Angenommener Mittelwert - Assumed mean

In der Statistik ist der angenommene Mittelwert eine Methode zur Berechnung des arithmetischen Mittels und der Standardabweichung eines Datensatzes. Es vereinfacht die Berechnung genauer Werte von Hand. Sein Interesse ist heute hauptsächlich historisch, aber es kann verwendet werden, um diese Statistiken schnell abzuschätzen. Es gibt andere schnelle Berechnungsmethoden, die für Computer besser geeignet sind und auch genauere Ergebnisse liefern als die offensichtlichen Methoden.

Beispiel

Erstens: Gesucht wird der Mittelwert der folgenden Zahlen:

219, 223, 226, 228, 231, 234, 235, 236, 240, 241, 244, 247, 249, 255, 262

Angenommen, wir beginnen mit einer plausiblen Anfangsschätzung, dass der Mittelwert etwa 240 beträgt. Dann sind die Abweichungen von diesem "angenommenen" Mittelwert wie folgt:

−21, −17, −14, −12, −9, −6, −5, −4, 0, 1, 4, 7, 9, 15, 22

Wenn man diese zusammenzählt, stellt man fest, dass:

22 und -21 heben sich fast auf, lassen +1,

15 und -17 stornieren fast, lassen -2

9 und -9 stornieren,

7 + 4 hebt −6 − 5 auf,

und so weiter. Wir haben eine Summe von -30. Der Durchschnitt dieser 15 Abweichungen vom angenommenen Mittelwert beträgt daher −30/15 = −2. Daher müssen wir das zum angenommenen Mittelwert hinzufügen, um den richtigen Mittelwert zu erhalten:

korrekter Mittelwert = 240 − 2 = 238.

Methode

Die Methode hängt davon ab, den Mittelwert zu schätzen und auf einen leicht zu berechnenden Wert zu runden. Dieser Wert wird dann von allen Abtastwerten abgezogen. Wenn die Stichproben in gleich große Bereiche eingeteilt werden, wird eine zentrale Klasse ausgewählt und die Anzahl der Bereiche daraus wird in die Berechnungen einbezogen. Beispielsweise könnte für die Körpergröße von Personen ein Wert von 1,75 m als angenommener Mittelwert verwendet werden.

Für einen Datensatz mit angenommenem Mittelwert x ₀ sei angenommen:

${\displaystyle d_{i}=x_{i}-x_{0}\,}$

${\displaystyle A=\sum_{i=1}^{N}d_{i}\,}$

${\displaystyle B=\sum_{i=1}^{N}d_{i}^{2}\,}$

${\displaystyle D={\frac{A}{N}}\,}$

Dann

${\displaystyle {\overline {x}}=x_{0}+D\,}$

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {B-ND^{2}}{N}}}\,}$

oder für eine Stichprobenstandardabweichung unter Verwendung der Bessel-Korrektur :

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {B-ND^{2}}{N-1}}}\,}$

Beispiel mit Klassenbereichen

Bei einer großen Anzahl von Stichproben kann eine schnelle vernünftige Schätzung des Mittelwerts und der Standardabweichung erhalten werden, indem die Stichproben in Klassen mit gleichen Größenbereichen gruppiert werden. Dies führt zu einem Quantisierungsfehler, ist aber normalerweise für die meisten Zwecke genau genug, wenn 10 oder mehr Klassen verwendet werden.

Zum Beispiel mit der Ausnahme,

167,8 175,4 176,1 166 174,7 170,2 178,9 180,4 174,6 174,5 182,4 173,4 167,4 170,7 180,6 169,6 176,2 176,3 175,1 178,7 167,2 180,2 180,3 164,7 167,9 179,6 164,9 173,2 180,3 168 175,5 172,9 182,2 166,7 172,4 181,9 175,9 176,8 179,6 166 171,5 180,6 175,5 173,2 176 163,3 172,5 163,4 165,9 178,2 174,6 174,3 170,5 169,7 176,2 175,1 177 173,5 173,6 174,3 174,4 171,1 173,3 164,6 173 177,9 166,5 159,6 170,5 174,7 182 172,7 175,9 171,5 167,1 176,9 181,7 170,7 177,5 170,9 178,1 174,3 173,3 169,2 178,2 179,4 187,6 186,4 178,1 174 177,1 163,3 178,1

Das Minimum und das Maximum sind 159,6 und 187,6. Wir können sie wie folgt gruppieren, indem wir die Zahlen abrunden. Die Klassengröße (CS) beträgt 3. Der angenommene Mittelwert ist die Mitte des Bereichs von 174 bis 177, was 175,5 entspricht. Die Unterschiede werden in Klassen gezählt.

Beobachtete Zahlen in Bereichen

Reichweite	Tally-Count	Frequenz	Klassenunterschied	Freq×diff	Freq×Diff 2
159—161	/	1	-5	-5	25
162—164	//// /	6	-4	−24	96
165—167	//// ////	10	-3	-30	90
168—170	//// //// ///	13	-2	−26	52
171—173	//// //// //// /	16	-1	-16	16
174—176	//// //// //// //// ////	25	0	0	0
177—179	//// //// //// /	16	1	16	16
180—182	//// //// /	11	2	22	44
183—185		0	3	0	0
186—188	//	2	4	8	32
Summe		N = 100		A = −55	B = 371

Der Mittelwert wird dann auf geschätzt

${\displaystyle x_{0}+CS\times {\frac {A}{N}}=175,5+3\times -55/100=173,85}$

was dem tatsächlichen Mittelwert von 173,846 sehr nahe kommt.

Die Standardabweichung wird geschätzt als

${\displaystyle CS{\sqrt {\frac {B-{\frac {A^{2}}{N}}}{N-1}}}=5.57}$

Verweise