Arithmetische Progression - Arithmetic progression
Eine arithmetische Folge oder arithmetische Folge ist eine Folge von Zahlen , bei der die Differenz zwischen den aufeinanderfolgenden Termen konstant ist. Zum Beispiel die Sequenz 5, 7, 9, 11, 13, 15, . . . ist eine arithmetische Folge mit einer gemeinsamen Differenz von 2.
Ist der Anfangsterm einer arithmetischen Folge und die gemeinsame Differenz aufeinanderfolgender Glieder ist d , dann ist der n- te Term der Folge ( ) gegeben durch:
- ,
und allgemein
- .
Ein endlicher Teil einer arithmetischen Folge wird als endliche arithmetische Folge und manchmal auch nur als arithmetische Folge bezeichnet. Die Summe einer endlichen arithmetischen Folge wird als arithmetische Reihe bezeichnet .
Summe
2 | + | 5 | + | 8 | + | 11 | + | 14 | = | 40 |
14 | + | 11 | + | 8 | + | 5 | + | 2 | = | 40 |
|
||||||||||
16 | + | 16 | + | 16 | + | 16 | + | 16 | = | 80 |
Die Summe der Glieder einer endlichen arithmetischen Folge wird als arithmetische Reihe bezeichnet . Betrachten Sie zum Beispiel die Summe:
Diese Summe lässt sich schnell finden, indem man die Anzahl n der zu addierenden Terme nimmt (hier 5), mit der Summe der ersten und letzten Zahl der Folge (hier 2 + 14 = 16) multipliziert und durch 2 dividiert:
Im obigen Fall ergibt dies die Gleichung:
Diese Formel funktioniert für alle reellen Zahlen und . Zum Beispiel:
Ableitung
Um die obige Formel abzuleiten, beginnen Sie damit, die arithmetische Reihe auf zwei verschiedene Arten auszudrücken:
Addiert man beide Seiten der beiden Gleichungen, heben sich alle Terme mit d auf :
Die Division beider Seiten durch 2 ergibt eine gemeinsame Form der Gleichung:
Durch erneutes Einfügen der Substitution ergibt sich eine alternative Form: :
Außerdem kann der Mittelwert der Reihe berechnet werden über: :
Die Formel ist dem Mittelwert einer diskreten Gleichverteilung sehr ähnlich .
Produkt
Das Produkt der Glieder einer endlichen arithmetischen Folge mit einem Anfangselement a 1 , gemeinsamen Differenzen d und insgesamt n Elementen wird in einem geschlossenen Ausdruck bestimmt
wobei bezeichnet die Gamma-Funktion . Die Formel ist ungültig, wenn sie negativ oder null ist.
Dies ist eine Verallgemeinerung aus der Tatsache, dass das Produkt der Progression durch die Fakultät gegeben ist und dass das Produkt
für positive ganze Zahlen und ist gegeben durch
Ableitung
wobei bezeichnet die steigende Fakultät .
Durch die Rekursionsformel , gültig für eine komplexe Zahl ,
- ,
- ,
so dass
für eine positive ganze Zahl und eine positive komplexe Zahl.
Wenn also ,
- ,
und schlussendlich,
Beispiele
- Beispiel 1
Im Beispiel ist das Produkt der Terme der arithmetischen Folge bis zum 50. Term
- Beispiel 2
Das Produkt der ersten 10 ungeraden Zahlen ist gegeben durch
- = 654.729.075
Standardabweichung
Die Standardabweichung jeder arithmetischen Folge kann berechnet werden als
wobei die Anzahl der Terme in der Progression und der gemeinsame Unterschied zwischen den Termen ist. Die Formel ist der Standardabweichung einer diskreten Gleichverteilung sehr ähnlich .
Kreuzungen
Der Schnittpunkt zweier doppelt unendlicher arithmetischer Folgen ist entweder leer oder eine andere arithmetische Folge, die mit dem chinesischen Restsatz gefunden werden kann . Wenn jedes Paar von Folgen in einer Familie von doppelt unendlichen arithmetischen Folgen eine nichtleere Schnittmenge hat, dann gibt es eine gemeinsame Zahl für alle; das heißt, unendliche arithmetische Progressionen bilden eine Helly-Familie . Der Schnittpunkt von unendlich vielen unendlichen arithmetischen Progressionen könnte jedoch eine einzelne Zahl sein, anstatt selbst eine unendliche Progression zu sein.
Geschichte
Einer Anekdote von unsicherer Zuverlässigkeit zufolge erfand der junge Carl Friedrich Gauß in der Grundschule diese Methode neu, um die Summe der ganzen Zahlen von 1 bis 100 zu berechnen, indem er multiplizierte n/2Zahlenpaare in der Summe durch die Werte jedes Paares n + 1 . Ungeachtet der Wahrheit dieser Geschichte war Gauß jedoch nicht der Erste, der diese Formel entdeckte, und einige halten es für wahrscheinlich, dass ihr Ursprung auf die Pythagoräer im 5. Jahrhundert v. Chr. zurückgeht. Ähnliche Regeln waren in der Antike von Archimedes , Hypsicles und Diophantus bekannt ; in China nach Zhang Qiujian ; in Indien nach Aryabhata , Brahmagupta und Bhaskara II ; und im mittelalterlichen Europa zu Alcuin , Dicuil , Fibonacci , Sacrobosco und zu anonymen Kommentatoren des Talmud, bekannt als Tosafisten .
Siehe auch
- Geometrischer Verlauf
- Harmonische Progression
- Dreieckszahl
- Arithmetisch-geometrische Folge
- Ungleichung von arithmetischen und geometrischen Mitteln
- Primzahlen in arithmetischer Folge
- Lineare Differenzengleichung
- Verallgemeinerte arithmetische Folge , eine Menge von ganzen Zahlen, die als arithmetische Folge konstruiert ist, aber mehrere mögliche Unterschiede zulässt
- Heronische Dreiecke mit Seiten in arithmetischer Folge
- Probleme mit arithmetischen Progressionen
- Utonalität