Rente - Annuity

Eine Annuität ist eine Reihe von Zahlungen, die in gleichen Abständen geleistet werden. Beispiele für Renten sind regelmäßige Einzahlungen auf ein Sparkonto , monatliche Hypothek Zahlungen, monatliche Versicherungszahlungen und Rentenzahlungen. Annuitäten können nach der Häufigkeit der Zahlungstermine klassifiziert werden. Die Zahlungen (Einlagen) können wöchentlich, monatlich, vierteljährlich, jährlich oder in anderen regelmäßigen Zeitabständen erfolgen. Renten können durch mathematische Funktionen berechnet werden , die als "Annuitätenfunktionen" bekannt sind.

Eine Leibrente, die Zahlungen für den Rest des Lebens vorsieht, ist eine Leibrente .

Typen

Renten können auf verschiedene Arten klassifiziert werden.

Zeitpunkt der Zahlungen

Die Zahlung einer Leibrente erfolgt am Ende der Zahlungsfristen, so dass zwischen der Ausgabe der Leibrente und der ersten Zahlung Zinsen anfallen. Die Zahlung eines Annuitätendarlehens erfolgt zu Beginn der Zahlungsfristen, so dass eine Zahlung sofort beim Emittenten erfolgt.

Zahlungskontingenz

Annuitäten, die Zahlungen bereitstellen, die über einen im Voraus bekannten Zeitraum gezahlt werden, sind bestimmte oder garantierte Annuitäten. Nur unter bestimmten Umständen gezahlte Renten sind bedingte Renten . Ein gängiges Beispiel ist eine Leibrente , die über die Restlebensdauer des Rentenempfängers gezahlt wird. Bestimmte und lebenslange Renten werden für eine Reihe von Jahren garantiert gezahlt und werden dann vom Leben des Rentenempfängers abhängig gemacht.

Variabilität der Zahlungen

• Feste Renten – Dies sind Renten mit festen Zahlungen. Bei Bereitstellung durch ein Versicherungsunternehmen garantiert das Unternehmen eine feste Rendite auf die anfängliche Investition. Feste Renten werden nicht von der Securities and Exchange Commission reguliert .
• Variable Annuities – Registrierte Produkte, die von der SEC in den Vereinigten Staaten von Amerika reguliert werden . Sie ermöglichen eine Direktinvestition in verschiedene Fonds, die speziell für Variable Annuities geschaffen wurden. Typischerweise garantiert die Versicherungsgesellschaft eine bestimmte Todesfallleistung oder lebenslange Austrittsleistung.
• Aktienindexierte Renten – Renten mit an einen Index gekoppelten Zahlungen. Typischerweise beträgt die Mindestzahlung 0% und die Höchstzahlung wird im Voraus festgelegt. Die Wertentwicklung eines Index bestimmt, ob dem Kunden das Minimum, das Maximum oder etwas dazwischen gutgeschrieben wird.

Zahlungsaufschub

Eine Rente, deren Zahlung erst nach einer bestimmten Periode beginnt, ist eine aufgeschobene Rente (in der Regel nach der Pensionierung). Eine Leibrente, deren Zahlung beginnt, sobald der Kunde bezahlt hat, ohne Stundungsfrist ist eine sofortige Leibrente .

Bewertung

Die Bewertung einer Rente beinhaltet die Berechnung des Barwerts der zukünftigen Rentenzahlungen. Die Bewertung einer Annuität beinhaltet Konzepte wie den Zeitwert des Geldes , den Zinssatz und den zukünftigen Wert .

Renten-sicher

Wenn die Anzahl der Zahlungen im Voraus bekannt ist, handelt es sich bei der Rente um eine rentensichere oder garantierte Rente . Die Bewertung bestimmter Renten kann unter Verwendung von Formeln in Abhängigkeit vom Zeitpunkt der Zahlungen berechnet werden.

Renten-Sofort

Wenn die Zahlungen am Ende der Zeiträume erfolgen, so dass die Zinsen vor der Zahlung angesammelt werden, wird die Rente als Sofortrente oder ordentliche Rente bezeichnet . Hypothekenzahlungen sind sofort annuitätisch, Zinsen werden verdient, bevor sie ausgezahlt werden. Was ist Annuität fällig? Die fällige Annuität bezieht sich auf eine Reihe gleicher Zahlungen, die im gleichen Intervall zu Beginn jeder Periode geleistet werden. Perioden können monatlich, vierteljährlich, halbjährlich, jährlich oder jeder andere definierte Zeitraum sein. Beispiele für fällige Rentenzahlungen sind Miet-, Leasing- und Versicherungszahlungen, die zur Deckung der in der Zeit nach der Zahlung erbrachten Dienstleistungen geleistet werden.

	↓	↓	...	↓	Zahlungen
———	———	———	———	—
0	1	2	...	n	Perioden

Der Barwert einer Annuität ist der Wert eines Zahlungsstroms, der mit dem Zinssatz diskontiert wird, um der Tatsache Rechnung zu tragen, dass Zahlungen zu verschiedenen Zeitpunkten in der Zukunft erfolgen. Der Barwert ergibt sich in versicherungsmathematischer Schreibweise durch:

${\displaystyle a_{{\overline {n}}|i}={\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}},}$

wobei die Anzahl der Laufzeiten und der Zinssatz pro Periode ist. Der Barwert ist in der Höhe der Zahlungen linear, daher beträgt der Barwert für Zahlungen oder Miete : ${\displaystyle n}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\text{PV}}(i,n,R)=R\times a_{{\overline {n}}|i}.}$

In der Praxis werden Kredite oft jährlich mit Zinsaufzinsung und monatlichen Zahlungen ausgewiesen. In diesem Fall werden die Zinsen als Nominalzinssatz , und angegeben . ${\displaystyle I}$${\textstyle i=I/12}$

Der zukünftige Wert einer Annuität ist der kumulierte Betrag, einschließlich Zahlungen und Zinsen, eines Stroms von Zahlungen auf ein verzinsliches Konto. Bei einer Sofortrente ist es der Wert unmittelbar nach der n-ten Zahlung. Der zukünftige Wert ergibt sich aus:

${\displaystyle s_{{\overline {n}}|i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}},}$

wobei die Anzahl der Laufzeiten und der Zinssatz pro Periode ist. Der zukünftige Wert ist linear in der Höhe der Zahlungen, daher ist der zukünftige Wert für Zahlungen oder Miete : ${\displaystyle n}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\text{FV}}(i,n,R)=R\times s_{{\overline {n}}|i}}$

Beispiel: Der Barwert einer 5-jährigen Annuität mit einem nominalen Jahreszinssatz von 12 % und monatlichen Zahlungen von 100 US-Dollar beträgt:

${\displaystyle {\text{PV}}\left({\frac {0,12}{12}},5\times 12,\$100\right)=\$100\times a_{{\overline {60}}|0,01 }=\$4.495,50}$

Die Miete versteht sich als entweder die Menge am Ende jeder Periode im Gegenzug für einen Betrag PV zum Zeitpunkt Null entlehnt bezahlt, die Haupt des Darlehens oder der Betrag , um ein verzinsliches Konto am Ende jeder Periode ausgezahlt , wenn der PV-Betrag wird zum Zeitpunkt Null angelegt und das Konto wird mit der n-ten Abhebung zu Null.

Zukunfts- und Gegenwartswerte stehen in Beziehung, da:

${\displaystyle s_{{\overline {n}}|i}=(1+i)^{n}\times a_{{\overline {n}}|i}}$

und

${\displaystyle {\frac {1}{a_{{\overline {n}}|i}}}-{\frac {1}{s_{{\overline {n}}|i}}}=i}$

Nachweis der Annuitäten-Sofortformel

Um den Barwert zu berechnen, muss die k- te Zahlung auf die Gegenwart abgezinst werden, indem durch die Zinsen dividiert und durch k Terme aufgezinst werden. Daher ist der Beitrag der k Zahlung -te R wäre . Betrachtet man nur R als 1, dann gilt: ${\displaystyle {\frac {R}{(1+i)^{k}}}}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}a_{{\overline {n}}|i}&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1+i)^{k }}}={\frac {1}{1+i}}\sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {1}{1+i}}\right)^{ k}\\[5pt]&={\frac {1}{1+i}}\left({\frac {1-(1+i)^{-n}}{1-(1+i)^ {-1}}}\right)\quad \quad {\text{unter Verwendung der Gleichung für die Summe einer geometrischen Reihe}}\\[5pt]&={\frac {1-(1+i)^{ -n}}{1+i-1}}\\[5pt]&={\frac {1-\left({\frac {1}{1+i}}\right)^{n}}{i }},\end{ausgerichtet}}}$

was uns das gewünschte Ergebnis liefert.

Ebenso können wir die Formel für den zukünftigen Wert beweisen. Die Zahlung am Ende des letzten Jahres würde keine Zinsen ansammeln und die Zahlung am Ende des ersten Jahres würde für insgesamt ( n  − 1) Jahre Zinsen ansammeln . Deswegen,

${\displaystyle s_{{\overline {n}}|i}=1+(1+i)+(1+i)^{2}+\cdots +(1+i)^{n-1}=( 1+i)^{n}a_{{\overline {n}}|i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}.}$

Rentenzahlung

Eine Annuität ist eine Annuität, deren Zahlungen zu Beginn jeder Periode erfolgen. Einlagen in Spareinlagen, Miet- oder Pachtzahlungen und Versicherungsprämien sind Beispiele für fällige Renten.

↓	↓	...	↓		Zahlungen
———	———	———	———	—
0	1	...	n − 1	n	Perioden

Jede Rentenzahlung kann für eine zusätzliche Periode aufgezinst werden. Somit können die gegenwärtigen und zukünftigen Werte einer fälligen Rente berechnet werden.

${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}=(1+i)\times a_{{\overline {n|}}i}={\frac {1-( 1+i)^{-n}}{d}},}$

${\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n|}}i}=(1+i)\times s_{{\overline {n|}}i}={\frac {(1+ .) i)^{n}-1}{d}},}$

Dabei ist die Anzahl der Laufzeiten, der Zinssatz pro Laufzeit und der effektive Diskontsatz von angegeben . ${\displaystyle n}$${\displaystyle i}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d={\frac {i}{i+1}}}$

Die zukünftigen und Barwerte der fälligen Renten hängen zusammen, da:

${\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}=(1+i)^{n}\times {\ddot {a}}_{{\overline {n}} |i},}$

${\displaystyle {\frac {1}{{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}}}-{\frac {1}{{\ddot {s}}_{{\ Überstreichen {n}}|i}}}=d.}$

Beispiel: Der Endwert einer 7-jährigen Annuität mit einem nominalen Jahreszinssatz von 9 % und monatlichen Zahlungen von 100 US-Dollar kann wie folgt berechnet werden:

${\displaystyle {\text{FV}}_{\text{fällig}}\left({\frac {0.09}{12}},7\times 12,\$100\right)=\$100\times {\ddot {s}}_{{\overline {84}}|0,0075}=\$11.730,01.}$

In Excel übernehmen die PV- und FV-Funktionen das optionale fünfte Argument, das zwischen Annuität-Sofort oder Annuität-Fällig auswählt.

Eine fällige Leibrente mit n Zahlungen ist die Summe aus einer Leibrente jetzt und einer Leibrente mit einer Leistung weniger und auch zeitversetzt gleich einer Leibrente. Somit haben wir:

${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}=a_{{\overline {n}}|i}(1+i)=a_{{\overline {n-1 |}}i}+1}$. Der Wert zum Zeitpunkt der ersten von n Zahlungen von 1.

${\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n|}}i}=s_{{\overline {n}}|i}(1+i)=s_{{\overline {n+1 |}}i}-1}$. Der Wert eine Periode nach dem Zeitpunkt der letzten von n Zahlungen von 1.

Ewigkeit

Eine ewige Rente ist eine Rente , für die die Zahlungen immer weiter. Beobachte das

${\displaystyle \lim_{n\,\rightarrow\,\infty }{\text{PV}}(i,n,R)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}R\times a_ {{\overline {n}}|i}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}R\times {\frac {1-\left(1+i\right)^{-n}} {i}}=\,{\frac {R}{i}}.}$

Daher hat eine ewige Rente einen endlichen Barwert, wenn es einen Diskontierungssatz ungleich Null gibt. Die Formeln für eine Ewigkeit sind

${\displaystyle a_{{\overline {\infty}}|i}={\frac {1}{i}}{\text{ und }}{\ddot {a}}_{{\overline {\infty} }|i}={\frac {1}{d}},}$

Wo ist der Zinssatz und ist der effektive Diskontsatz. ${\displaystyle i}$${\displaystyle d={\frac {i}{1+i}}}$

Leibrenten

Die Bewertung von Leibrenten kann durch Berechnung des versicherungsmathematischen Barwerts der zukünftigen bedingten Lebensversicherungszahlungen erfolgen. Sterbetafeln werden verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, mit der der Rentenempfänger für jede zukünftige Zahlungsperiode lebt. Die Bewertung von Leibrenten hängt ebenso wie bei bestimmten Leibrenten vom Zeitpunkt der Zahlungen ab, jedoch können Leibrenten nicht mit ähnlichen Formeln berechnet werden, da der versicherungsmathematische Barwert die Sterbewahrscheinlichkeit in jedem Alter berücksichtigt.

Amortisationsberechnungen

Wenn eine Annuität zur Tilgung einer Schuld P mit Zinsen dient, beträgt der geschuldete Betrag nach n Zahlungen

${\displaystyle {\frac {R}{i}}-(1+i)^{n}\left({\frac {R}{i}}-P\right).}$

Denn das Schema ist gleichbedeutend mit der Kreditaufnahme des Betrags , um eine ewige Rente mit Kupon zu schaffen , und dem Einbringen dieses geliehenen Betrags in die Bank, um mit Zinsen zu wachsen . ${\displaystyle {\frac {R}{i}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\frac {R}{i}}-P}$${\displaystyle i}$

Dies kann auch als Barwert der verbleibenden Zahlungen angesehen werden

${\displaystyle R\left[{\frac {1}{i}}-{\frac {(i+1)^{nN}}{i}}\right]=R\times a_{{\overline {Nn }}|i}.}$

Siehe auch Festhypothek .

Beispielrechnungen

Formel zum Ermitteln der periodischen Zahlung R , gegeben A :

${\displaystyle R={\frac {A}{1+\left(1-\left(1+{\frac {j}{m}}\right)\right)^{-{\frac {(n- 1)}{j/m}}}}}}$

Beispiele:

1. Finden Sie die regelmäßige Zahlung einer fälligen Annuität in Höhe von 70.000 USD, zahlbar jährlich für 3 Jahre mit 15% jährlicher Aufzinsung.
   • R = 70.000/(1+〖(1-(1+((.15)/1) )〗^(-(3-1))/((.15)/1))
   • R = 70.000/2,625708885
   • R = 26659,46724 $

Finden Sie den PVOA-Faktor als. 1) finde r als, (1 ÷ 1,15)= 0,8695652174 2) finde r × ( r ⁿ − 1) ÷ ( r − 1) 08695652174 × (−0,3424837676)÷ (−1304347826) = 2,2832251175 7000083 2,2832251175= $30658,3873 ist der richtiger Wert

1. Finden Sie die regelmäßige Zahlung einer fälligen Annuität in Höhe von 250.700 USD, vierteljährlich für 8 Jahre zu 5 % vierteljährlich aufgezinst.
   • R= 250.700/(1+〖(1-(1+((.05)/4) )〗^(-(32-1))/((.05)/4))
   • R = 250.700/26.5692901
   • R = 9.435,71 $

Ermitteln der periodischen Zahlung(R), gegeben S:

R = S\,/((〖((1+(j/m) )〗^(n+1)-1)/(j/m)-1)

Beispiele:

1. Finden Sie die regelmäßige Zahlung eines kumulierten Werts von 55.000 US-Dollar, die 3 Jahre lang monatlich zahlbar ist, bei einer monatlichen Aufzinsung von 15%.
   • R=55.000/((〖((1+((.15)/12) )〗^(36+1)-1)/((.15)/12)-1)
   • R = 55.000/45,67944932
   • R = 1.204,04 $
2. Finden Sie die regelmäßige Zahlung eines kumulierten Werts von $1.600.000, zahlbar jährlich für 3 Jahre mit 9% jährlicher Aufzinsung.
   • R=1.600.000/((〖((1+(((.09)/1) )〗^(3+1)-1)/(((.09)/1)-1)
   • R = 1.600.000/3.573129
   • R = 447.786,80 $

Rechtsordnungen

• Renten nach amerikanischem Recht
• Renten nach europäischem Recht
• Renten nach Schweizer Recht

Siehe auch

• Amortisationsrechner
• Festhypothek
• Leibrente
• Ewigkeit
• Zeitwert des Geldes

Verweise

• Samuel A. Broverman (2010). Investitions- und Kreditmathematik, 5. Auflage . ACTEX Akademische Serie. ACTEX-Publikationen. ISBN 978-1-56698-767-7.
• Stephen Kellison (2008). Theorie des Interesses, 3. Auflage . McGraw-Hill/Irwin. ISBN 978-0-07-338244-9.