Axiom der Wahl - Axiom of choice


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Illustration der Axiom der Wahl, wobei jedes S i und x i als JAR dargestellt und einem gefärbten Marmor, jeweils
(S i ) ist eine unendliche Familie von Sätzen über die indexierten reellen Zahlen R ; das heißt, es ist ein Satz S i für jede reelle Zahl i , mit einer kleinen Stichprobe oben gezeigt. Jeder Satz enthält mindestens ein und möglicherweise unendlich viele Elemente. Der Grundsatz der Wahl erlaubt es uns , die willkürlich aus jedem Satz ein einzelnes Element zu wählen, eine entsprechende Gruppe von Elementen (forming x i ) auch über die reellen Zahlen indiziert, mit x i von S gezogene i . Im Allgemeinen können die Sammlungen indexieren über jeden Satz I , nicht nur R .

In der Mathematik , das Axiom der Wahl , oder AC ist ein Axiom der Mengenlehre entspricht die Aussage , daß das Kartesische Produkt von einer Sammlung von nicht-leeren Sets nicht leer ist . Informell setzen, sagt das Axiom der Wahl gegeben , dass jede Ansammlung von Behältern, die jeweils mindestens ein Objekt, es möglich ist , eine Auswahl an genau ein Objekt von jedem Fach zu machen, auch wenn die Sammlung ist unendlich . Formal heißt es , dass für jede indizierte Familie von nicht leeren setzt es eine indizierte Familie besteht aus Elementen , so dass für jeden . Das Auswahlaxiom wurde 1904 von formuliertem Ernst Zermelo , um seinen Beweis des zu formalisieren Wohlordnungssatzes .

In vielen Fällen ist eine solche Auswahl kann ohne Berufung auf das Axiom der Wahl getroffen werden; Dies ist insbesondere der Fall , wenn die Anzahl der Sätze endlich ist, oder wenn eine Auswahlregel vorhanden ist - einige Unterscheidungs Eigenschaft , die für genau ein Element in jedem Satz zu halten passiert. Ein anschauliches Beispiel sind Sätze aus den natürlichen Zahlen ausgewählt. Aus solchen Sätzen kann man stets die kleinste Anzahl auswählen, zB in {{4,5,6}, {10,12}, {1,400,617,8000}} die kleinsten Elementen {4, 10, 1}. In diesem Fall „wählen Sie die kleinste Zahl“ ist eine Entscheidungsfunktion . Auch wenn unendlich viele Sätze aus den natürlichen Zahlen gesammelt wurden, wird es immer möglich sein , das kleinste Element aus jedem Satz zu wählen Sie einen Satz zu erzeugen. Das heißt, die Auswahlfunktion des Satzes von gewählten Elemente. Es wird jedoch keine Entscheidungsfunktion für die Sammlung aller nicht-leeren Teilmengen der reellen Zahlen bekannt (wenn es nicht-konstruierbaren reellen Zahlen ). In diesem Fall muss das Auswahlaxiom aufgerufen werden.

Russell prägte eine Analogie: für jeden (auch unendliche) Sammlung von Paaren von Schuhen kann man den linken Schuh von jedem Paar auszusuchen eine geeignete Auswahl zu erhalten; Dies macht es möglich , eine Auswahl - Funktion direkt zu bestimmen. Für eine unendliche Ansammlung Paar Socken (angenommener keine Unterscheidungsmerkmale haben), gibt es keine offensichtliche Art und Weise eine Funktion zu machen , die eine Socke von jedem Paar wählt, ohne den Grundsatz der Wahl aufruft.

Obwohl ursprünglich umstritten, jetzt das Auswahlaxiom vorbehaltlos von den meisten Mathematiker verwendet wird, und es ist in der Norm Form enthält axiomatischer Mengenlehre , eingestellt Zermelo-Fraenkel - Theorie mit dem Auswahlaxiom ( ZFC ). Ein Grund für diesen Zweck ist , dass eine Reihe von allgemein anerkannten mathematisch Ergebnissen, wie Satz von Tychonoff , erfordert das Axiom der Wahl für ihre Beweise. Moderner Satz Theoretiker auch Axiome studieren , die nicht kompatibel mit dem Axiom der Wahl sind, wie zum Beispiel des Axiom der Bestimmtheit . Das Axiom der Wahl wird in einigen Sorten vermieden konstruktiven Mathematik , obwohl es gibt verschiedene konstruktive Mathematik , in dem das Auswahlaxiom umarmt wird.

Aussage

Eine Auswahlfunktion ist eine Funktion f , definiert auf einer Sammlung X von nicht leere Sätze, so daß für jeden Satz A in X , f ( A ) ist ein Element von A . Mit diesem Konzept kann das Axiom festgestellt werden:

Axiom  -  Für jede Menge X von nicht leeren Sets, gibt es eine Auswahlfunktion f auf definierten X .

dies kann formal wie folgt ausgedrückt werden:

So heißt es in der Negation des Axiom der Wahl, dass es eine Sammlung von nicht leeren Sätzen besteht, die keine andere Wahl Funktion hat.

Jede Auswahl - Funktion auf einer Sammlung X von nicht leeren Sets ist ein Element des Kartesischen Produkts der Sets in X . Dies ist nicht die allgemeine Situation eines Kartesischen Produkt einer Familie von Sätzen, in denen ein bestimmter Satz mehr als einmal als Faktor auftreten können; Jedoch kann man sich auf Elemente eines solchen Produkts konzentrieren , die das gleiche Element jedes Mal ein gegebener Satz erscheint als Faktor auszuwählen, und solchen Elementen entsprechen einem Element des Kartesischen Produkt aller unterschiedlichen Sätze in der Familie. Das Axiom der Wahl behauptet die Existenz solcher Elemente; es ist daher äquivalent zu:

In Anbetracht jede Familie von nicht-leeren Sets, ihr Kartesisches Produkt ist eine nichtleere Menge.

Nomenklatur ZF, AC und ZFC

In diesem Artikel und andere Diskussionen des Auswahlaxiom die folgenden Abkürzungen sind üblich:

  • AC - das Auswahlaxiom.
  • ZF - Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre das Auswahlaxiom verzichtet wird .
  • ZFC - Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, erweiterte das Auswahlaxiom aufzunehmen.

Varianten

Es gibt viele andere gleichwertige Aussagen des Axiom der Wahl. Diese sind äquivalent in dem Sinne, dass, in Gegenwart von anderen grundlegenden Axiome der Mengenlehre, sie das Auswahlaxiom implizieren und von ihr angedeutet.

Eine Variante vermeidet die Verwendung von Auswahlfunktionen durch, in der Tat, jede Wahl Funktion mit seinem Angebote zu ersetzen.

Gegeben beliebige Menge X von paarweise disjunkten Sätzen nicht leer ist , gibt es wenigstens einen Satz C , die gemeinsam mit jedem der Sätze in genau ein Element enthält X .

Dies gewährleistet für jede Partition eines Satzes X die Existenz von einer Teilmenge C von X enthält genau ein Element von jedem Teil der Trennwand.

Ein weiteres äquivalentes Axiom betrachtet nur Kollektionen X , das im Wesentlichen Kräfteset anderer Sätze sind:

Für jeden Satz A, der Antriebssatz hat von A (mit der leeren Menge entfernt) , um eine Auswahl - Funktion.

Autoren , die diese Formulierung verwenden oft sprechen von der Wahl Funktion auf A , aber darauf hingewiesen, dass dies eine etwas andere Vorstellung von Wahl - Funktion ist. Seine Domäne ist die Powerset von A (mit dem leeren Satz entfernt wird ), und so sinnvoll , für jede Menge A , während bei der Definition an anderer Stelle in diesem Artikel, die Domäne von einer Auswahl - Funktion auf einer verwendete Sammlung von Sätzen ist , dass Sammlung und so macht nur Sinn für Sets von Sätzen. Mit diesem alternativen Konzept der Wahl - Funktion kann das Auswahlaxiom kompakter als gestellt werden ,

Jeder Satz hat eine Auswahl-Funktion.

das entspricht

Für jede Menge A gibt es eine Funktion f , so daß für jede nicht leere Untergruppe B von A , f ( B ) in liegt B .

Die Negation des Axiom kann daher ausgedrückt werden als:

Es ist ein Satz A , so daß für alle Funktionen f (auf der Menge der nicht-leerer Teilmengen von A ), dort ist ein B derart , dass f ( B ) liegt nicht in B .

Die Beschränkung auf endliche Mengen

Die Angabe des Auswahlaxioms nicht angibt , ob die Sammlung von nicht leeren Sets endlich oder unendlich ist, und damit impliziert , dass jede endliche Menge von nicht leeren Sätzen eine Auswahl Funktion hat. Jedoch dieser spezielle Fall ist ein Satz von der Zermelo-Fraenkel eingestellte Theorie ohne das Axiom der Wahl (ZF); es ist leicht mit dem bewährt mathematischer Induktion . In dem noch einfacheren Fall einer Sammlung von einer Reihe, eine Auswahl Funktion entspricht nur ein Element, so dass diese Instanz des Auswahlaxioms besagt , dass jeder nicht leeren Satz ein Element aufweist; dies gilt trivialerweise. Das Auswahlaxiom kann behaupten die Verallgemeinerung dieses Objekt zu sehen ist , bereits offensichtlich für endliche Sammlungen, zu willkürlich Sammlungen.

Verwendungszweck

Bis zum Ende des 19. Jahrhunderts wurde das Auswahlaxiom verwendet oft implizit, obwohl es noch nicht hatte offiziell festgestellt worden. Zum Beispiel etabliert , nachdem dass der Satz X einzige Nicht-leer - Sets enthält, könnte ein Mathematiker sagten „let F (s) eines der Mitglieder aus Be s für alle s in X “ . Im Allgemeinen ist es unmöglich , zu beweisen , dass F ohne Auswahlaxiom existiert, aber dies scheint bis unbemerkt vergangen Zermelo .

Nicht erfordert jede Situation das Axiom der Wahl. Für endliche Mengen X , folgt der Grundsatz der Wahl von den anderen Axiomen der Mengenlehre. In diesem Fall ist es äquivalent zu der Aussage , dass , wenn wir mehr (eine endliche Anzahl von) Boxen haben, die jeweils mindestens ein Element, dann können wir genau ein Element aus jeder Box auszuwählen. Offensichtlich wir dies tun können: Wir haben in der ersten Box starten, wählen Sie ein Element; gehen auf das zweite Feld, wählen Sie ein Element; und so weiter. Die Anzahl der Boxen ist endlich, so schließlich unsere Wahl Verfahren zu einem Ende kommt. Wir gewählt haben, das zweite Feld des zweiten Elements wir gewählt haben, und so auf eine Funktion , die das erste Feld auf das erste Element nimmt: Das Ergebnis ist eine explizite Auswahl - Funktion. (Ein formaler Beweis für alle endlichen Mengen würde das Prinzip der Verwendung mathematischer Induktion zu beweisen „für jede natürliche Zahl k , jede Familie von k nicht leeren Sets eine Auswahl Funktion hat.“) Diese Methode kann jedoch nicht, dass jeder zählbar zeigen verwendet werden Familie von nicht leeren Sets hat eine Auswahlfunktion, wie sie in der bestätigt wird Axiom der zählbaren Wahl . Falls das Verfahren auf eine unendliche Abfolge angelegt wird ( X i  : i ∈ω) von nicht leeren Sätzen wird eine Funktion an jeder finiten Stufe erhalten, aber es gibt keine Stufe , in der eine Auswahlfunktion für die ganze Familie aufgebaut ist, und keine " Begrenzen kann“Wahl - Funktion im allgemeinen so aufgebaut sein, in ZF ohne das Axiom der Wahl.

Beispiele

Die Art der einzelnen nicht leeren Sätze in der Sammlung kann es möglich machen , das Axiom der Wahl auch für bestimmte unendliche Kollektionen zu vermeiden. Angenommen, dass jedes Mitglied der Sammlung X eine nicht - leere Teilmenge der natürlichen Zahlen ist. Jedes dieser Untergruppe hat ein kleinstes Element, so dass unsere Wahl Funktion festlegen können wir einfach sagen , dass es jede Satz - Pläne auf das kleinste Element dieses Satzes. Dies gibt uns eine eindeutige Wahl eines Elementes aus jedem Satz, und macht es unnötig , das Auswahlaxiom anzuwenden.

Die Schwierigkeit erscheint , wenn es keine natürliche Wahl der Elemente von jedem Satz ist. Wenn wir nicht explizit Entscheidungen treffen können, wie können wir wissen , dass unser Set vorhanden ist ? Angenommen, dass X die Menge aller nichtleeren Teilmengen der ist reellen Zahlen . Zunächst könnten versuchen wir fortfahren , als ob X endliche seien. Wenn wir versuchen , ein Element aus jedem Satz zu wählen, dann, weil X unendlich ist, werden unsere Wahl Verfahren nie zu einem Ende kommen, und folglich werden wir nie eine Wahl - Funktion für alle zu produzieren in der Lage X . Als nächstes könnten wir versuchen , aus jedem Satz das kleinste Element angibt. Aber einige Teilmengen der reellen Zahlen haben nicht zuletzt Elemente. Zum Beispiel kann das offene Intervall ist (0,1) kein kleinstes Element hat: if x in (0,1) ist, so ist x / 2 und x / 2 ist stets streng kleiner ist als x . Also dieser Versuch fehl auch.

Außerdem sollen Sie den Einheitskreis zum Beispiel S , und die Wirkung auf S durch eine Gruppe G , bestehend aus allen rational Umdrehungen. Und zwar sind diese Drehungen um Winkel , die rationale Vielfache von sind  π . Hier G ist abzählbar , während S unzählbar ist. Daher S bricht in unzählbar viele Bahnen unter bis  G . Mit Hilfe der Grundsatz der Wahl, könnten wir einen Punkt aus jeder Bahn - Pick, eine unzählbare Teilmenge Erhalten X von S mit der Eigenschaft , dass alle seine übersetzt von G aus disjunkt sind  X . Die Menge die übersetzt Partitionen den Kreis in eine zählbare Sammlung disjunkter Mengen, die alle paarweise deckungsgleich sind. Da X nicht meßbar für jedes rotationsinvariante countably additives endliches Maß an ist S , einen Algorithmus zu finden , einen Punkt in jeder Umlaufbahn wählen erfordert den Grundsatz der Wahl. Siehe nicht-meßbaren Menge für weitere Details.

Der Grund , dass wir in der Lage , am wenigsten Elemente von Teilmengen der natürlichen Zahlen zu wählen , ist die Tatsache , dass die natürlichen Zahlen sind gut geordnet : jede nicht - leere Teilmenge der natürlichen Zahlen hat ein einzigartiges kleinstes Element unter der natürlichen Ordnung. Man könnte sagen : „Auch wenn die übliche Reihenfolge der reellen Zahlen nicht funktioniert, kann es möglich sein , eine andere Reihenfolge der reellen Zahlen zu finden , die eine Wohlordnung ist. Dann ist unsere Wahl - Funktion kann das kleinste Element jeden Satz entscheiden unter unseren ungewöhnlich zu sehen.“ Das Problem wird dann , dass eine gut Bestellungen für den Bau, die für ihre Existenz des Auswahlaxiom zu verlangen , stellt sich heraus; jeder Satz kann wohl geordnete , wenn und nur wenn das Auswahlaxiom hält.

Kritik und Akzeptanz

Ein Beweis das Auswahlaxiom erfordern kann , ohne explizit die Existenz eines Objekts herstellen zu definieren , um das Objekt in der Sprache der Mengenlehre. Zum Beispiel, während das Auswahlaxiom impliziert , dass es eine Wohlordnung der reellen Zahlen, gibt es Modelle der Mengenlehre mit Auswahlaxiom , in denen keine Wohlordnung der reellen Zahlen definierbar ist. Ähnlich, wenn auch eine Teilmenge der reellen Zahlen, der nicht messbar Lebesgue nachweislich das Auswahlaxiom existieren, ist es konsequent , dass kein solcher Satz ist definierbar.

Das Axiom der Wahl beweist die Existenz dieser immateriellen Werte (Objekte , die vorhanden sind , zu beweisen, aber die so konstruiert werden kann , nicht explizit), die mit einigen philosophischen Prinzipien in Konflikt stehen könnte. Da es keine kanonische Wohlordnung aller Mengen, eine Konstruktion, die auf einer Wohlordnung beruht möglicherweise kein kanonisches Ergebnis erzeugen, selbst wenn ein kanonisches Ergebnis gewünscht wird (wie es oft der Fall in der Kategorie Theorie ). Dies wurde als Argument gegen die Verwendung des Auswahlaxiom eingesetzt.

Ein weiteres Argument gegen das Axiom der Wahl ist , dass es die Existenz von Gegenständen impliziert , die eingängig scheinen mögen. Ein Beispiel hierfür ist das Banachschen-Tarski Paradoxon , das besagt , dass es möglich ist , den 3-dimensional feste Einheit Ball in endlich viele Stücke zu zersetzen und nur Drehungen und Translationen Verwendung wieder zusammenzusetzen , die Stücke in zwei feste Kugeln mit jeweils dem gleichen Volumen wie die ursprünglichen . Die Stücke in dieser Zerlegung, indem das Axiom der Wahl ausgebildet ist , sind nicht-meßbaren Mengen .

Trotz dieser scheinbar paradoxen Tatsachen akzeptieren die meisten Mathematiker das Axiom der Wahl als gültiges Prinzip für neue Ergebnisse in Mathematik beweisen. Die Debatte ist interessant genug, aber, dass es bemerken berücksichtigt wird , wenn ein Satz in ZFC (ZF zzgl AC) ist logisch äquivalent (nur mit den ZF Axiomen) auf das Axiom der Wahl, und Mathematiker sucht Ergebnisse , die das Axiom erfordern von Wahl falsch zu sein, obwohl diese Art des Abzugs ist weniger verbreitet als die Art , die das Auswahlaxiom braucht um wahr zu sein.

Es ist möglich , viele Theoreme zu beweisen , weder das Auswahlaxiom mit noch ihre Negation; solche Aussagen werden in jedem wahr sein Modell von ZF, unabhängig von der Wahrheit oder Falschheit des Auswahlaxioms in diesem speziellen Modell. Die Beschränkung auf ZF rendert jeglichen Anspruch, der auf entweder das Axiom der Wahl oder ihre Negation unprovable beruht. Zum Beispiel ist das Banach-Tarski Paradoxon weder beweisbar noch widerlegbar von ZF allein: es ist unmöglich , die erforderliche Abbau der Einheit Ball in ZF zu konstruieren, sondern auch unmöglich zu beweisen , gibt es keine solche Zerlegung. Ebenso sind alle unterhalb denen erfordern aufgeführten Aussagen Wahl oder eine schwächere Version davon für ihren Beweis sind unbeweisbar in ZF, aber da jeder beweisbar in ZF plus das Axiom der Wahl gibt es Modelle von ZF , in dem jede Aussage wahr ist. Aussagen wie das Banach-Tarski Paradoxon können als bedingte Anweisungen, beispielsweise umformuliert werden : „Wenn AC hält, dann existiert der Abbau in dem Banach-Tarski Paradoxon.“ Eine solche bedingte Aussagen sind beweisbar in ZF , wenn die ursprünglichen Aussagen beweisbar von ZF und dem Axiom der Wahl sind.

In konstruktiver Mathematik

Wie oben besprochen, in ZFC, ist das Auswahlaxiom der Lage „zu schaffen , relativ schlechte Beweise die Existenz eines Objekts“ , in dem nachgewiesen wird , obwohl kein explizites Beispiel aufgebaut ist. ZFC ist jedoch nach wie vor in der klassischen Logik formalisiert. Das Axiom der Wahl hat sich auch im Rahmen der konstruktiven Mathematik gründlich untersucht worden, wo nicht-klassische Logik verwendet wird. Der Zustand des Auswahlaxiom variieren zwischen verschiedenen Sorten der konstruktiven Mathematik.

In Martin-Löf Art Theorie und höhere Ordnung Heyting Arithmetik , ist die entsprechende Erklärung des Auswahlaxioms (je nach Ansatz) als Axiom oder beweisbar als Satz enthielt. Errett Bischof machte geltend , dass das Auswahlaxiom konstruktiv akzeptabel war, zu sagen

Eine Auswahl Funktion existiert in konstruktiver Mathematik, weil eine Wahl durch den Sinn der Existenz impliziert.

In konstruktiver Mengenlehre jedoch Diaconescu Theorem zeigt , dass das Axiom der Wahl den implizierten Satz vom ausgeschlossenen Dritten ( im Gegensatz zu Martin-Löf Typentheorie, wo dies nicht den Fall). Daher das Axiom der Wahl ist nicht allgemein verfügbar in konstruktiver Mengenlehre. Eine Ursache für diesen Unterschied ist , dass das Auswahlaxiom in Art Theorie nicht über die Extensionalität Eigenschaften , die das Auswahlaxiom in konstruktiver Mengenlehre tut.

Einige Ergebnisse in konstruktiver Mengenlehre nutzen das Axiom der zählbaren Wahl oder das Axioms der abhängigen Wahl , die das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten nicht in konstruktiver Mengenlehre implizieren. Auch wenn das Axiom von zählbarer Wahl besonders häufig in konstruktiver Mathematik verwendet wird, hat sein Einsatz auch in Frage gestellt worden.

Unabhängigkeit

1938 Kurt Gödel zeigte , daß die Negation des Axiom der Wahl durch Konstruieren eines kein Satz von ZF ist inneren Modells (das konstruierbar Universum ) , die ZFC somit erfüllt , und die zeigen , dass ZFC konsistent ist , wenn sich ZF konsistent ist. Im Jahre 1963 Paul Cohen eingesetzt , um die Technik der zwingen , zu diesem Zweck entwickelt, um zu zeigen , dass: unter der Annahme ZF konsistent ist, sich das Auswahlaxiom ist kein Satz von ZF durch eine viel komplexere Modell konstruieren , die ZF¬C erfüllt (ZF mit der Negation von AC hinzugefügt als Axiom) und damit zeigen , dass ZF¬C konsistent ist. Gemeinsam etablieren diese Ergebnisse , dass das Axiom der Wahl ist logisch unabhängig von ZF. Die Annahme , dass ZF stabil ist , ist harmlos , da das Hinzufügen eines weiteren Axiom zu einem bereits inkonsistent System nicht die Situation noch schlimmer machen kann. Wegen der Unabhängigkeit, ob die Entscheidung , das Axiom der Wahl (oder ihre Negation) in einem Nachweis nicht durch Berufung auf andere Axiome der Mengenlehre gemacht werden. Die Entscheidung muss aus anderen Gründen erfolgen.

Ein Argument für das Axiom der Wahl ist , dass es bequem ist , es zu benutzen , weil es ein ermöglicht einige verein Sätze zu beweisen , die sonst nicht nachgewiesen werden können. Viele Sätze , die belegbar sind Wahl verwenden , sind aus einem eleganten allgemeinen Charakter: jedes ideal in einem Ring in einer enthalten ist maximal ideal , jeder Vektorraum hat eine Basis , und jedes Produkt von kompakten Räumen ist kompakt. Ohne das Auswahlaxiom, können diese Sätze nicht für mathematische Objekte von großer Mächtigkeit halten.

Der Beweis für die Unabhängigkeit Ergebnis zeigt auch , dass eine große Klasse mathematischer Aussagen, einschließlich aller Aussagen , die in der Sprache beschrieben werden kann , Peano Arithmetik , in ZF beweisbar sind , wenn und nur wenn sie in ZFC beweisbar sind. In dieser Klasse Aussagen umfassen die Aussage , dass P = NP , die Riemannsche Vermutung , und viele andere ungelöste mathematische Probleme. Wenn man versucht , Probleme in dieser Klasse zu lösen, ist es unerheblich , ob ZF oder ZFC eingesetzt wird , wenn die einzige Frage , die Existenz eines Beweises ist. Es ist jedoch möglich, dass ein kürzerer Beweis eines Satzes von ZFC ist als von ZF.

Das Axiom der Wahl ist nicht die einzige wichtige Aussage , die unabhängig von ZF ist. Zum Beispiel ist die verallgemeinerte Kontinuumshypothese ist (GCH) nicht nur unabhängig von ZF, sondern auch unabhängig von ZFC. Allerdings ZF zzgl GCH impliziert AC, so dass GCH streng größeren Anspruch als AC, obwohl sie beide unabhängig von ZF sind.

stärkere Axiome

Die Konstruierbarkeitsaxiom und die verallgemeinerte Kontinuumshypothese jeweils das Auswahlaxiom bedeutet und ist so streng stärker , als es. In der Klasse Theorien wie von Neumann-Bernays-Gödel Mengenlehre und Morse-Kelley settheorie , dort ein Axiom der angerufene ist Axiom der globalen Wahl , die für Sätze stärker als das Axiom der Wahl ist , weil es gilt auch für die richtige Klassen. Das Axiom der globalen Wahl ergibt sich aus dem Grundsatz der Begrenzung der Größe .

Äquivalente

Es gibt wichtige Aussagen , dass die Axiome der Annahme ZF Aber weder AC noch ¬AC, sind die Auswahlaxiom äquivalent. Die wichtigsten unter ihnen sind Zorns Lemma und das Wohlordnungssatz . In der Tat führten Zermelos zunächst das Auswahlaxiom , um seinen Beweis des Wohlordnungssatzes zu formalisieren.

Kategorie Theorie

Es gibt mehrere Ergebnisse in der Kategorientheorie , die das Axiom der Wahl für ihren Beweis berufen. Diese Ergebnisse könnten schwächer sein als, gleich oder stärker als das Axiom der Wahl, abhängig von der Stärke der technischen Grundlagen. Zum Beispiel, wenn ein Kategorie von Sätzen definiert, das heißt, als Gruppen von Gegenständen und morphisms ( in der Regel ein sogenannten kleiner Bereich oder sogar lokal kleine Kategorien), deren hom-Gegenstände Sets sind, dann gibt es keine Kategorie von allen Sätzen es ist, und so schwer für eine Kategorie theoretische Formulierung für alle Sets anwenden. Auf der anderen Seite sind auch andere grundlegende Beschreibungen der Kategorie Theorie wesentlich stärker, und eine identische Kategorie theoretische Erklärung der Wahl kann als die Standardformulierung stärker sein, à la Klassentheorie, wie oben erwähnt.

Beispiele für Kategorie theoretischen Aussagen, die Wahl erforderlich sind:

  • Jede kleine Kategorie hat ein Skelett .
  • Sind zwei kleine Kategorien schwach äquivalent sind, dann sind sie gleichwertige .
  • Jede stetige Funktors auf einer kleine komplette Kategorie , die die passende Lösung Einstellungsbedingung erfüllt hat einen linken adjoint (das Freyd Adjunktion Theorem).

schwächere Formen

Es gibt einige schwächere Aussagen , die nicht entsprechend dem Axiom der Wahl sind, aber eng miteinander verbunden sind . Ein Beispiel ist das Axiom der abhängigen Wahl (DC). Ein noch schwächeres Beispiel hierfür ist das Axiom der zählbaren Auswahl (AC ω oder CC), die besagt , dass eine Auswahlfunktion für jeden Satz von zählbarem nicht leeren Sets vorliegt. Diese Axiome sind ausreichend , um für viele Beweise in elementarer mathematischer Analyse , und stehen im Einklang mit einigen Prinzipien, wie zum Beispiel der Lebesgue Messbarkeit aller Mengen von reellen Zahlen, die von dem Vollauswahlaxiom widerlegbar sind.

Andere Wahl Axiome schwächer als Axiom der Wahl , um das umfassen Boolescher Primidealsatz und das Axiom der Vergleichmäßigung . Das erstere ist in äquivalenten ZF auf die Existenz eines Ultrafilters jeden gegebenen Filter enthält, im Jahre 1930 von Tarski bewährt.

Ergebnisse erfordern AC (oder schwächere Formen), aber schwächer als

Einer der interessantesten Aspekte des Axiom der Wahl ist die große Zahl der Plätze in der Mathematik, die es zeigt sich. Hier sind einige Aussagen, die das Auswahlaxiom in dem Sinne voraus, dass sie nicht beweisbar von ZF sind aber beweisbar sind von ZFC (ZF zzgl AC). Dasselbe ist, sind diese Aussagen in allen Modellen von ZFC wahr, aber falsch in einigen Modellen von ZF.

Möglicherweise gleichwertige Auswirkungen von AC

Es gibt einige historisch bedeutsame mengentheoretischen Aussagen implizierten AC deren Gleichwertigkeit AC ist offen. Das Trennprinzip, das formuliert wurde vor AC selbst, durch Zermelo als Rechtfertigung für die Annahme AC zitiert wurde. Im Jahr 1906 erklärte Russell PP entsprechend zu sein, sondern darum , ob die Partitions Grundsatz impliziert AC ist immer noch die ältesten offenen Probleme in der Mengenlehre und die Äquivalente der anderen Aussagen sind ähnlich schwer alt offene Probleme. In jedem bekannten Modell von ZF , wo Wahl ausfällt, versagen diese Aussagen auch, aber es ist nicht bekannt , ob sie ohne Wahl halten können.

  • Mengenlehre
    • Partitions Prinzip: Wenn es eine Surjektion von A bis B ist, gibt es eine Einspritzung von B nach A. Gleichwertig ist jede Partition P einen Satz S von weniger als oder gleich S in der Größe.
    • Converse Schröder-Bernstein - Theorem : Wenn zwei Sätze Surjektionen zueinander haben, sie gleichmächtig sind.
    • Schwache Teilungsprinzip: Eine Partition eines Satz S nicht streng sein kann, größer als S. Wenn WPP hält, dies impliziert bereits die Existenz einer nicht-meßbare Menge. Jedes der drei vorangegangenen Aussagen wird durch die vorhergehenden impliziert, aber es ist nicht bekannt, ob eine dieser Auswirkungen rückgängig gemacht werden kann.
    • Es gibt keine unendliche Folge von Kardinälen abnimmt. Die Gleichwertigkeit wurde von Schoen 1905 gemutmaßt.
  • abstrakte Algebra
    • Hahn Einbettungs Theorem : Jede geordnete abelschen Gruppe g Bestell-bettet Subgruppe der additiven Gruppe r Ω mit einer lexikographischen Reihenfolge dotiert, wobei Ω die Menge der archimedischen Äquivalenzklassen von Ω ist. Diese Äquivalenz wurde von Hahn im Jahr 1907 vermutet.

Stärkere Formen der Negation von AC

Jetzt, sollten stärkere Formen der Negation des AC. Zum Beispiel, wenn wir die Behauptung von BP abkürzen , dass jeder Satz von reellen Zahlen , die hat Eigenschaft von Baire , dann ist BP stärker als ¬AC, die die Nicht - Existenz einer Wahl - Funktion vielleicht nur ein einzigen Satz von nicht leeren Sätzen behauptet. Beachten Sie, dass Negationen gestärkt kann mit einem geschwächten Formen von AC kompatibel sein. Zum Beispiel ZF + DC + BP ist konsistent, wenn ZF ist.

Es ist auch im Einklang mit ZF + DC , dass jeder Satz von reellen Zahlen ist Lebesgue meßbar ; jedoch diese Konsistenz Ergebnis aufgrund Robert M. Solovay , kann nicht in ZFC bewiesen werden selbst, sondern erfordert eine milde große Kardinal Annahme (die Existenz eines unzugänglichen Kardinal ). Die wesentlich stärkere Axiom der Bestimmtheit , oder AD, impliziert , dass jeder Satz von reellen Zahlen ist Lebesgue messbaren, hat die Eigenschaft , Baire und hat die perfekte Set - Eigenschaft (alle drei dieser Ergebnisse von AC entkräftet werden selbst). ZF + DC + AD konsistent ist vorgesehen , dass ein ausreichend starkes großer Kardinal Axiom ist konsistent (die Existenz unendlich viele Woodin Kardinäle ).

Quine System der axiomatischen Mengenlehre, „New Foundations“ (NE), hat seinen Namen aus dem Titel ( „New Foundations for Mathematical Logic“) des 1937 Artikel, die sie eingeleitet. In dem NE-axiomatischen System kann das Auswahlaxiom widerlegt werden.

Aussagen im Einklang mit der Negation von AC

Es gibt Modelle von Zermelo-Fraenkel Mengenlehre, in dem das Auswahlaxiom falsch ist. Wir werden „Zermelo-Fraenkel Mengenlehre und die Negation der Auswahlaxiom“ von ZF¬C abzukürzen. Für bestimmte Modelle von ZF¬C, ist es möglich, die Negation einiger Standard Tatsachen zu beweisen. Beachten Sie, dass jedes Modell von ZF¬C ist auch ein Modell von ZF, so dass für jede der folgenden Aussagen, existiert ein Modell von ZF, in dem diese Aussage wahr ist. Für jede der folgenden Aussagen, dass eine Modell ZF¬C wo es gilt:

  • In gewissem Modell gibt es eine Menge , die in streng mehr Äquivalenzklassen aufgeteilt werden können , als der ursprüngliche Satz Elemente aufweisen, und eine Funktion , deren Domain ist streng kleiner als sein Sortiment. In der Tat ist dies der Fall in allen bekannten Modellen.
  • Es gibt eine Funktion f von den reellen Zahlen auf die realen Zahlen , so daß f bei nicht kontinuierlich ist eine , aber f ist sequentiell kontinuierliche bei a , dh für jede Folge { x n } konvergierenden zu a , lim n f ( x n ) = f (a).
  • In einigem Modell gibt es eine unendliche Menge von reellen Zahlen ohne abzählbar unendliche Teilmenge.
  • In einigen Modellen sind die realen Zahlen eine zählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen.
  • In einigem Modell gibt es ein Feld ohne algebraischen Abschluss.
  • In allen Modellen von ZF¬C dort ist ein Vektorraum ohne Grundlage.
  • In einigem Modell, in dem es ein Vektorraum mit zwei Basen unterschiedlicher Mächtigkeit.
  • In einigen Modell gibt es einen kostenlosen kompletten Boolesche Algebra auf abzählbar viele Generatoren.
  • In gewissem Modell ist ein Satz, der nicht linear bestellt werden kann .

Für Proofs, siehe Jech (2008) .

Axiom der Wahl in Art Theorie

In Art Theorie wird eine andere Art von Aussage als Axiom der Wahl bekannt. Diese Form beginnt mit zwei Typen, σ und τ, und eine Beziehung R zwischen Gegenständen vom Typ σ und Objekten vom Typ τ. Das Axiom der Wahl besagt , daß , wenn für jeden x vom Typ σ einen existiert y vom Typ τ , so dass R ( x , y ) ist , dann gibt es eine Funktion f von Objekten vom Typ σ auf Objekte vom Typ τ , so dass R ( x , f ( x )) für alle x von Typ σ:

Anders als in der Mengenlehre wird der Grundsatz der Wahl in der Art der Theorie typischerweise als angegeben Axiom Schema , in dem R über alle Formeln ändert oder über alle Formeln einer bestimmten logischen Form.

Zitate

Das Auswahlaxiom ist natürlich wahr, die gut Bestellung Prinzip offensichtlich falsch, und wer kann über sagen Zorn Lemma ?

Das ist ein Witz: Auch wenn die drei alle mathematisch äquivalente sind, viele Mathematiker das Auswahlaxiom finden sein intuitives, auf das Wohlordnungsprinzip nicht eingängig zu sein und Zorn Lemma für jede Intuition zu komplex sein.

Das Auswahlaxiom ist notwendig, einen Satz aus einer unendlichen Anzahl von Paaren von Socken zu wählen, aber nicht eine unendliche Anzahl von Paaren Schuhe.

Die Beobachtung hier ist, dass man eine Funktion definieren, kann aus einer unendlichen Anzahl von Paar Schuhen zum Beispiel durch die Angabe zu wählen, einen linken Schuh zu wählen. Ohne das Auswahlaxiom, kann man nicht behaupten, dass eine solche Funktion für Paare Socken vorhanden ist, weil linken und rechten Socken sind (vermutlich) nicht zu unterscheiden.

Tarski versuchte , seinen Satz [die Äquivalenz zwischen AC und „jede unendliche Menge zu veröffentlichen A hat die gleiche Mächtigkeit wie A  ×  A “, siehe oben] in Comptes Rendus , aber Fréchet und Lebesgue weigerte sich, es zu präsentieren. Fréchet schreibt , dass eine Implikation zwischen zwei bekannten [true] Vorschläge ist kein neues Ergebnis und Lebesgue schreibt , dass eine Implikation zwischen zwei falschen Sätzen uninteressant ist.

Polnisch-US - amerikanischer Mathematiker Jan Mycielski betrifft diese Anekdote in einem 2006 Artikel in den Bekanntmachungen des AMS.

Das Axiom hat seinen Namen nicht, weil Mathematiker an andere Axiome wünschen.

Dieses Zitat stammt von dem berühmten April Fools' Day Artikel der Computer Erholungen Spalte des Scientific American , April 1989.

Anmerkungen

Verweise

Verfügbar in: Jean van Heijenoort 2002. Ab Frege bis Gödel: A Source Book in der mathematischen Logik, 1879-1931 . Neue Edition. Harvard University Press . ISBN  0-674-32449-8
  • 1904. „Der Nachweis, dass jeder Satz gut bestellt werden kann“, 139-41.
  • 1908. „Untersuchungen in den Grundlagen der Mengenlehre I“, 199-215.

Externe Links