Axiom der Konstruierbarkeit - Axiom of constructibility

Das Axiom der Konstruierbarkeit ist ein mögliches Axiom für die Mengenlehre in der Mathematik, das besagt , dass jede Menge konstruierbar ist . Das Axiom wird normalerweise als V = L geschrieben , wobei V und L das von Neumann-Universum bzw. das konstruierbare Universum bezeichnen. Das Axiom, das zuerst von Kurt Gödel untersucht wurde , steht im Widerspruch zu der Annahme, dass Null scharf und stärkere große Kardinalaxiome existieren (siehe Liste der großen Kardinaleigenschaften ). Verallgemeinerungen dieses Axioms werden in der inneren Modelltheorie untersucht .

Implikationen

Das Axiom der Konstruierbarkeit impliziert das Axiom der Wahl (AC) bei gegebener Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ohne das Axiom der Wahl (ZF). Es regelt auch viele natürliche mathematische Fragen, die unabhängig von der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre sind, mit dem Axiom of Choice (ZFC); Zum Beispiel impliziert das Axiom der Konstruierbarkeit die verallgemeinerte Kontinuumshypothese , die Negation von Suslins Hypothese und die Existenz einer analytischen (tatsächlich ) nicht messbaren Menge von reellen Zahlen , die alle unabhängig von ZFC sind.

Das Axiom der Konstruierbarkeit impliziert die Nichtexistenz dieser großen Kardinäle mit einer Konsistenzstärke größer oder gleich 0 # , zu der einige "relativ kleine" große Kardinäle gehören. Somit kann kein Kardinal ω 1 - Erdős in L sein . Während L die Anfangsordnungszahlen dieser großen Kardinäle enthält (wenn sie in einem Supermodel von L existieren ) und sie immer noch Anfangsordnungszahlen in L sind , schließt es die Hilfsstrukturen (z. B. Maßnahmen ) aus, die diesen Kardinälen ihre großen Kardinaleigenschaften verleihen.

Obwohl das Axiom der Konstruierbarkeit viele satztheoretische Fragen löst, wird es normalerweise nicht wie die ZFC-Axiome als Axiom für die Mengenlehre akzeptiert. Unter den Mengen-Theoretikern einer realistischen Neigung, die glauben, dass das Axiom der Konstruierbarkeit entweder wahr oder falsch ist, glauben die meisten, dass es falsch ist. Dies liegt zum Teil daran, dass es unnötig "restriktiv" erscheint, da es nur bestimmte Teilmengen einer bestimmten Menge zulässt, ohne dass ein klarer Grund zu der Annahme besteht, dass dies alles sind. Zum Teil liegt es daran, dass dem Axiom ausreichend starke große Kardinalaxiome widersprechen . Diese Sichtweise ist besonders mit der Kabale oder der "kalifornischen Schule" verbunden, wie es Saharon Shelah gerne hätte.

Bedeutung

Die Hauptbedeutung des Axioms der Konstruierbarkeit liegt in Kurt Gödels Beweis der relativen Konsistenz des Axioms der Wahl und der verallgemeinerten Kontinuumshypothese zur Von Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre . (Der Beweis überträgt sich auf die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre , die in den letzten Jahren immer weiter verbreitet wurde.)

Gödel hat nämlich bewiesen, dass dies relativ konsistent ist (dh wenn sich ein Widerspruch herausstellen kann , kann dies auch ), und das in

Dadurch wird festgestellt, dass AC und GCH ebenfalls relativ konsistent sind.

Gödels Beweis wurde in späteren Jahren durch Paul Cohens Ergebnis ergänzt, dass sowohl AC als auch GCH unabhängig sind , dh dass die Negationen dieser Axiome ( und ) auch relativ konsistent mit der ZF-Mengenlehre sind.

Aussagen wahr in L.

Hier ist eine Liste von Sätzen, die im konstruierbaren Universum gelten (bezeichnet mit L ):

Wenn man das Axiom der Konstruierbarkeit akzeptiert (das besagt, dass jede Menge konstruierbar ist ), gelten diese Sätze auch im von Neumann-Universum und lösen viele Sätze in der Mengenlehre und einige interessante Fragen in der Analyse.

Verweise

  • Devlin, Keith (1984). Konstruierbarkeit . Springer-Verlag . ISBN 3-540-13258-9.

Externe Links