Arithmetik - Arithmetic

Rechentabellen für Kinder, Lausanne, 1835

Arithmetik (aus dem Griechischen ἀριθμός arithmos , ' Zahl ' und τική [τέχνη] , tiké [téchne] , ' Kunst ' oder ' Handwerk ') ist ein Zweig der Mathematik , der aus dem Studium der Zahlen besteht , insbesondere in Bezug auf die Eigenschaften der traditionellen Operationen auf ihnen - Addition , Subtraktion , Multiplikation , Division , Potenzierung und Extraktion von Wurzeln . Arithmetik ist ein elementarer Bestandteil der Zahlentheorie, und die Zahlentheorie gilt neben Algebra , Geometrie und Analysis als eine der obersten Abteilungen der modernen Mathematik . Die Begriffe arithmetische und höhere Arithmetik wurden bis zum Beginn des 20. Jahrhunderts als Synonyme für verwendete Zahlentheorie , und werden manchmal noch zu einem größeren Teil der Zahlentheorie verweisen.

Geschichte

Die Vorgeschichte der Arithmetik beschränkt sich auf eine kleine Anzahl von Artefakten, die auf die Vorstellung von Addition und Subtraktion hinweisen können, wobei der bekannteste Ishango-Knochen aus Zentralafrika zwischen 20.000 und 18.000 v. Chr. Datiert wird, obwohl seine Interpretation umstritten ist.

Die frühesten schriftlichen Aufzeichnungen weisen darauf hin, dass die Ägypter und Babylonier bereits 2000 v. Chr. alle elementaren Rechenoperationen verwendeten . Diese Artefakte offenbaren nicht immer den spezifischen Prozess der Problemlösung, aber die Eigenschaften des jeweiligen Zahlensystems beeinflussen die Komplexität der Methoden stark. Das hieroglyphische System für ägyptische Ziffern , wie die späteren römischen Ziffern , stieg von Zählstriche zum Zählen verwendet. In beiden Fällen führte dieser Ursprung zu Werten, die eine Dezimalbasis verwendeten, aber keine Positionsnotation enthielten . Komplexe Berechnungen mit römischen Zahlen erforderten die Hilfe einer Zähltafel (oder des römischen Abakus ), um die Ergebnisse zu erhalten.

Frühe Zahlensysteme, die die Positionsnotation enthielten, waren nicht dezimal, einschließlich des Sexagesimal- Systems (Basis 60) für babylonische Ziffern und des Vigesimal- Systems (Basis 20), das Maya-Zahlen definierte . Aufgrund dieses Stellenwertkonzepts trug die Möglichkeit, dieselben Ziffern für verschiedene Werte wiederzuverwenden, zu einfacheren und effizienteren Berechnungsmethoden bei.

Die kontinuierliche historische Entwicklung der modernen Arithmetik beginnt mit der hellenistischen Zivilisation des antiken Griechenlands, obwohl sie viel später entstand als die babylonischen und ägyptischen Beispiele. Vor den Werken von Euklid um 300 v. Chr. überschnitten sich griechische Mathematikstudien mit philosophischen und mystischen Überzeugungen. Nikomachus zum Beispiel fasste in seiner Einführung in die Arithmetik den Standpunkt des früheren pythagoräischen Ansatzes zu Zahlen und deren Beziehungen zueinander zusammen .

Griechische Ziffern wurden von Archimedes , Diophantus und anderen in einer Positionsnotation verwendet, die sich nicht sehr von der modernen Notation unterschied. Den alten Griechen fehlte bis zur hellenistischen Zeit ein Symbol für die Null, und sie verwendeten drei verschiedene Symbolsätze als Ziffern : einen Satz für die Einerstelle , einen für die Zehnerstelle und einen für die Hunderterstelle. Für die Tausenderstelle würden sie die Symbole für die Einheitenstelle wiederverwenden und so weiter. Ihr Additionsalgorithmus war identisch mit dem modernen Verfahren, und ihr Multiplikationsalgorithmus war nur geringfügig anders. Ihr langer Divisionsalgorithmus war der gleiche, und der Digit-by-Digit-Quadratwurzel-Algorithmus , der erst im 20. Jahrhundert im Volksmund verwendet wurde, war Archimedes bekannt (der ihn möglicherweise erfunden hat). Er zog sie Heros Methode der sukzessiven Approximation vor, weil sich eine Ziffer nach der Berechnung nicht ändert und die Quadratwurzeln perfekter Quadrate, wie 7485696, sofort mit 2736 enden. Für Zahlen mit einem Bruchteil, wie 546.934, verwendeten sie negative Potenzen von 60 – anstelle von negativen Potenzen von 10 für den Bruchteil 0,934.

Die alten Chinesen hatten fortgeschrittene arithmetische Studien aus der Shang-Dynastie und setzten sich durch die Tang-Dynastie fort, von den Grundzahlen bis zur fortgeschrittenen Algebra. Die alten Chinesen verwendeten eine ähnliche Positionsnotation wie die Griechen. Da ihnen auch ein Symbol für Null fehlte , hatten sie einen Satz Symbole für die Einerstelle und einen zweiten Satz für die Zehnerstelle. Für die Hunderterstelle haben sie dann die Symbole für die Einheitenstelle wiederverwendet und so weiter. Ihre Symbole basierten auf den alten Zählstäben . Der genaue Zeitpunkt, zu dem die Chinesen mit der Berechnung der Positionsdarstellung begannen, ist unbekannt, obwohl bekannt ist, dass die Annahme vor 400 v. Chr. begann. Die alten Chinesen waren die ersten, die negative Zahlen sinnvoll entdeckt, verstanden und angewendet haben. Dies wird in den Neun Kapiteln über die mathematische Kunst ( Jiuzhang Suanshu ) erklärt, die von Liu Hui geschrieben wurden und auf das 2. Jahrhundert v. Chr. zurückgehen.

Die allmähliche Entwicklung des hindu-arabischen Zahlensystems entwickelte unabhängig das Stellenwertkonzept und die Positionsnotation, die die einfacheren Berechnungsmethoden mit einer Dezimalbasis und der Verwendung einer Ziffer für 0 kombinierte . Dadurch konnte das System sowohl große als auch kleine ganze Zahlen konsistent darstellen – ein Ansatz, der schließlich alle anderen Systeme ersetzte. Im frühen 6. Jahrhundert n. Chr. hat der indische Mathematiker Aryabhata eine existierende Version dieses Systems in seine Arbeit integriert und mit verschiedenen Notationen experimentiert. Im 7. Jahrhundert etablierte Brahmagupta die Verwendung von 0 als separate Zahl und bestimmte die Ergebnisse für Multiplikation, Division, Addition und Subtraktion von Null und allen anderen Zahlen – mit Ausnahme des Ergebnisses der Division durch Null . Sein Zeitgenosse, der syrische Bischof Severus Sebokht (650 n. Chr.), sagte: "Inder besitzen eine Berechnungsmethode, die kein Wort genug loben kann. Ihr rationales System der Mathematik oder ihre Berechnungsmethode. Ich meine das System mit neun Symbolen." Auch die Araber lernten diese neue Methode und nannten sie Hesab .

Der Stepped Reckoner von Leibniz war der erste Rechner, der alle vier arithmetischen Operationen ausführen konnte.

Obwohl der Crónica Albeldense eine frühe Form der arabischen Ziffern beschrieben (Weglassen 0) von 976 AD, Leonardo von Pisa ( Fibonacci war) in erster Linie verantwortlich für die Verbreitung ihrer Verwendung in ganz Europa nach der Veröffentlichung seines Buches Liber Abaci in 1202. Er schrieb : „Die Methode der Indianer (Latin Modus Indorum ) übertrifft alle bekannten Rechenmethoden. Es ist eine wunderbare Methode. Sie machen ihre Berechnungen mit neun Ziffern und dem Symbol Null ".

Im Mittelalter war Arithmetik eine der sieben freien Künste, die an Universitäten gelehrt wurden.

Das Aufblühen der Algebra in der mittelalterlichen islamischen Welt und auch im Europa der Renaissance war ein Ergebnis der enormen Vereinfachung der Berechnung durch Dezimalschreibweise .

Es wurden verschiedene Arten von Werkzeugen erfunden und weit verbreitet verwendet, um bei numerischen Berechnungen zu helfen. Vor der Renaissance waren sie verschiedene Arten von Abaci . Neuere Beispiele sind Rechenschieber , Nomogramme und mechanische Taschenrechner , wie der Taschenrechner von Pascal . Gegenwärtig werden sie durch elektronische Taschenrechner und Computer ersetzt .

Rechenoperationen

Die Grundrechenarten sind Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Obwohl die Arithmetik auch fortgeschrittenere Operationen umfasst, wie Manipulationen von Prozentsätzen , Quadratwurzeln , Exponentiation , logarithmische Funktionen und sogar trigonometrische Funktionen , in der gleichen Weise wie Logarithmen ( Prosthaphaerese ). Arithmetische Ausdrücke müssen entsprechend der vorgesehenen Operationsfolge ausgewertet werden. Es gibt mehrere Methoden, dies zu spezifizieren, entweder – am häufigsten zusammen mit der Infix-Notation – explizit unter Verwendung von Klammern und unter Berufung auf Vorrangregeln oder unter Verwendung einer Präfix- oder Postfix- Notation, die die Ausführungsreihenfolge eindeutig festlegen. Jede Menge von Objekten, an denen alle vier arithmetischen Operationen (außer Division durch Null ) durchgeführt werden können und bei denen diese vier Operationen den üblichen Gesetzen (einschließlich der Distributivität) gehorchen, wird als Körper bezeichnet .

Zusatz

Die Addition, gekennzeichnet durch das Symbol , ist die grundlegendste Operation der Arithmetik. In seiner einfachen Form kombiniert die Addition zwei Zahlen, die Summanden oder Terme , zu einer einzigen Zahl, der Summe der Zahlen (z. B. 2 + 2 = 4 oder 3 + 5 = 8 ).

Das Addieren von endlich vielen Zahlen kann als wiederholte einfache Addition angesehen werden; dieses Verfahren ist als Summation bekannt , ein Begriff, der auch verwendet wird, um die Definition für das "Addieren von unendlich vielen Zahlen" in einer unendlichen Reihe zu bezeichnen . Die wiederholte Addition der Zahl  1 ist die einfachste Form des Zählens ; das Ergebnis der Addition von 1 wird normalerweise als Nachfolger der ursprünglichen Zahl bezeichnet.

Die Addition ist kommutativ und assoziativ , sodass die Reihenfolge, in der endlich viele Terme hinzugefügt werden, keine Rolle spielt.

Die Zahl 0 hat die Eigenschaft, dass sie, wenn sie zu einer beliebigen Zahl addiert wird, dieselbe Zahl ergibt; es ist also das Identitätselement der Addition oder die additive Identität .

Für jede Zahl x gibt es eine Zahl mit der Bezeichnung x , genannt das Gegenteil von x , so dass x + (– x ) = 0 und (– x ) + x = 0 . Das Gegenteil von x ist also die Umkehrung von x in Bezug auf die Addition oder die additive Umkehrung von x . Das Gegenteil von 7 ist beispielsweise −7 , da 7 + (−7) = 0 .

Addition kann auch geometrisch interpretiert werden, wie im folgenden Beispiel. Wenn wir zwei Stäbe der Länge 2 und 5 haben , dann wird, wenn die Stäbe nacheinander ausgerichtet werden, die Länge des kombinierten Stabes 7 , da 2 + 5 = 7 .

Subtraktion

Die mit dem Symbol gekennzeichnete Subtraktion ist die Umkehroperation zur Addition. Die Subtraktion findet die Differenz zwischen zwei Zahlen, den Minuend minus den Subtrahend : D = MS . Auf die zuvor festgelegte Addition zurückgreifend, bedeutet dies, dass die Differenz die Zahl ist, die addiert zum Subtrahend den Minuend ergibt: D + S = M .

Für positive Argumente gilt M und S :

Ist der Minuend größer als der Subtrahend, ist die Differenz D positiv.
Ist der Minuend kleiner als der Subtrahend, ist die Differenz D negativ.

In jedem Fall, wenn Minuend und Subtrahend gleich sind, ist die Differenz D = 0.

Subtraktion ist weder kommutativ noch assoziativ . Aus diesem Grund wird die Konstruktion dieser inversen Operation in der modernen Algebra oft zugunsten der Einführung des Konzepts der inversen Elemente (wie unter § Addition skizziert ) verworfen , wobei Subtraktion als Addieren der additiven Inversen des Subtrahends zum Minuenden betrachtet wird, dass ist, ab = a + (− b ) . Der unmittelbare Preis für den Verzicht auf die binäre Subtraktionsoperation ist die Einführung der (trivialen) unären Operation , die die additive Inverse für jede gegebene Zahl liefert und den sofortigen Zugriff auf den Begriff der Differenz verliert , der bei negativen Argumenten möglicherweise irreführend ist .

Für jede Darstellung von Zahlen gibt es Verfahren zur Berechnung von Ergebnissen, von denen einige besonders vorteilhaft sind, um vorhandene Verfahren für eine Operation durch kleine Änderungen auch für andere auszunutzen. Beispielsweise können digitale Computer bestehende Addierschaltungen wiederverwenden und zusätzliche Schaltungen zum Implementieren einer Subtraktion einsparen, indem sie das Verfahren des Zweierkomplements zum Darstellen der additiven Inversen verwenden, das extrem einfach in Hardware zu implementieren ist ( Negation ). Der Kompromiss ist die Halbierung des Nummernkreises für eine feste Wortlänge.

Eine früher weit verbreitete Methode, um in Kenntnis der fälligen und gegebenen Beträge einen korrekten Wechselgeldbetrag zu erreichen, ist die Aufzählungsmethode , die nicht explizit den Wert der Differenz generiert. Angenommen, ein Betrag P wird angegeben, um den erforderlichen Betrag Q zu bezahlen , wobei P größer als Q ist . Anstatt explizit die Subtraktion PQ = C durchzuführen und diesen Betrag C als Wechselgeld herauszuzählen, wird Geld beginnend mit dem Nachfolger von Q ausgezählt und in den Schritten der Währung fortgesetzt, bis P erreicht ist. Obwohl der ausgezählte Betrag dem Ergebnis der Subtraktion PQ entsprechen muss , wurde die Subtraktion nie wirklich durchgeführt und der Wert von PQ wird durch diese Methode nicht geliefert.

Multiplikation

Die Multiplikation, bezeichnet mit den Symbolen oder , ist die zweite Grundoperation der Arithmetik. Die Multiplikation kombiniert auch zwei Zahlen zu einer einzigen Zahl, dem Produkt . Die beiden ursprünglichen Zahlen heißen Multiplikator und Multiplikand , meist werden beide einfach Faktoren genannt .

Multiplikation kann als Skalierungsoperation angesehen werden. Wenn man sich die Zahlen als in einer Linie liegend vorstellt, ist die Multiplikation mit einer Zahl größer als 1, sagen wir x , dasselbe, als würde man alles gleichmäßig von 0 weg dehnen, so dass die Zahl 1 selbst dorthin gestreckt wird, wo x war. In ähnlicher Weise kann man sich die Multiplikation mit einer Zahl kleiner als 1 vorstellen, als würde man sich gegen 0 drücken, so dass 1 zum Multiplikanden geht.

Eine andere Sichtweise auf die Multiplikation ganzer Zahlen (erweiterbar auf rationale Zahlen, aber nicht sehr zugänglich für reelle Zahlen) besteht darin, sie als wiederholte Addition zu betrachten. Zum Beispiel. 3 × 4 entspricht entweder der Addition von 3 mal a 4 oder 4 mal a 3 , was das gleiche Ergebnis ergibt. Über den Nutzen dieser Paradigmata im Mathematikunterricht gibt es unterschiedliche Meinungen .

Multiplikation ist kommutativ und assoziativ; außerdem ist sie über Addition und Subtraktion distributiv . Die multiplikative Identität ist 1, da die Multiplikation einer beliebigen Zahl mit 1 dieselbe Zahl ergibt. Die multiplikative Inverse für jede Zahl außer  0 ist der Kehrwert dieser Zahl, da die Multiplikation des Kehrwertes einer beliebigen Zahl mit der Zahl selbst die multiplikative Identität 1 ergibt . 0  ist die einzige Zahl ohne multiplikative Inverse, und das Ergebnis der Multiplikation einer beliebigen Zahl mit 0 ist wieder 0. Man sagt, dass 0 nicht in der multiplikativen Gruppe der Zahlen enthalten ist.

Das Produkt von a und b wird als a × b oder a · b geschrieben . Wenn a oder b Ausdrücke sind, die nicht einfach mit Ziffern geschrieben werden, wird es auch durch einfache Nebeneinanderstellung geschrieben:  ab . In Programmiersprachen und Softwarepaketen (in denen nur Zeichen verwendet werden können, die normalerweise auf einer Tastatur zu finden sind) wird es oft mit einem Sternchen geschrieben:  a * b.

Algorithmen, die die Multiplikationsoperation für verschiedene Zahlendarstellungen implementieren, sind bei weitem kostspieliger und arbeitsaufwendiger als solche für die Addition. Diejenigen, die für die manuelle Berechnung zugänglich sind, verlassen sich entweder darauf, die Faktoren in einzelne Stellenwerte zu zerlegen und wiederholt zu addieren, oder sie verwenden Tabellen oder Rechenschieber , wodurch Multiplikation auf Addition abgebildet wird und umgekehrt. Diese Methoden sind veraltet und werden nach und nach durch mobile Geräte ersetzt. Computer verwenden verschiedene ausgeklügelte und hochoptimierte Algorithmen, um Multiplikation und Division für die verschiedenen in ihrem System unterstützten Zahlenformate zu implementieren.

Aufteilung

Die Division, gekennzeichnet durch die Symbole oder , ist im Wesentlichen die Umkehroperation zur Multiplikation. Die Division ermittelt den Quotienten zweier Zahlen, den Dividenden dividiert durch den Divisor . Eine durch Null geteilte Dividende ist undefiniert. Bei eindeutigen positiven Zahlen ist der Quotient größer als 1, wenn der Dividenden größer als der Divisor ist, andernfalls ist er kleiner oder gleich 1 (eine ähnliche Regel gilt für negative Zahlen). Der Quotient multipliziert mit dem Divisor ergibt immer den Dividenden.

Division ist weder kommutativ noch assoziativ. Wie in § Subtraktion erläutert , wird die Konstruktion der Division in der modernen Algebra zugunsten der Konstruktion der inversen Elemente bezüglich der Multiplikation verworfen, wie in § Multiplikation eingeführt . Division ist also die Multiplikation des Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors als Faktoren, also a ÷ b = a × 1/B.

Innerhalb der natürlichen Zahlen gibt es auch einen anderen, aber verwandten Begriff namens Euklidische Division , der zwei Zahlen ausgibt, nachdem ein natürliches N (Zähler) durch ein natürliches D (Nenner) "geteilt" wurde : erstens ein natürliches Q (Quotient) und zweitens a natürliches R (Rest) mit N = D × Q + R und 0 ≤ R < Q .

In einigen Kontexten, einschließlich Computerprogrammierung und fortgeschrittener Arithmetik, wird die Division für den Rest um eine weitere Ausgabe erweitert. Dies wird oft als separate Operation behandelt, die Modulo-Operation , gekennzeichnet durch das Symbol oder das Wort , obwohl manchmal eine zweite Ausgabe für eine "divmod" -Operation. In beiden Fällen hat Modulare Arithmetik eine Vielzahl von Anwendungsfällen. Verschiedene Implementierungen der Division (mit Boden versehen, abgeschnitten, euklidisch usw.) entsprechen verschiedenen Implementierungen von Modulus.

Grundsatz der Arithmetik

Der fundamentale Satz der Arithmetik besagt, dass jede ganze Zahl größer als 1 eine eindeutige Primfaktorzerlegung hat (eine Darstellung einer Zahl als Produkt von Primfaktoren), wobei die Reihenfolge der Faktoren ausgeschlossen ist. 252 hat beispielsweise nur eine Primfaktorzerlegung:

252 = 2 2 × 3 2 × 7 1

Euklids Elemente führten zuerst diesen Satz ein und lieferten einen Teilbeweis (der als Euklids Lemma bezeichnet wird ). Der Fundamentalsatz der Arithmetik wurde erstmals von Carl Friedrich Gauß bewiesen .

Der fundamentale Satz der Arithmetik ist einer der Gründe, warum 1 nicht als Primzahl angesehen wird . Andere Gründe sind das Sieb von Eratosthenes und die Definition einer Primzahl selbst (eine natürliche Zahl größer als 1, die nicht durch Multiplikation zweier kleinerer natürlicher Zahlen gebildet werden kann.).

Dezimalarithmetik

Dezimaldarstellung bezieht sich ausschließlich, im allgemeinen Gebrauch, auf das geschriebene Zahlensystem verwendet werden arabische Ziffern wie die Ziffern für eine Radix 10 ( „decimal“) Stellenschreibweise ; jedoch kann jedes Zahlensystem, das auf Potenzen von 10 basiert, zB griechische , kyrillische , römische oder chinesische Zahlen, konzeptionell als "Dezimalschreibweise" oder "Dezimaldarstellung" beschrieben werden.

Moderne Methoden für vier grundlegende Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) wurden zuerst von Brahmagupta aus Indien entwickelt. Dies war im mittelalterlichen Europa als "Modus Indorum" oder Methode der Indianer bekannt. Die Positionsnotation (auch als "Stellenwertnotation" bezeichnet) bezieht sich auf die Darstellung oder Codierung von Zahlen mit demselben Symbol für die verschiedenen Größenordnungen (z. B. die "Einerstelle", "Zehnerstelle", "Hundererstelle") und, mit einem Radix-Punkt , Verwenden derselben Symbole, um Brüche darzustellen (zB die "Zehntelstelle", "Hundertstelstelle"). 507.36 bezeichnet beispielsweise 5 Hunderter (10 2 ) plus 0 Zehner (10 1 ), plus 7 Einheiten (10 0 ), plus 3 Zehntel (10 –1 ) plus 6 Hundertstel (10 –2 ).

Das Konzept der 0 als eine mit den anderen Grundziffern vergleichbare Zahl ist für diese Notation wesentlich, ebenso das Konzept der Verwendung von 0 als Platzhalter und die Definition der Multiplikation und Addition mit 0. Die Verwendung von 0 als Platzhalter und , die Verwendung einer Stellenschreibweise daher wird zuerst in dem bezeugt Jain Text aus Indien dem Titel Lokavibhâga , datiert 458 AD und erst im frühen 13. Jahrhundert , dass diese Konzepte, über das übertragene Stipendium der arabischen Welt , eingeführt wurden nach Europa von Fibonacci mit dem hindu-arabischen Zahlensystem.

Der Algorithmus umfasst alle Regeln zum Durchführen arithmetischer Berechnungen unter Verwendung dieser Art von geschriebenen Zahlen. Zum Beispiel ergibt die Addition die Summe zweier willkürlicher Zahlen. Das Ergebnis wird durch die wiederholte Addition einzelner Ziffern von jeder Zahl, die dieselbe Position einnimmt, von rechts nach links berechnet. Eine Additionstabelle mit zehn Zeilen und zehn Spalten zeigt alle möglichen Werte für jede Summe an. Überschreitet eine einzelne Summe den Wert 9, wird das Ergebnis zweistellig dargestellt. Die ganz rechte Ziffer ist der Wert für die aktuelle Position, und das Ergebnis für die anschließende Addition der Ziffern nach links erhöht sich um den Wert der zweiten (ganz links) Ziffer, die immer eins (wenn nicht null) ist. Diese Anpassung wird als Carry des Wertes 1 bezeichnet.

Der Vorgang zum Multiplizieren zweier willkürlicher Zahlen ist ähnlich dem Vorgang für die Addition. Eine Multiplikationstabelle mit zehn Zeilen und zehn Spalten listet die Ergebnisse für jedes Ziffernpaar auf. Wenn ein einzelnes Produkt eines Ziffernpaares 9 überschreitet, erhöht die Übertragsanpassung das Ergebnis jeder nachfolgenden Multiplikation von Ziffern nach links um einen Wert gleich der zweiten (ganz links) Ziffer, die einen beliebigen Wert von 1 bis 8 ( 9 × 9 = 81 ). Zusätzliche Schritte definieren das Endergebnis.

Ähnliche Techniken gibt es für Subtraktion und Division.

Die Erstellung eines korrekten Prozesses für die Multiplikation beruht auf der Beziehung zwischen Werten benachbarter Ziffern. Der Wert einer einzelnen Ziffer in einer Zahl hängt von ihrer Position ab. Außerdem stellt jede Position links einen Wert dar, der zehnmal größer ist als die Position rechts. Mathematisch ausgedrückt, der Exponent für die Radix (Basis) von 10 erhöht sich um 1 (links) oder verringert sich um 1 (nach rechts). Daher wird der Wert für jede beliebige Ziffer mit einem Wert der Form 10 n mit einer ganzen Zahl  n multipliziert . Die Liste von Werten, die allen möglichen Positionen für eine einzelne Ziffer entspricht, wird als {..., 10 2 , 10, 1, 10 −1 , 10 −2 , ...} geschrieben.

Wiederholte Multiplikation eines beliebigen Wertes in dieser Liste mit 10 erzeugt einen anderen Wert in der Liste. In der mathematischen Terminologie wird diese Eigenschaft als Abschluss definiert , und die vorherige Liste wird als abgeschlossen unter Multiplikation beschrieben . Es ist die Grundlage für das korrekte Finden der Ergebnisse der Multiplikation unter Verwendung der vorherigen Technik. Dieses Ergebnis ist ein Beispiel für die Anwendung der Zahlentheorie .

Zusammengesetzte Einheitsarithmetik

Bei der zusammengesetzten Einheitsarithmetik handelt es sich um die Anwendung arithmetischer Operationen auf gemischte Radix- Größen wie Fuß und Zoll; Gallonen und Pints; Pfund, Schilling und Pence; und so weiter. Vor dezimalbasierten Geld- und Maßeinheiten war die zusammengesetzte Einheitsarithmetik in Handel und Industrie weit verbreitet.

Grundrechenarten

Die Techniken der zusammengesetzten Einheitenarithmetik wurden über viele Jahrhunderte hinweg entwickelt und sind in vielen Lehrbüchern in vielen verschiedenen Sprachen gut dokumentiert. Zusätzlich zu den grundlegenden arithmetischen Funktionen, die in der Dezimalarithmetik angetroffen werden, verwendet die zusammengesetzte Einheitenarithmetik drei weitere Funktionen:

  • Reduktion , bei der eine zusammengesetzte Menge auf eine einzelne Menge reduziert wird – zum Beispiel die Umrechnung einer in Yards, Fuß und Zoll ausgedrückten Entfernung in eine in Zoll ausgedrückte Entfernung.
  • Expansion , die Umkehrfunktion zur Reduktion, ist die Umwandlung einer Menge, die als einzelne Maßeinheit ausgedrückt wird, in eine zusammengesetzte Einheit, z. B. Expansion von 24 oz auf 1 lb 8 oz .
  • Normalisierung ist die Umwandlung eines Satzes zusammengesetzter Einheiten in eine Standardform – zum Beispiel das Umschreiben von " 1 ft 13 in " in " 2 ft 1 in ".

Die Kenntnis der Beziehung zwischen den verschiedenen Maßeinheiten, ihren Vielfachen und ihren Teilmengen ist ein wesentlicher Bestandteil der zusammengesetzten Einheitenarithmetik.

Prinzipien der zusammengesetzten Einheitsarithmetik

Es gibt zwei grundlegende Ansätze für die zusammengesetzte Einheitsarithmetik:

  • Reduktions-Expansionsmethode, bei der alle zusammengesetzten Einheitsvariablen auf einzelne Einheitsvariablen reduziert, die Berechnung durchgeführt und das Ergebnis wieder auf zusammengesetzte Einheiten erweitert wird. Dieser Ansatz ist für automatisierte Berechnungen geeignet. Ein typisches Beispiel ist die Zeitbehandlung von Microsoft Excel, bei der alle Zeitintervalle intern als Tage und Dezimalbruchteile eines Tages verarbeitet werden.
  • Fortlaufende Normalisierungsmethode, bei der jede Einheit separat behandelt wird und das Problem kontinuierlich normalisiert wird, während sich die Lösung entwickelt. Dieser in klassischen Texten vielfach beschriebene Ansatz eignet sich am besten für manuelle Berechnungen. Ein Beispiel für die fortlaufende Normalisierungsmethode, die auf die Addition angewendet wird, ist unten gezeigt.
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Die Addition erfolgt von rechts nach links; In diesem Fall werden zuerst Pence verarbeitet, dann Schilling gefolgt von Pfund. Die Zahlen unter der "Antwortzeile" sind Zwischenergebnisse.

Die Summe in der Spalte Pence ist 25. Da ein Schilling 12 Pfennige enthält, wird 25 durch 12 geteilt, um 2 mit einem Rest von 1 zu erhalten. Der Wert "1" wird dann in die Antwortzeile geschrieben und der Wert "2" in die Schillingkolonne übertragen. Dieser Vorgang wird mit den Werten in der Schilling-Spalte wiederholt, mit dem zusätzlichen Schritt, den Wert hinzuzufügen, der aus der Pfennige-Spalte übertragen wurde. Die Zwischensumme wird durch 20 geteilt, da ein Pfund 20 Schilling enthält. Die Pfund-Spalte wird dann verarbeitet, aber da Pfund die größte betrachtete Einheit sind, werden keine Werte aus der Pfund-Spalte übertragen.

Der Einfachheit halber hatte das gewählte Beispiel keine Farthings.

Operationen in der Praxis

Eine in imperialen Einheiten kalibrierte Waage mit zugehöriger Kostenanzeige.

Während des 19. und 20. Jahrhunderts wurden verschiedene Hilfsmittel entwickelt, um die Manipulation von Verbundeinheiten, insbesondere in kommerziellen Anwendungen, zu erleichtern. Die gebräuchlichsten Hilfsmittel waren mechanische Kassen, die in Ländern wie dem Vereinigten Königreich angepasst wurden, um Pfunde, Schilling, Pennies und Farthings unterzubringen, und Ready Reckoners , also Bücher für Händler, die die Ergebnisse verschiedener Routineberechnungen wie die Prozentsätze oder Vielfache verschiedener Geldbeträge. Eine typische Broschüre, die 150 Seiten umfasste, listete Vielfache "von eins bis zehntausend zu den verschiedenen Preisen von einem Heller bis zu einem Pfund" auf.

Die Umständlichkeit der zusammengesetzten Einheitenarithmetik ist seit vielen Jahren bekannt – 1586 veröffentlichte der flämische Mathematiker Simon Stevin eine kleine Broschüre mit dem Titel De Thiende ("der Zehnte"), in der er die universelle Einführung von dezimalen Münzen, Maßen und Gewichten erklärte nur eine Frage der Zeit sein. In der modernen Zeit, dass viele Konvertierungsprogramme, wie zum Beispiel in dem Microsoft Betriebssystem Windows 7 Rechnern, Display - Verbindungseinheiten in einem reduzierten Dezimalformat enthielt und nicht mit einem erweiterten Format (zB „2,5 ft“ angezeigt statt „2 ft 6 ein" ).

Zahlentheorie

Bis ins 19. Jahrhundert war die Zahlentheorie ein Synonym für "Arithmetik". Die angesprochenen Probleme standen in direktem Zusammenhang mit den Grundoperationen und betrafen Primalität , Teilbarkeit und die Lösung von Gleichungen in ganzen Zahlen , wie zB Fermats letzter Satz . Es stellte sich heraus, dass die meisten dieser Probleme, obwohl sie sehr elementar zu beschreiben sind, sehr schwierig sind und möglicherweise nicht ohne sehr tiefgehende Mathematik gelöst werden können, die Konzepte und Methoden aus vielen anderen Zweigen der Mathematik einbezieht. Dies führte zu neuen Zweigen der Zahlentheorie wie der analytischen Zahlentheorie , der algebraischen Zahlentheorie , der diophantischen Geometrie und der arithmetischen algebraischen Geometrie . Wiles' Beweis des letzten Satzes von Fermat ist ein typisches Beispiel für die Notwendigkeit ausgefeilter Methoden, die weit über die klassischen Methoden der Arithmetik hinausgehen, zur Lösung von Problemen, die in der elementaren Arithmetik angegeben werden können.

Arithmetik in der Bildung

Der Grundschulunterricht in Mathematik legt oft einen starken Fokus auf Algorithmen für die Arithmetik von natürlichen Zahlen , ganzen Zahlen , Brüchen und Dezimalzahlen (mit dem dezimalen Stellenwertsystem). Diese Studie wird manchmal als Algorithmus bezeichnet.

Die Schwierigkeit und das unmotivierte Aussehen dieser Algorithmen haben Pädagogen seit langem dazu veranlasst, diesen Lehrplan in Frage zu stellen und sich für die frühe Vermittlung zentraler und intuitiver mathematischer Ideen einzusetzen. Eine bemerkenswerte Bewegung in diese Richtung war die Neue Mathematik der 1960er und 1970er Jahre, die versuchte, Arithmetik im Geiste der axiomatischen Entwicklung aus der Mengenlehre zu lehren, ein Echo des vorherrschenden Trends in der höheren Mathematik.

Arithmetik wurde auch von islamischen Gelehrten verwendet, um die Anwendung der Regeln im Zusammenhang mit Zakat und Irth zu lehren . Dies wurde in einem Buch mit dem Titel The Best of Arithmetic von Abd-al-Fattah-al-Dumyati getan.

Das Buch beginnt mit den Grundlagen der Mathematik und geht zu ihrer Anwendung in den späteren Kapiteln über.

Siehe auch

verwandte Themen

Anmerkungen

Verweise

Externe Links