Axiom der abhängigen Wahl - Axiom of dependent choice

In der Mathematik ist das Axiom der abhängigen Wahl , bezeichnet mit , eine schwache Form des Wahlaxioms ( ), die immer noch ausreicht, um den größten Teil der realen Analyse zu entwickeln . Es wurde von Paul Bernays in einem Artikel aus dem Jahr 1942 eingeführt, der untersucht, welche mengentheoretischen Axiome zur Entwicklung der Analyse erforderlich sind. ${\mathsf {DC}}$ ${\mathsf {AC}}$

Formale Aussage

Eine homogene binäre Relation on heißt ganz, wenn für jede eine solche existiert , die wahr ist. $R$ $X$ $a\in X,$ $b\in X$ $a\,R~b$

Das Axiom der abhängigen Wahl kann wie folgt angegeben werden: Für jeden nicht leeren Satz und jede gesamte binäre Relation auf existiert eine Sequenz in so dass $X$ $R$ $X,$ ${\displaystyle(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}}$ $X$

x_{n}\,R~x_{n+1}

für alle

n\in\mathbb{N}.

Wenn die obige Menge auf die Menge aller reellen Zahlen beschränkt ist , dann wird das resultierende Axiom bezeichnet mit $X$ ${\mathsf{DC}}_{\mathbb{R}}.$

Benutzen

Auch ohne ein solches Axiom kann man für jede beliebige mathematische Induktion verwenden, um die ersten Terme einer solchen Folge zu bilden. Das Axiom der abhängigen Wahl besagt, dass wir auf diese Weise eine ganze (abzählbar unendliche) Folge bilden können. $n$ $n$

Das Axiom ist das Fragment , das benötigt wird, um die Existenz einer durch transfinite Rekursion von abzählbarer Länge konstruierten Sequenz zu zeigen , wenn es notwendig ist, bei jedem Schritt eine Wahl zu treffen und wenn einige dieser Wahlen nicht unabhängig von vorherigen Entscheidungen getroffen werden können. ${\mathsf {DC}}$ ${\mathsf {AC}}$

Äquivalente Aussagen

Über Zermelo-Fraenkel Mengenlehre , entspricht dem Satz Baireschen Kategorie für eine vollständige metrische Räume. ${\mathsf {ZF}}$ ${\mathsf {DC}}$

Es ist auch äquivalent zum Löwenheim-Skolem-Theorem . ${\mathsf {ZF}}$

${\mathsf {DC}}$ ist auch gleichbedeutend mit der Aussage, dass jeder beschnittene Baum mit Ebenen einen Zweig hat ( Beweis unten ). ${\mathsf {ZF}}$ $\omega$

Außerdem ist äquivalent zu einer abgeschwächten Form von Zorns Lemma ; speziell ist äquivalent zu der Aussage, dass jede partielle Ordnung, so dass jede wohlgeordnete Kette endlich und beschränkt ist, ein maximales Element haben muss. ${\mathsf {DC}}$ ${\mathsf {DC}}$

Beweis, dass jeder beschnittene Baum mit ω Ebenen einen Ast hat $\,{\mathsf {DC}}\iff$
$(\,\Longleftarrow\,)$ Sei eine ganze binäre Relation auf . Die Strategie ist , einen Baum zu definieren , auf den endlichen Sequenzen , deren benachbarten Elemente erfüllen dann eine Verzweigung durch eine unendliche Folge benachbarte Elemente , die erfüllen beginnt durch die Definition , ob für Da ist gesamte, ein beschnittenen Baum mit ist Ebene. Somit hat So eine Verzweigung , denn alles was Also bedeutet , ist wahr. $R$ $X$ $T$ $X$ $R.$ $T$ $R.$ $\langle x_{0},\dots,x_{n}\rangle\in T$ $x_{k}R\,x_{k+1}$ $0\leq k<n.$ $R$ $T$ $\omega$ $T$ $\langle x_{0},\dots,x_{n},\dots\rangle.$ $n\geq 0\!:$ $\langle x_{0},\dots,x_{n},x_{n+1}\rangle\in T,$ $x_{n}R\,x_{n+1}.$ ${\mathsf {DC}}$ $(\,\Longrightarrow\,)$ Seien Sie ein beschnittener Baum mit Ebenen. Die Strategie ist eine binäre Beziehung zu definieren , auf , so dass erzeugt eine Sequenz in die und ist eine streng monoton wachsende Funktion. Dann ist die unendliche Folge eine Verzweigung. (Dieser Beweis muss dies nur für beweisen ) Beginnen Sie mit der Definition von if ist eine anfängliche Teilsequenz von und Since ist ein beschnittener Baum mit Ebenen, ist ganz. Daher impliziert, dass es eine unendliche Folge gibt, so dass nun für einige Sei das letzte Element von Dann für alle, zu denen die Folge gehört, weil sie eine anfängliche Teilfolge von ist oder ein Daher ist ein Zweig. $T$ $X$ $\omega$ $R$ $T$ ${\mathsf {DC}}$ $t_{n}=\langle x_{0},\dots,x_{f(n)}\rangle$ $t_{n}R\,t_{n+1}$ $f(n)$ $\langle x_{0},\dots,x_{k},\dots\rangle$ $f(n)=m+n.$ $u\,R\,v$ $u$ $v,\operatorname {Länge} (u)>0,\,$ $\operatorname {Länge} (v)=$ $\operatorname {Länge} (u)+1.$ $T$ $\omega$ $R$ ${\mathsf {DC}}$ $t_{n}$ $t_{n}\,R\,t_{n+1}.$ $t_{0}=\langle x_{0},\dots,x_{m}\rangle$ $m\geq 0.$ $x_{m+n}$ $t_{n}.$ $t_{n}=\langle x_{0},\dots,x_{m},\dots,x_{m+n}\rangle.$ $k\geq 0,$ $\langle x_{0},\dots,x_{k}\rangle$ $T$ $t_{0}\,(k\leq m)$ $t_{n}\,(k\geq m).$ $\langle x_{0},\dots,x_{k},\dots\rangle$

Beziehung zu anderen Axiomen

Im Gegensatz zu voll , nicht ausreicht , um zu beweisen , (gegeben ) , dass es eine nicht messbare Menge der reellen Zahlen, oder dass es eine Menge der reellen Zahlen ohne die Eigenschaft von Baire oder ohne perfekte Set - Eigenschaft . Dies folgt, weil das Solovay-Modell erfüllt und jede Menge reeller Zahlen in diesem Modell Lebesgue-messbar ist, die Baire-Eigenschaft hat und die perfekte Mengeneigenschaft hat. ${\mathsf {AC}}$ ${\mathsf {DC}}$ ${\mathsf {ZF}}$ ${\mathsf {ZF}}+{\mathsf {DC}}$

Das Axiom der abhängigen Wahl impliziert das Axiom der abzählbaren Wahl und ist strikt stärker.

Anmerkungen

Verweise

Jech, Thomas (2003). Mengenlehre (Third Millennium ed.). Springer-Verlag . ISBN 3-540-44085-2. OCLC- 174929965 . Zbl 1007.03002 .

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