Atlas (Topologie) - Atlas (topology)

In der Mathematik , insbesondere der Topologie , beschreibt man eine Mannigfaltigkeit mit einem Atlas . Ein Atlas besteht aus einzelnen Diagrammen , die grob gesagt einzelne Regionen der Mannigfaltigkeit beschreiben. Wenn die Mannigfaltigkeit die Erdoberfläche ist, dann hat ein Atlas seine allgemeinere Bedeutung. Im Allgemeinen liegt der Begriff des Atlas der formalen Definition einer Mannigfaltigkeit und verwandter Strukturen wie Vektorbündel und andere Faserbündel zugrunde .

Diagramme

Die Definition eines Atlas hängt von der Vorstellung eines Diagramms ab . Eine Karte für einen topologischen Raum M (auch Koordinatenkarte , Koordinatenfeld , Koordinatenkarte oder lokaler Rahmen genannt ) ist ein Homöomorphismus von einer offenen Teilmenge U von M zu einer offenen Teilmenge eines euklidischen Raums . Der Chart wird traditionell als geordnetes Paar aufgezeichnet .

Formale Definition von Atlas

Ein Atlas für einen topologischen Raum ist eine indizierte Familie von Karten, auf denen (d. h. ) bedeckt ist . Wenn die Kodomäne jedes Diagramms der n- dimensionale euklidische Raum ist , dann heißt es eine n- dimensionale Mannigfaltigkeit .

Der Plural von Atlas ist Atlanten , obwohl einige Autoren verwenden Atlanten .

Ein Atlas auf einem -dimensionalen Verteiler ist ein genannter adäquaten Atlas wenn das Bild jeden Diagramms ist entweder oder , ist eine lokal finite offene Abdeckung aus , und , wo die offene Kugel mit Radius 1 am Ursprung zentrierte und ist der geschlossene Halbraum . Jede zweitzählbare Mannigfaltigkeit lässt einen adäquaten Atlas zu. Außerdem, wenn eine offene Überdeckung der zweiten zählbare Mannigfaltigkeit ist , dann ist eine ausreichende Atlas auf , so daß eine Verfeinerung ist .

Übergangskarten

Zwei Diagramme auf einer Mannigfaltigkeit und ihre jeweilige Übergangskarte

Eine Übergangskarte bietet eine Möglichkeit, zwei Diagramme eines Atlas zu vergleichen. Um diesen Vergleich anzustellen, betrachten wir die Zusammensetzung eines Diagramms mit der Umkehrung des anderen. Diese Zusammensetzung ist nicht gut definiert , wenn wir beide Diagramme auf die beschränken Kreuzung ihrer Domänen der Definition. (Wenn wir zum Beispiel eine Karte von Europa und eine Karte von Russland haben, können wir diese beiden Karten auf ihre Überschneidung vergleichen, nämlich den europäischen Teil Russlands.)

Um genauer zu sein, nehmen wir an, dass und zwei Diagramme für eine Mannigfaltigkeit M sind , die nicht leer ist . Die Transition Map ist die Map definiert durch

Beachten Sie, dass die Übergangsabbildung auch ein Homöomorphismus ist , da und beide Homöomorphismen sind .

Mehr Struktur

Oft wünscht man sich mehr Struktur auf einer Mannigfaltigkeit als nur die topologische Struktur. Möchte man beispielsweise eine eindeutige Vorstellung von der Differentiation von Funktionen auf einer Mannigfaltigkeit haben, dann ist es notwendig, einen Atlas zu konstruieren, dessen Übergangsfunktionen differenzierbar sind . Eine solche Mannigfaltigkeit heißt differenzierbar . Bei einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit kann man den Begriff der Tangentenvektoren und dann der Richtungsableitungen eindeutig definieren .

Wenn jede Übergangsfunktion eine glatte Abbildung ist , dann heißt der Atlas glatter Atlas und die Mannigfaltigkeit selbst heißt glatt . Alternativ könnte man verlangen, dass die Übergangskarten nur k stetige Ableitungen haben, in diesem Fall heißt der Atlas .

Wenn jede Übergangsfunktion zu einer Pseudogruppe von Homöomorphismen des euklidischen Raums gehört, wird der Atlas ganz allgemein als -Atlas bezeichnet. Wenn die Übergangskarten zwischen Diagrammen eines Atlas eine lokale Trivialisierung bewahren , dann definiert der Atlas die Struktur eines Faserbündels.

Siehe auch

Verweise

  • Lee, John M. (2006). Einführung in glatte Verteiler . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
  • Sepanski, Mark R. (2007). Kompakte Lügengruppen . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-30263-8.
  • Husemöller, D (1994), Faserbündel , Springer, Kapitel 5 "Lokale Koordinatenbeschreibung von Faserbündeln".

Externe Links