Näherung - Approximation

Eine Annäherung ist alles, was absichtlich ähnlich, aber nicht genau gleich zu etwas anderem ist.

Etymologie und Verwendung

Das Wort Approximation leitet sich vom lateinischen approximatus ab , von proximus bedeutet sehr nahe und das Präfix ad- ( ad- bevor p wird zu ap- durch Assimilation ) bedeutet zu . Wörter wie approximation , approximation und Approximation werden vor allem in technischen oder naturwissenschaftlichen Zusammenhängen verwendet. Im alltäglichen Englisch werden Wörter wie grob oder herum mit einer ähnlichen Bedeutung verwendet. Es wird oft abgekürzt als ca. gefunden.

Der Begriff kann auf verschiedene Eigenschaften (zB Wert, Menge, Bild, Beschreibung) angewendet werden, die fast, aber nicht genau richtig sind; ähnlich, aber nicht genau gleich (zB war die ungefähre Zeit 10 Uhr).

Obwohl Näherung am häufigsten auf Zahlen angewendet wird, wird sie auch häufig auf Dinge wie mathematische Funktionen , Formen und physikalische Gesetze angewendet .

In der Wissenschaft kann sich Approximation auf die Verwendung eines einfacheren Prozesses oder Modells beziehen, wenn das richtige Modell schwierig zu verwenden ist. Zur Vereinfachung der Berechnungen wird ein Näherungsmodell verwendet. Näherungen können auch verwendet werden, wenn unvollständige Informationen die Verwendung exakter Darstellungen verhindern.

Die Art der verwendeten Näherung hängt von den verfügbaren Informationen , dem erforderlichen Genauigkeitsgrad , der Sensibilität des Problems für diese Daten und den Einsparungen (in der Regel an Zeit und Aufwand) ab, die durch die Näherung erzielt werden können.

Mathematik

Die Approximationstheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, ein quantitativer Teil der Funktionsanalyse . Die diophantische Approximation beschäftigt sich mit Approximationen reeller Zahlen durch rationale Zahlen . Eine Approximation tritt normalerweise auf, wenn eine genaue Form oder eine genaue Zahl unbekannt oder schwer zu erhalten ist. Es kann jedoch eine bekannte Form existieren und die reale Form darstellen, so dass keine signifikante Abweichung gefunden werden kann. Es wird auch verwendet, wenn eine Zahl nicht rational ist , wie z. B. die Zahl π , die oft auf 3,14159 verkürzt wird, oder 1,414 als verkürzte Form von 2 .

Numerische Näherungen ergeben sich manchmal aus der Verwendung einer kleinen Anzahl signifikanter Stellen . Berechnungen beinhalten wahrscheinlich Rundungsfehler, die zu einer Näherung führen. Protokolltabellen , Rechenschieber und Taschenrechner liefern ungefähre Antworten auf alle außer den einfachsten Berechnungen. Die Ergebnisse von Computerberechnungen sind normalerweise eine Näherung, die in einer begrenzten Anzahl signifikanter Stellen ausgedrückt wird, obwohl sie programmiert werden können, um genauere Ergebnisse zu erzielen. Eine Approximation kann auftreten, wenn eine Dezimalzahl nicht in einer endlichen Anzahl von Binärziffern ausgedrückt werden kann.

Bezogen auf die Approximation von Funktionen ist der asymptotische Wert einer Funktion, dh der Wert als einer oder mehrere Parameter einer Funktion wird beliebig groß. Zum Beispiel ist die Summe ( k /2)+( k /4)+( k /8)+...( k /2^ n ) asymptotisch gleich k . In der gesamten Mathematik wird keine konsistente Notation verwendet und einige Texte verwenden ≈ für ungefähr gleich und ~ für asymptotisch gleich, während andere Texte die Symbole umgekehrt verwenden.

Wissenschaft

Näherung entsteht natürlich in wissenschaftlichen Experimenten . Die Vorhersagen einer wissenschaftlichen Theorie können von tatsächlichen Messungen abweichen. Dies kann daran liegen, dass es Faktoren in der realen Situation gibt, die nicht in der Theorie enthalten sind. Einfache Berechnungen können beispielsweise den Einfluss des Luftwiderstands nicht berücksichtigen. Unter diesen Umständen ist die Theorie eine Annäherung an die Realität. Abweichungen können auch durch Einschränkungen in der Messtechnik entstehen. In diesem Fall ist die Messung eine Annäherung an den tatsächlichen Wert.

Die Wissenschaftsgeschichte zeigt, dass frühere Theorien und Gesetze Annäherungen an tiefere Gesetze sein können. Nach dem Korrespondenzprinzip sollte eine neue wissenschaftliche Theorie die Ergebnisse älterer, gut etablierter Theorien in den Bereichen reproduzieren, in denen die alten Theorien funktionieren. Die alte Theorie wird eine Annäherung an die neue Theorie.

Einige Probleme in der Physik sind zu komplex, um sie durch direkte Analyse zu lösen, oder der Fortschritt könnte durch verfügbare Analysewerkzeuge begrenzt werden. Somit kann selbst bei bekannter exakter Darstellung eine Approximation eine ausreichend genaue Lösung ergeben, während die Komplexität des Problems deutlich reduziert wird. Physiker nähern sich der Form der Erde oft als Kugel an , obwohl genauere Darstellungen möglich sind, da viele physikalische Eigenschaften (zB Schwerkraft ) für eine Kugel viel einfacher zu berechnen sind als für andere Formen.

Die Approximation wird auch verwendet, um die Bewegung mehrerer Planeten zu analysieren, die einen Stern umkreisen. Dies ist aufgrund der komplexen Wechselwirkungen der Gravitationseffekte der Planeten untereinander äußerst schwierig. Eine Näherungslösung erfolgt durch Durchführen von Iterationen . In der ersten Iteration werden die Gravitationswechselwirkungen der Planeten ignoriert und der Stern als feststehend angenommen. Wenn eine genauere Lösung gewünscht wird, wird dann eine weitere Iteration durchgeführt, wobei die Positionen und Bewegungen der Planeten verwendet werden, wie sie in der ersten Iteration identifiziert wurden, jedoch eine Gravitationswechselwirkung erster Ordnung von jedem Planeten auf den anderen hinzufügt. Dieser Vorgang kann wiederholt werden, bis eine zufriedenstellend genaue Lösung erhalten wird.

Die Verwendung von Störungen zum Korrigieren der Fehler kann genauere Lösungen ergeben. Simulationen der Bewegungen der Planeten und des Sterns liefern auch genauere Lösungen.

Die gängigsten Versionen der Wissenschaftsphilosophie akzeptieren, dass empirische Messungen immer Näherungen sind – sie repräsentieren nicht perfekt, was gemessen wird.

Unicode

Symbole, die verwendet werden, um ungefähr gleiche Elemente zu kennzeichnen, sind gewellte oder gepunktete Gleichheitszeichen.

  • U+2248 FAST GLEICH ZU
  • U+2249 NICHT FAST GLEICH ZU
  • U + 2252 etwa gleich oder DAS BILD : die wie „verwendet wird “ in Japan , Taiwan und Korea
  • U+2253 BILD VON ODER UNGEFÄHR GLEICH ZU : eine umgekehrte Variation von U+2252
  • U+2245 UNGEFÄHR GLEICH : eine andere Kombination von "≈" und "=", die verwendet wird, um Isomorphismus oder Kongruenz anzuzeigen
  • U+224A FAST GLEICH ODER GLEICH : noch eine andere Kombination von "≈" und "=", die verwendet wird, um Äquivalenz oder ungefähre Äquivalenz anzuzeigen
  • U+223C TILDE OPERATOR : wird manchmal auch verwendet, um die Verhältnismäßigkeit anzuzeigen
  • U+223D REVERSED TILDE : wird manchmal auch verwendet, um die Verhältnismäßigkeit anzuzeigen
  • U+2250 NÄHERT SICH DEM GRENZWERT : Dies kann verwendet werden, um die Annäherung einer Variablen y an einen Grenzwert darzustellen; wie die allgemeine Syntax, ≐ 0
  • U+225F FRAGE GLEICH ZU

LaTeX-Symbole

Symbole, die im LaTeX- Markup verwendet werden.

  • ( \approx), normalerweise um eine Annäherung zwischen Zahlen anzuzeigen, wie .
  • ( \not\approx), normalerweise um anzuzeigen, dass Zahlen nicht annähernd gleich sind (1 2).
  • ( \simeq), normalerweise um asymptotische Äquivalenz zwischen Funktionen anzuzeigen, wie . Schreiben wäre also unter dieser Definition trotz weitverbreiteter Verwendung falsch.
  • ( \sim), normalerweise um die Proportionalität zwischen den Funktionen anzuzeigen, ist dieselbe Zeile wie oben .
  • ( \cong), normalerweise um die Kongruenz zwischen Zahlen anzuzeigen, wie .
  • ( \eqsim), normalerweise um anzuzeigen, dass zwei Größen bis auf Konstanten gleich sind.

Siehe auch

Verweise

Externe Links