablen (IV) gleich sind, die oft als Behandlung bezeichnet wird, während die Auswirkungen anderer kontinuierlicher Variablen, die nicht von primärem Interesse sind, die als Kovariaten bekannt sind, statistisch kontrolliert werden ( CV) oder Störvariablen. Mathematisch zerlegt ANCOVA die Varianz im DV in die durch die CV(s) erklärte Varianz, die durch die kategoriale IV erklärte Varianz und die Restvarianz. Intuitiv kann man sich ANCOVA als „Anpassung“ des DV durch die Gruppenmittel der CV(s) vorstellen.

Das ANCOVA-Modell geht von einer linearen Beziehung zwischen Antwort (DV) und Kovariate (CV) aus:

${\displaystyle y_{ij}=\mu+\tau_{i}+\mathrm{B} (x_{ij}-{\overline {x}})+\epsilon_{ij}.}$

In dieser Gleichung ist der DV die j-te Beobachtung unter der i-ten kategorialen Gruppe; der CV, ist die j- te Beobachtung der Kovariate unter der i- ten Gruppe. Variablen im Modell, die aus den beobachteten Daten abgeleitet werden, sind (der große Mittelwert) und (der globale Mittelwert für die Kovariate ). Die anzupassenden Variablen sind (der Effekt des i- ten Niveaus der IV), (die Steigung der Linie) und (der zugehörige unbeobachtete Fehlerterm für die j- te Beobachtung in der i- ten Gruppe). ${\displaystyle y_{ij}}$${\displaystyle x_{ij}}$${\displaystyle\mu}$${\displaystyle {\overline {x}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \tau_{i}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \epsilon_{ij}}$

Unter dieser Spezifikation summieren sich die kategorialen Behandlungseffekte zu null. Es wird auch angenommen, dass die Standardannahmen des linearen Regressionsmodells gelten, wie unten erörtert. ${\displaystyle \left(\sum_{i}^{a}\tau_{i}=0\right).}$

Verwendet

Leistung erhöhen

ANCOVA kann verwendet werden, um die statistische Aussagekraft (die Wahrscheinlichkeit, dass ein signifikanter Unterschied zwischen Gruppen gefunden wird, wenn eine existiert) zu erhöhen, indem die Fehlervarianz innerhalb der Gruppe verringert wird . Um dies zu verstehen, ist es notwendig, den Test zu verstehen, der verwendet wird, um Unterschiede zwischen den Gruppen zu bewerten, den F-Test . Der F- Test wird berechnet, indem die erklärte Varianz zwischen den Gruppen (zB Unterschiede in der medizinischen Erholung) durch die unerklärte Varianz innerhalb der Gruppen geteilt wird. So,

${\displaystyle F={\frac {MS_{zwischen}}{MS_{innerhalb}}}}$

Wenn dieser Wert größer als ein kritischer Wert ist, schließen wir, dass es einen signifikanten Unterschied zwischen den Gruppen gibt. Unerklärte Varianz umfasst Fehlervarianz (zB individuelle Unterschiede) sowie den Einfluss anderer Faktoren. Daher wird der Einfluss von CVs im Nenner gruppiert. Wenn wir den Effekt von CVs auf den DV kontrollieren, entfernen wir ihn vom Nenner, wodurch F größer wird, wodurch Ihre Fähigkeit erhöht wird, einen signifikanten Effekt zu finden, falls überhaupt vorhanden.

Vorhandene Unterschiede anpassen

Eine weitere Verwendung von ANCOVA besteht darin, bereits bestehende Unterschiede in nicht gleichwertigen (intakten) Gruppen auszugleichen. Diese umstrittene Anwendung zielt darauf ab, anfängliche Gruppenunterschiede (vor der Gruppenzuordnung) zu korrigieren, die auf DV zwischen mehreren intakten Gruppen bestehen. In dieser Situation können die Teilnehmer nicht durch zufällige Zuweisung gleichgestellt werden, daher werden Lebensläufe verwendet, um die Punktzahlen anzupassen und die Teilnehmer einander ähnlicher zu machen als ohne den Lebenslauf. Allerdings gibt es selbst bei Verwendung von Kovariaten keine statistischen Techniken, die ungleiche Gruppen gleichsetzen können. Darüber hinaus kann der CV so eng mit dem IV verknüpft sein, dass das Entfernen der mit dem CV verbundenen Varianz des DV eine beträchtliche Varianz des DV entfernen würde, wodurch die Ergebnisse bedeutungslos werden.

Annahmen

Es gibt mehrere Schlüsselannahmen, die der Verwendung von ANCOVA zugrunde liegen und die Interpretation der Ergebnisse beeinflussen. Die Standardannahmen für die lineare Regression gelten; weiterhin nehmen wir an, dass die Steigung der Kovariate über alle Behandlungsgruppen hinweg gleich ist (Homogenität der Regressionssteigungen).

Annahme 1: Linearität der Regression

Die Regressionsbeziehung zwischen der abhängigen Variablen und den begleitenden Variablen muss linear sein.

Annahme 2: Homogenität der Fehlervarianzen

Der Fehler ist eine Zufallsvariable mit bedingtem Mittelwert von Null und gleichen Varianzen für verschiedene Behandlungsklassen und Beobachtungen.

Annahme 3: Unabhängigkeit von Fehlertermen

Die Fehler sind nicht korreliert. Das heißt, die Fehlerkovarianzmatrix ist diagonal.

Annahme 4: Normalität der Fehlerterme

Die Residuen (Fehlerterme) sollten normalverteilt sein ~ . ${\displaystyle \epsilon_{ij}}$${\displaystyle N(0,\sigma^{2})}$

Annahme 5: Homogenität der Regressionssteigungen

Die Steigungen der verschiedenen Regressionsgeraden sollten äquivalent sein, dh die Regressionsgeraden sollten zwischen den Gruppen parallel sein.

Die fünfte Frage, die die Homogenität der unterschiedlichen Regressionssteigungen der Behandlung betrifft, ist besonders wichtig, um die Angemessenheit des ANCOVA-Modells zu bewerten. Beachten Sie auch, dass nur die Fehlerterme normalverteilt sein müssen. Tatsächlich sind sowohl die unabhängige Variable als auch die begleitenden Variablen in den meisten Fällen nicht normalverteilt.

Durchführung einer ANCOVA

Multikollinearität testen

Wenn ein CV stark mit einem anderen CV verwandt ist (bei einer Korrelation von 0,5 oder mehr), dann wird der DV nicht über den anderen CV hinaus angepasst. Das eine oder andere sollte entfernt werden, da sie statistisch redundant sind.

Testen Sie die Homogenität der Varianzannahme

Getestet durch Levenes Test auf Gleichheit der Fehlervarianzen. Dies ist am wichtigsten, nachdem Anpassungen vorgenommen wurden, aber wenn Sie es vor der Anpassung haben, werden Sie es wahrscheinlich später haben.

Testen Sie die Homogenität der Annahme von Regressionssteigungen

Um zu sehen, ob der CV signifikant mit dem IV interagiert, führen Sie ein ANCOVA-Modell aus, das sowohl den IV- als auch den CVxIV-Interaktionsterm enthält. Wenn die CVxIV-Wechselwirkung signifikant ist, sollte ANCOVA nicht durchgeführt werden. Stattdessen schlagen Green & Salkind vor, die Gruppenunterschiede beim DV auf bestimmten Ebenen des CV zu bewerten. Ziehen Sie auch in Erwägung, eine moderierte Regressionsanalyse zu verwenden , bei der der CV und seine Interaktion als eine weitere IV behandelt werden. Alternativ könnte man Mediationsanalysen verwenden, um festzustellen, ob der CV die Wirkung der IV auf den DV berücksichtigt.

ANCOVA-Analyse durchführen

Wenn die CV×IV-Interaktion nicht signifikant ist, wiederholen Sie die ANCOVA ohne den CV×IV-Interaktionsterm. In dieser Analyse müssen Sie die angepassten Mittelwerte und den angepassten MSerror verwenden. Die angepassten Mittelwerte (auch als Mittel der kleinsten Quadrate, LS-Mittel, geschätzte marginale Mittel oder EMM bezeichnet) beziehen sich auf die Gruppenmittel, nachdem der Einfluss des CV auf den DV kontrolliert wurde.

Einfaches Haupteffektdiagramm, das eine kleine Interaktion zwischen den beiden Ebenen der unabhängigen Variablen zeigt.

Folgeanalysen

Wenn es einen signifikanten Haupteffekt gab , bedeutet dies, dass es einen signifikanten Unterschied zwischen den Niveaus einer IV gibt, wenn alle anderen Faktoren ignoriert werden. Um genau herauszufinden, welche Niveaus sich signifikant voneinander unterscheiden, kann man die gleichen Folgetests wie bei der ANOVA verwenden. Bei zwei oder mehr IVs kann es zu einer signifikanten Interaktion kommen , was bedeutet, dass sich die Wirkung einer IV auf den DV in Abhängigkeit von der Höhe eines anderen Faktors ändert. Man kann die einfachen Haupteffekte mit den gleichen Methoden wie bei einer faktoriellen ANOVA untersuchen .

Überlegungen zur Stromversorgung

Während die Einbeziehung einer Kovariate in eine ANOVA im Allgemeinen die statistische Aussagekraft erhöht , indem ein Teil der Varianz in der abhängigen Variablen berücksichtigt wird und somit das durch die unabhängigen Variablen erklärte Varianzverhältnis erhöht wird, verringert das Hinzufügen einer Kovariate in die ANOVA auch die Freiheitsgrade . Dementsprechend könnte das Hinzufügen einer Kovariate, die eine sehr geringe Varianz der abhängigen Variablen ausmacht, die Aussagekraft tatsächlich verringern.

Siehe auch

• MANCOVA (Multivariate Kovarianzanalyse)

Verweise

Externe Links

• Beispiele für alle ANOVA- und ANCOVA-Modelle mit bis zu drei Behandlungsfaktoren, einschließlich randomisiertem Block, Split-Plot, Messwiederholungen und lateinischen Quadraten, und deren Analyse in R (University of Southampton)
• Einweganalyse der Kovarianz für unabhängige Stichproben
• Verwendung von Kovariaten in randomisierten kontrollierten Studien von GJP Van Breukelen und KRA Van Dijk (2007)