Argumentprinzip - Argument principle

Die einfache Kontur C (schwarz), die Nullen von f (blau) und die Pole von f (rot). Hier haben wir

In der komplexen Analyse bezieht das Argumentprinzip (oder Cauchys Argumentprinzip ) die Differenz zwischen der Anzahl der Nullen und Pole einer meromorphen Funktion auf ein Konturintegral der logarithmischen Ableitung der Funktion .

Insbesondere wenn f ( z ) eine meromorphe Funktion innerhalb und auf einer geschlossenen Kontur C ist und f keine Nullen oder Pole auf C hat , dann

wobei Z und P jeweils die Anzahl der Nullen und Pole von f ( z ) innerhalb der Kontur C bezeichnen , wobei jede Null und jeder Pol so oft gezählt werden, wie es ihre Multiplizität bzw. Reihenfolge anzeigt. Diese Aussage des Satzes setzt voraus, dass die Kontur C einfach ist, dh ohne Selbstüberschneidungen, und dass sie gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet ist.

Nehmen wir allgemeiner an, dass f ( z ) eine meromorphe Funktion auf einer offenen Menge Ω in der komplexen Ebene ist und dass C eine geschlossene Kurve in Ω ist, die alle Nullen und Pole von f vermeidet und auf einen Punkt innerhalb von Ω kontrahierbar ist . Für jeden Punkt z ∈ Ω sei n ( C , z ) die Wicklungszahl von C um z . Dann

wobei die erste Summation über allen Nullen a von f liegt, die mit ihren Multiplizitäten gezählt werden, und die zweite Summation über den Polen b von f liegt, die mit ihren Ordnungen gezählt werden.

Interpretation des Konturintegrals

Das Konturintegral kann als 2π i- fache der Wicklungszahl des Pfades f ( C ) um den Ursprung unter Verwendung der Substitution w = f ( z ) interpretiert werden :

Das heißt, es ist das i- fache der Gesamtänderung des Arguments von f ( z ), wenn sich z um C bewegt, was den Namen des Satzes erklärt; das folgt aus

und die Beziehung zwischen Argumenten und Logarithmen.

Beweis des Argumentationsprinzips

Sei z Z eine Null von f . Wir können f ( z ) = ( z  -  z Z ) k g ( z ) schreiben, wobei k die Multiplizität der Null ist und somit g ( z Z ) ≠ 0. Wir erhalten

und

Da g ( z Z ) ≠ 0 ist, folgt, dass g ' ( z ) / g ( z ) bei z Z keine Singularitäten aufweist und somit bei z Z analytisch ist , was impliziert, dass der Rest von f ' ( z ) / f ( z ) bei z Z ist  k .

Sei z P ein Pol von f . Wir können f ( z ) = ( z  -  z P ) - m h ( z ) schreiben, wobei m die Ordnung des Pols ist und h ( z P ) ≠ 0. Dann

und

ähnlich wie oben. Daraus folgt, dass h '( z ) / h ( z ) bei z P keine Singularitäten aufweist, da h ( z P ) ≤ 0 ist, und daher bei z P analytisch ist . Wir finden, dass der Rest von f '( z ) / f ( z ) bei z P - m ist .

Zusammengenommen erzeugt jede Null z Z der Multiplizität k von f einen einfachen Pol für f '( z ) / f ( z ), wobei der Rest k ist , und jeder Pol z P der Ordnung m von f erzeugt einen einfachen Pol für f '( Z ) / f ( z ) mit dem Rest von - m . (Hier meinen wir mit einem einfachen Pol einen Pol der Ordnung eins.) Zusätzlich kann gezeigt werden, dass f '( z ) / f ( z ) keine anderen Pole und somit keine anderen Reste hat.

Nach dem Restsatz haben wir, dass das Integral um C das Produkt von 2 πi und der Summe der Reste ist. Zusammen ist die Summe der k 's für jede Null z Z die Anzahl der Nullen, die die Multiplizität der Nullen zählen, und ebenso für die Pole, und so haben wir unser Ergebnis.

Anwendungen und Konsequenzen

Das Argumentprinzip kann verwendet werden, um Nullen oder Pole meromorpher Funktionen auf einem Computer effizient zu lokalisieren. Selbst bei Rundungsfehlern liefert der Ausdruck Ergebnisse nahe einer ganzen Zahl. Durch Bestimmen dieser ganzen Zahlen für verschiedene Konturen C kann man Informationen über die Position der Nullen und Pole erhalten. Numerische Tests der Riemann-Hypothese verwenden diese Technik, um eine Obergrenze für die Anzahl der Nullen der Riemannschen Funktion innerhalb eines Rechtecks ​​zu erhalten, das die kritische Linie schneidet.

Der Beweis des Satzes von Rouché basiert auf dem Argumentationsprinzip.

Moderne Bücher zur Theorie der Rückkopplungsregelung verwenden häufig das Argumentprinzip, um als theoretische Grundlage für das Nyquist-Stabilitätskriterium zu dienen .

Eine Konsequenz der allgemeineren Formulierung des Argumentationsprinzips ist, dass nach derselben Hypothese, wenn g eine analytische Funktion in Ω ist, dann

Wenn zum Beispiel f ein Polynom mit den Nullen z 1 , ..., z p innerhalb einer einfachen Kontur C ist und g ( z ) = z k ist , dann

ist das symmetrische Polynom der Potenzsumme der Wurzeln von f .

Eine andere Konsequenz ist, wenn wir das komplexe Integral berechnen:

Für eine geeignete Wahl von g und f haben wir die Abel-Plana-Formel :

was die Beziehung zwischen einer diskreten Summe und ihrem Integral ausdrückt.

Verallgemeinertes Argumentationsprinzip

Es gibt eine sofortige Verallgemeinerung des Argumentationsprinzips. Angenommen, g ist in der Region analytisch . Dann

wobei die erste Summation wieder über allen Nullen a von f liegt, die mit ihren Multiplizitäten gezählt werden, und die zweite Summation wieder über den Polen b von f liegt, die mit ihren Ordnungen gezählt werden.

Geschichte

Nach dem Buch von Frank Smithies ( Cauchy und die Schaffung einer Theorie komplexer Funktionen , Cambridge University Press, 1997, S. 177) präsentierte Augustin-Louis Cauchy am 27. November 1831 während seines selbst auferlegten Exils einen ähnlichen Satz wie oben in Turin (damals Hauptstadt des Königreichs Piemont-Sardinien) von Frankreich entfernt. Nach diesem Buch wurden jedoch nur Nullen erwähnt, keine Pole. Dieser Satz von Cauchy wurde erst viele Jahre später, 1874, in handschriftlicher Form veröffentlicht und ist daher ziemlich schwer zu lesen. Cauchy veröffentlichte 1855, zwei Jahre vor seinem Tod, ein Papier mit einer Diskussion über Nullen und Pole.

Siehe auch

Verweise

  • Rudin, Walter (1986). Reale und komplexe Analyse (Internationale Reihe in reiner und angewandter Mathematik) . McGraw-Hill. ISBN   978-0-07-054234-1 .
  • Ahlfors, Lars (1979). Komplexe Analyse: Eine Einführung in die Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Variablen . McGraw-Hill. ISBN   978-0-07-000657-7 .
  • Churchill, Ruel Vance; Brown, James Ward (1989). Komplexe Variablen und Anwendungen . McGraw-Hill. ISBN   978-0-07-010905-6 .
  • Backlund, R.-J. (1914) Sur les zéros de la fonction zeta (s) de Riemann, CR Acad. Sci. Paris 158, 1979–1982.

Externe Links