Arithmetische Mittel - Arithmetic mean


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In der Mathematik und Statistik , das arithmetische Mittel ( / ˌ æ r ɪ & thgr; m ɛ t ɪ k m í n / , Stress auf der dritten Silbe „arithmetic“) oder einfach die mittlere oder durchschnittliche wenn der Zusammenhang klar ist, ist , die Summe aus einer Sammlung von Zahlen durch die Grafen von Nummern in der Sammlung geteilt. Die Sammlung ist oft eine Reihe von Ergebnissen eines Experiments oder eine Beobachtungsstudie , oder häufig eine Reihe von Ergebnissen aus einer Umfrage . Der Begriff „arithmetische Mittel“ wird in manchen Kontexten in Mathematik und Statistik bevorzugt , weil sie es von anderen helfen zu unterscheiden Mitteln , wie das geometrische Mittel und das harmonische Mittel .

Neben Mathematik und Statistik, wird das arithmetische Mittel häufig in vielen unterschiedlichen Bereichen wie verwendet Ökonomie , Anthropologie und Geschichte , und es wird verwendet , in fast jeden akademischen Bereich zu einem gewissen Grad. Zum Beispiel Prokopfein ist der arithmetische Mittel Überschuss der Bevölkerung eines Landes.

Während das arithmetische Mittel oft zu berichten verwendet wird zentrale Tendenz , ist es nicht eine robuste Statistik , was bedeutet , dass es stark beeinflusst wird durch Ausreißer (Werte , die sehr viel größer oder kleiner sind als die meisten der Werte). Bemerkenswert ist , für schiefe Verteilungen , wie die Verteilung von Einkommen , für die wenige das Einkommen der Menschen ist wesentlich größer als die meisten Menschen, das arithmetische Mittel möglicherweise nicht mit einem Begriff der „Mitte“ und robusten Statistik, wie der Übereinstimmen Median , sein kann , eine bessere Beschreibung der zentralen Tendenz.

Definition

Das arithmetische Mittel (oder mittlere oder durchschnittliche ) (liest bar ), ist der Mittelwert des Wertes .

Das arithmetische Mittel ist das am häufigsten verwendeten und ohne weiteres verständlich Maß der Zentraltendenz in einem Datensatz . In der Statistik bezieht sich der Begriff durchschnittlicher einer der Maßnahmen der zentralen Tendenz. Das arithmetische Mittel aus einem Satz beobachteter Daten definiert ist als durch die Gesamtzahl von Beobachtungen dividiert mit der Summe der numerischen Werte von jedem und jeder Beobachtung gleich ist. Symbolisch, wenn wir einen Datensatz haben der Werte aus , dann das arithmetische Mittel wird definiert durch die Formel:

(Siehe Summierung für eine Erklärung der Summierung Operator ).

Zum Beispiel, lassen Sie uns das Monatsgehalt von 10 Mitarbeitern eines Unternehmens erwägen: 2500, 2700, 2400, 2300, 2550, 2650, 2750, 2450, 2600, 2400. Das arithmetische Mittel ist

Wenn der Datensatz a statistische Population (dh besteht aus jeglichem Beobachtung und nicht nur eine Untermenge von ihnen), dann der Mittelwert dieser Population wird die genannte Bevölkerung bedeuten . Wenn der Datensatz a statistische Stichprobe (eine Untergruppe der Bevölkerung), rufen wir die Statistik aus dieser Berechnung resultierende eine Stichprobe meint .

motivierende Eigenschaften

Das arithmetische Mittel hat mehrere Eigenschaften, die es nützlich zu machen, vor allem als Maß der zentralen Tendenz. Diese schließen ein:

  • Wenn Zahlen haben meint , dann . Da der Abstand von einer bestimmten Zahl zum Mittelwert ist, eine Möglichkeit , diese Immobilie zu interpretieren ist , als zu sagen , dass die Zahlen auf der linken Seite des Mittels durch die Zahlen auf der rechten Seite des Mittel ausgeglichen werden. Der Mittelwert ist die einzige einzelne Zahl , für die die Residuen (Abweichungen von dem Schätzwert) auf Null summieren.
  • Wenn es erforderlich ist , für eine Reihe von bekannten Zahlen eine einzelne Zahl als „typisch“ -Wert zu verwenden , dann ist das arithmetische Mittel der Zahlen tut dies am besten, im Sinne die Summe der quadratischen Abweichungen vom typischen Wert zu minimieren: die Summe von . (Es folgt , dass die Stichproben - Mittelwert ist auch der beste einzelne Prädiktor im Sinne der niedrigsten mit root quadrierten Fehlern bedeutet .) Wenn das arithmetische Mittel aus einer Population von Zahlen erwünscht ist, dann ist die Schätzung der es das ist , unvoreingenommen das arithmetische Mittel ist eine Probe aus der Population gezogen.

Kontrast mit medianen

Das arithmetische Mittel kann mit dem Median gegenübergestellt werden. Der Median ist so definiert, dass nicht mehr als die Hälfte der Werte größer als, und nicht mehr als die Hälfte kleiner als der Medianwert. Wenn Elemente in den Daten arithmetisch zu erhöhen , wenn er in einem bestimmten Reihenfolge angeordnet, so ist der Median und arithmetisches Mittel entspricht. Man betrachte zum Beispiel die Datenabtastwert . Die durchschnittliche ist , als der Median ist. Wenn wir jedoch eine Probe überlegen , die nicht angeordnet werden können , um arithmetisch zu erhöhen, wie zum Beispiel des Medianwert und arithmetisches Mittel können signifikant unterscheiden. In diesem Fall ist das arithmetische Mittel 6,2 und der Median ist 4. Im Allgemeinen ist die Durchschnittswert deutlich von den meisten Werten in der Probe variieren kann, und kann größer oder kleiner sein als die meisten von ihnen.

Es gibt Anwendungen, dieses Phänomen in vielen Bereichen. Zum Beispiel, seit den 1980er Jahren hat sich das durchschnittliche Einkommen in den Vereinigten Staaten langsamer als das arithmetische Mittel der Einkommen erhöht.

Verallgemeinerungen

gewichtete durchschnittliche

Ein gewichteter Mittelwert oder gewichteten Mittelwert, ist ein Durchschnittswert , in denen einige Daten Punkte schwerer rechnen als andere, da sie mehr Gewicht bei der Berechnung gegeben. Zum Beispiel das arithmetische Mittel aus und ist , oder äquivalent . Im Gegensatz dazu ein gewichteter Mittelwert , bei dem die erste Zahl empfängt, beispielsweise doppelt so viel Gewicht wie die zweite (vielleicht , weil es doppelt so oft in der allgemeinen Bevölkerung erscheinen angenommen wird , aus dem diese Zahlen abgetastet wurden) würde wie folgt berechnet werden . Hier werden die Gewichte, die notwendigerweise auf den Wert sum einen sind und die ehemalige zweimal wobei letztere. Man beachte , daß das arithmetische Mittel (manchmal die „ungewichtete Mittelwert“ oder „gleichgewichteten Durchschnitt“ bezeichnet) kann als ein spezieller Fall eines gewichteten Durchschnitts interpretiert werden , in denen alle Gewichte gleich zueinander sind (gleich in dem obigen Beispiel, und gleich in einer Situation mit Zahlen sind gemittelt).

Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Vergleich von zwei Lognormalverteilungen mit gleichen gemein , aber verschiedenen Schiefe , die sie in verschiedenen Mediane und Modi .

Falls eine numerische Eigenschaft, und jede Stichprobe von Daten von ihm, könnte nehmen jeden Wert aus einem kontinuierlichen Bereich statt, beispielsweise nur ganze Zahlen, dann ist die Wahrscheinlichkeit einer Zahl in gewissem Bereich von möglichen Werten fallen kann beschrieben werden durch die Integration eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über diesem Bereich liegt, selbst wenn die naive Wahrscheinlichkeit für eine Musternummer unter einem bestimmten Wert von unendlich vielen Null. Die analoge einen gewichteten Durchschnitt in diesem Zusammenhang, in dem es eine unendliche Anzahl von Möglichkeiten für den exakten Wert der Variablen in jeder Reihe ist, wird der angerufene Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung . Eine am häufigsten begegnet Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die gerufene Normalverteilung ; es hat die Eigenschaft , dass alle Maßnahmen der zentralen Tendenz, nicht nur den Mittelwert einschließlich , aber auch den oben genannten Median und den Modus (der drei M) sie gleich ist. Diese Gleichheit gilt nicht für andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen, wie sie für die illustriert Lognormalverteilung hier.

Angles

Insbesondere muss beachtet werden , wenn zyklische Daten, wie beispielsweise unter Verwendung von Phasen oder Winkeln . Naiv Aufnahme des arithmetischen Mittels von 1 ° und 359 ° ergibt ein Ergebnis von 180 °. Dies ist falsch , aus zwei Gründen:

  • Zunächst werden die Messungen Winkel nur auf eine additive Konstante definiert von oben 360 ° (oder 2π, wenn bei der Messung Bogenmaß ). So könnte man so leicht nennen diese 1 ° und -1 ° oder 361 ° und 719 °, von denen jeder einen unterschiedlichen durchschnittlichen gibt.
  • Zweitens, in dieser Situation, 0 ° (äquivalent 360 °) geometrisch besser durchschnittlicher Wert: Es ist niedrige Dispersion darüber (die Punkte beide 1 ° von ihm, und 179 ° von 180 °, der putative Durchschnitt).

Im allgemeinen Anwendung, eine solche Aufsicht wird der Durchschnittswert führen künstlich zur Mitte des Werte bewegen. Eine Lösung für dieses Problem ist die Optimierung Formulierung zu verwenden ( viz. , Den Mittelwert als Mittelpunkt definiert werden : der Punkt , über die man die unterste Dispersion hat), und die Differenz als Modulabstand neu definieren (dh der Abstand auf dem Kreis : so ° der modularen Abstands zwischen 1 ° und 359 ° beträgt 2, nicht 358 °).

Symbole und Kodieren

Das arithmetische Mittel wird häufig durch einen Steg, zum Beispiel bezeichnet , wie in (liest bar ).

Einige Software ( Textprozessoren , Webbrowser ) nicht das X - Symbol korrekt angezeigt werden . Zum Beispiel in dem x - Symbol HTML ist eigentlich eine Kombination von zwei Codes - die Basis Buchstaben x plus ein Code für die obige Zeile (& # 772 ; oder ¯).

In einigen Texten, wie zum Beispiel PDF - Dateien kann das x - Symbol durch ein ersetzt Cent (¢) -Symbol ( Unicode & # 162) , wenn kopierTextVerarbeitungsProgramm wie Microsoft Word .

Siehe auch

Verweise

Weiterführende Literatur

Externe Links