Axiom der Größenbeschränkung - Axiom of limitation of size

In der Mengenlehre wurde das Axiom der Größenbeschränkung von John von Neumann in seinem 1925 erschienenen Axiomensystem für Mengen und Klassen vorgeschlagen . Es formalisiert das Prinzip der Größenbeschränkung , das die in früheren Formulierungen der Mengenlehre angetroffenen Paradoxien vermeidet , indem es erkennt, dass einige Klassen zu groß sind, um Mengen zu sein. Von Neumann erkannte, dass die Paradoxien dadurch verursacht werden, dass man diesen großen Klassen erlaubt, Mitglieder einer Klasse zu sein. Eine Klasse, die Mitglied einer Klasse ist, ist eine Menge; eine Klasse, die keine Menge ist, ist eine richtige Klasse . Jede Klasse ist eine Unterklasse von V , der Klasse aller Mengen. Das Axiom der Größenbeschränkung besagt, dass eine Klasse genau dann eine Menge ist, wenn sie kleiner als V ist – das heißt, es gibt keine Funktion, die sie auf V abbildet . Normalerweise wird dieses Axiom in der äquivalenten Form angegeben: Eine Klasse ist genau dann eine echte Klasse, wenn es eine Funktion gibt, die sie auf V abbildet .

Das Axiom von Von Neumann impliziert die Axiome des Ersetzens , der Trennung , der Vereinigung und der globalen Wahl . Sie entspricht der Kombination von Ersetzung, Vereinigung und globaler Auswahl in der Von Neumann-Bernays-Gödel-Mengentheorie (NBG) und der Morse-Kelley-Mengentheorie . Spätere Ausführungen von Klassentheorien – wie die von Paul Bernays , Kurt Gödel und John L. Kelley – verwenden anstelle von von Neumanns Axiom Ersetzung, Vereinigung und ein Auswahlaxiom, das der globalen Auswahl entspricht. 1930 definierte Ernst Zermelo Modelle der Mengenlehre, die dem Axiom der Größenbeschränkung genügen.

Abraham Fraenkel und Azriel Lévy haben festgestellt, dass das Axiom der Größenbeschränkung nicht die gesamte „Doktrin der Größenbeschränkung“ erfasst, da es nicht das Axiom der Potenzmenge impliziert . Michael Hallett hat argumentiert, dass die Begrenzung der Größenlehre das Potenzmengen-Axiom nicht rechtfertigt und dass "von Neumanns explizite Annahme [der Kleinheit von Potenzmengen] der von Zermelo, Fraenkel und Lévy undurchsichtig versteckten impliziten Annahme der Kleinheit von Kraftpakete."

Formale Aussage

Die übliche Version des Axioms der Größenbeschränkung – eine Klasse ist genau dann eine echte Klasse, wenn es eine Funktion gibt, die sie auf V abbildet  – wird in der formalen Sprache der Mengenlehre wie folgt ausgedrückt :

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\forall C{\Bigl [}\lnot \exists D\left(C\in D\right)\iff \exists F{\bigl [}&\,\forall y{\ bigl (}\exists D(y\in D)\implies \exists x[\,x\in C\land (x,y)\in F\,]{\bigr)}\\&\,\land\ ,\forall x\forall y\forall z{\bigl(}\,[\,(x,y)\in F\land (x,z)\in F\,]\impliziert y=z{\bigr ) }\,{\bigr]}\,{\bigr]}\end{ausgerichtet}}}$

Gödel führte die Konvention ein, dass sich Großbuchstaben über alle Klassen erstrecken, während Kleinbuchstaben sich über alle Mengen erstrecken. Diese Konvention erlaubt uns zu schreiben:

Mit der Gödelschen Konvention lässt sich das Axiom der Größenbeschränkung schreiben:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\forall C{\Bigl [}\lnot \exists D\left(C\in D\right)\iff \exists F{\bigl [}&\,\forall y\exists x{\bigl (}x\in C\land (x,y)\in F{\bigr)}\\&\,\land\,\forall x\forall y\forall z{\bigl (}\, [\,(x,y)\in F\land (x,z)\in F\,]\impliziert y=z{\bigr)}\,{\bigr]}\,{\bigr]}\end {ausgerichtet}}}$

Implikationen des Axioms

Von Neumann bewies, dass das Axiom der Größenbeschränkung das Ersetzungsaxiom impliziert , das wie folgt ausgedrückt werden kann: Wenn F eine Funktion und A eine Menge ist, dann ist F ( A ) eine Menge. Dies wird durch Widerspruch bewiesen . Sei F eine Funktion und A eine Menge. Nehmen Sie an, dass F ( A ) eine echte Klasse ist. Dann gibt es eine Funktion G , die F ( A ) auf V abbildet . Da die zusammengesetzte Funktion G  ∘  F A auf V abbildet , impliziert das Axiom der Größenbeschränkung, dass A eine echte Klasse ist, was widerspricht, dass A eine Menge ist. Daher ist F ( A ) eine Menge. Da das Ersetzungsaxiom das Trennungsaxiom impliziert, impliziert das Größenbeschränkungsaxiom das Trennungsaxiom .

Von Neumann auch bewiesen , dass sein Axiom bedeutet , dass V werden kann gut bestellt . Der Beweis beginnt damit, dass man durch Widerspruch beweist, dass Ord , die Klasse aller Ordinalzahlen , eine echte Klasse ist. Angenommen, Ord ist eine Menge. Da es sich um eine transitive Menge handelt , die nach ∈ wohlgeordnet ist, ist sie eine Ordinalzahl. Also Ord  ∈ Ord , was dagegen spricht, dass Ord nach ∈  gut geordnet ist. Daher ist Ord eine richtige Klasse. Das Axiom von von Neumann impliziert also, dass es eine Funktion F gibt , die Ord auf V abbildet . Um eine Wohlordnung von V zu definieren , sei G die Unterklasse von F, bestehend aus den geordneten Paaren (α,  x ), wobei α das kleinste β ist, so dass (β,  x ) ∈  F ; das heißt, G  = {(α,  x ) ∈  F  : ∀β ((β,  x ) ∈  F  ⇒ α ≤ β)}. Die Funktion G ist eine Eins-zu-Eins - Entsprechung zwischen einer Untergruppe von Ord und V . Daher definiert x  <  y, wenn G ⁻¹ (x) <  G ⁻¹ (y) eine Wohlordnung von V . Diese Wohlordnung definiert eine globale Auswahlfunktion : Sei Inf  ( x ) das kleinste Element einer nichtleeren Menge x . Da Inf  ( x )  x , wählt diese Funktion ein Element von x für jede nichtleere Menge x . Daher ist Inf  ( x ) eine Global-Choice-Funktion, also impliziert das Von-Neumann-Axiom das Axiom der Global Choice .

1968 bewies Azriel Lévy , dass das Axiom von Neumann das Axiom der Vereinigung impliziert . Zuerst bewies er, ohne das Vereinigungsaxiom zu verwenden, dass jede Menge von Ordinalzahlen eine obere Schranke hat. Dann benutzte er eine Funktion, die Ord auf V abbildet, um zu beweisen, dass A eine Menge ist , wenn A eine Menge  ist.

Die Axiome des Ersetzens, der globalen Auswahl und der Vereinigung (mit den anderen Axiomen von NBG ) implizieren das Axiom der Größenbeschränkung. Daher ist dieses Axiom äquivalent zur Kombination von Ersetzung, globaler Auswahl und Vereinigung in der NBG- oder Morse-Kelley-Mengentheorie . Diese Mengentheorien ersetzten das Axiom der Größenbeschränkung nur durch das Ersetzungsaxiom und eine Form des Auswahlaxioms, weil das von Neumannsche Axiomsystem das Vereinigungsaxiom enthält. Lévys Beweis, dass dieses Axiom überflüssig ist, kam viele Jahre später.

Die Axiome von NBG, bei denen das Axiom der globalen Auswahl durch das übliche Auswahlaxiom ersetzt wird, implizieren nicht das Axiom der Größenbeschränkung. Im Jahr 1964 nutzte William B. Easton Zwang , um ein Modell von NBG zu erstellen, bei dem die globale Wahl durch das Axiom der Wahl ersetzt wurde. In Eastons Modell kann V nicht linear geordnet werden , also kann es nicht gut geordnet werden. Daher versagt das Axiom der Größenbeschränkung in diesem Modell. Ord ist ein Beispiel für eine geeignete Klasse , die auf nicht abgebildet werden kann , V , weil (wie bewiesen , oben) , wenn es eine Funktionszuordnung ist Ord auf V , dann V kann gut geordnet.

Die Axiome von NBG, bei denen das Ersetzungsaxiom durch das schwächere Trennungsaxiom ersetzt wurde, implizieren nicht das Axiom der Größenbeschränkung. Definiere als die -te unendliche anfängliche Ordinalzahl , die auch die Kardinalzahl ist ; Die Nummerierung beginnt bei , also Im Jahr 1939 wies Gödel darauf hin, dass L _{ω ω} , eine Untermenge des konstruierbaren Universums , ein Modell von ZFC ist, bei dem Ersetzung durch Trennung ersetzt wurde. Um es zu einem Modell von NBG mit Ersatz durch Trennung zu erweitern, seien seine Klassen die Mengen von L _{ω ω+1} , die die konstruierbaren Teilmengen von L _{ω ω sind} . Dieses Modell erfüllt NBG Klasse Existenz Axiome , da die eingestellten Variablen dieser Axiome L Beschränkung _{& ohgr; & ohgr;} erzeugt Instanzen des Axiom der Trennung, die in L. Es genügt das Axiom der globalen Wahl hält , weil es eine Funktion zu L gehört , ist _{& ohgr; & ohgr; + 1} , die ω _ω auf L _{ω ω} abbildet , was impliziert, dass L _{ω ω} wohlgeordnet ist. Das Axiom der Größenbeschränkung versagt, weil die eigentliche Klasse {ω _n  :  n  ∈ } Kardinalität hat , also nicht auf L _{ω ω} abgebildet werden kann , die Kardinalität hat . ${\displaystyle \omega_{\alpha}}$${\displaystyle\alpha}$ ${\displaystyle \aleph_{\alpha}}$${\displaystyle \omega _{0}=\omega .}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph_{\omega}}$

In einem Brief von 1923 an Zermelo formulierte von Neumann die erste Version seines Axioms: Eine Klasse ist genau dann eine richtige Klasse, wenn eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen ihr und V besteht . Das Axiom der Größenbeschränkung impliziert von Neumanns Axiom von 1923. Daher impliziert es auch, dass alle echten Klassen mit V gleichzahlig sind .

Zermelos Modelle und das Axiom der Größenbeschränkung

1930 veröffentlichte Zermelo einen Artikel über Modelle der Mengenlehre, in dem er bewies, dass einige seiner Modelle das Axiom der Größenbeschränkung erfüllen. Diese Modelle werden in ZFC unter Verwendung der kumulativen Hierarchie V _{α erstellt} , die durch transfinite Rekursion definiert ist :

1. V ₀  =  ∅ .
2. V _{α + 1}  =  V _α  ∪  P ( V _α ). Das heißt, die Vereinigung von V _α und seiner Potenzmenge .
3. Für Grenzwert β: V _β  = ∪ _{α < β}  V _α . Das heißt, V _β ist die Vereinigung der vorhergehenden V _α .

Zermelo arbeitete mit Modellen der Form V _κ wo κ a Kardinal . Die Klassen des Modells sind die Teilmengen von V _κ , und die ∈-Beziehung des Modells ist die Standard-∈-Beziehung. Die Mengen des Modells sind die Klassen X derart , dass X ∈ V _κ . Zermelo identifizierte Kardinäle κ derart, dass V _κ erfüllt:

Satz 1. Eine Klasse X ist genau dann eine Menge, wenn | X | < .

Satz 2. | V _κ | = .

Da jede Klasse eine Untergruppe ist , V _κ impliziert 2 Theorem , dass jede Klasse X hat Kardinalität  ≤ κ. Die Kombination mit Satz 1 beweist: Jede echte Klasse hat Kardinalität κ. Daher kann jede echte Klasse in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung mit V _{κ gebracht werden} . Diese Korrespondenz ist eine Teilmenge von V _κ , also eine Klasse des Modells. Daher gilt für das Modell V _κ das Axiom der Größenbeschränkung .

Der Satz, der besagt, dass V _κ eine _Wohlordnung hat, kann direkt bewiesen werden . Da κ eine Ordinalzahl der Kardinalität κ ist und | V _κ | = κ, besteht eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen κ und V _κ . Diese Korrespondenz erzeugt eine Wohlordnung von V _κ . Der Beweis von Von Neumann ist indirekt . Es verwendet das Burali-Forti-Paradoxon , um durch Widerspruch zu beweisen, dass die Klasse aller Ordinalzahlen eine echte Klasse ist. Daher impliziert das Axiom der Größenbeschränkung, dass es eine Funktion gibt, die die Klasse aller Ordinalzahlen auf die Klasse aller Mengen abbildet. Diese Funktion erzeugt eine Wohlordnung von V _κ .

Das Modell V _ω

Um zu zeigen, dass die Sätze 1 und 2 für einige V _{κ gelten} , beweisen wir zunächst, dass eine Menge, wenn sie zu V _α gehört, zu allen nachfolgenden V _{β gehört} , oder äquivalent: V _α  ⊆  V _β für α ≤ β. Dies wird durch transfinite Induktion auf β bewiesen :

1. β = 0: V ₀  ⊆  V ₀ .
2. Für β+1: Nach induktiver Hypothese ist V _α  ⊆  V _β . Somit V _{& agr;}  ⊆  V _β  ⊆  V _β  ∪  P ( V _β ) =  V _{β + 1} .
3. Für Grenzwert β: Wenn α < β, dann V _α  ⊆ ∪ _{ξ < β}  V _ξ  =  V _β . Wenn α = β, dann ist V _α  ⊆  V _β .

Sets geben die kumulierte Hierarchie durch den Leistungssatz P ( V _β ) in Schritt β + 1. Folgende Definitionen werden benötigt:

Wenn x eine Menge ist, ist Rang ( x ) die kleinste Ordinalzahl β mit x  ∈  V _β+1 .

Das Supremum einer Menge von Ordinalzahlen A, bezeichnet mit sup A, ist die kleinste Ordinalzahl β mit α ≤ β für alle α ∈ A.

Das kleinste Modell von Zermelo ist V _ω . Die mathematische Induktion beweist, dass V _n für alle n  < ω endlich ist :

1. | V ₀ | = 0.
2. | V _{n + 1} | = | V _n  ∪  P ( V _n )| | V _n | + 2  ^{| V _n |} , die endlich ist, da V _n nach induktiver Hypothese endlich ist.

Beweis von Satz 1: Eine Menge X tritt in V _ω durch P ( V _n ) für ein n  < ω ein, also X  ⊆  V _n . Da V _n endlich ist, ist X endlich. Umgekehrt : Ist eine Klasse X endlich, sei N  = sup {rank( x ):  x  ∈  X }. Da Rang ( x ) ≤  N für alle x  ∈  X haben wir X  ⊆  V _{N + 1} , so X  ∈  V _{N +2}  ⊆  V _ω . Daher X  ∈  V _ω .

Beweis von Satz 2: V _ω ist die Vereinigung von abzählbar unendlich vielen endlichen Mengen zunehmender Größe. Daher hat es Kardinalität , die gleich ω nach von Neumann-Kardinalzuordnung ist . ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Die Mengen und Klassen von V _ω erfüllen alle Axiome von NBG außer dem Axiom der Unendlichkeit .

Die Modelle V _κ wobei κ ein stark unzugänglicher Kardinal ist

Zwei Eigenschaften der Endlichkeit wurden verwendet, um die Sätze 1 und 2 für V _ω zu beweisen :

1. Wenn λ eine endliche Kardinalzahl ist, dann ist 2 ^λ endlich.
2. Ist A eine Menge von Ordinalzahlen mit | A | endlich und α für alle α ∈  A endlich ist , dann ist sup  A endlich.

Um Modelle zu finden, die das Axiom der Unendlichkeit erfüllen, ersetzen Sie "finite" durch "< κ", um die Eigenschaften zu erzeugen, die stark unzugängliche Kardinäle definieren . Ein Kardinal κ ist stark unzugänglich, wenn κ > ω und:

1. Ist λ ein Kardinal mit λ < κ, dann ist 2 ^λ  < κ.
2. Ist A eine Menge von Ordinalzahlen mit | A | < κ, und α < κ für alle α ∈  A , dann sup  A  < κ.

Diese Eigenschaften besagen, dass κ von unten nicht erreichbar ist. Die erste Eigenschaft besagt, dass κ von Potenzmengen nicht erreicht werden kann; die zweite besagt, dass κ durch das Ersetzungsaxiom nicht erreicht werden kann. So wie das Axiom der Unendlichkeit erforderlich ist, um ω zu erhalten, wird ein Axiom benötigt, um stark unzugängliche Kardinäle zu erhalten. Zermelo postulierte die Existenz einer unbegrenzten Folge von stark unzugänglichen Kardinälen.

Ist κ ein stark unzugänglicher Kardinal, so beweist die transfinite Induktion | V _{& agr;} | < κ für alle α < κ:

1. α = 0: | V ₀ | = 0.
2. Für α+1: | V _{α + 1} | = | V _α  ∪  P ( V _α ) | | V _{& agr;} | + 2  ^{| V _{& agr;} |}  = 2  ^{| V _{& agr;} |}  < . Die letzte Ungleichung verwendet induktive Hypothese und κ ist stark unzugänglich.
3. Für Grenzwert α: | V _{& agr;} | = |∪ _{ξ < α}  V _ξ | sup {| V _ξ | : < α} < . Die letzte Ungleichung verwendet induktive Hypothese und ist stark unzugänglich.

Beweis von Satz 1: Eine Menge X tritt in V _κ durch P ( V _α ) für ein α < κ ein, also X  ⊆  V _α . Seit | V _{& agr;} | < κ erhalten wir | X | < . Umgekehrt: Hat eine Klasse X | X | < κ, sei β = sup {rank( x ):  x  ∈  X }. Da κ stark unzugänglich ist, ist | X | < κ und rank( x ) < κ für alle x  ∈  X implizieren β = sup {rank( x ):  x  ∈  X } < κ. Da Rang( x ) β für alle x  ∈  X gilt , gilt X  ⊆  V _β+1 , also X  ∈  V _β+2  ⊆  V _κ . Daher X  ∈  V _κ .

Beweis von Satz 2: | V _κ | = |∪ _{α < κ}  V _α | sup {| V _{& agr;} | : α < }. Sei β dieses Supremum. Da jede Ordinalzahl im Supremum kleiner als κ ist, gilt β ≤ κ. Angenommen β < κ. Dann gibt es eine Kardinalzahl λ mit β < λ < κ; sei beispielsweise λ = 2 ^|β| . Da λ ⊆ V _λ und | V _λ | im Supremum ist, haben wir λ ≤ | V _λ | β. Dies widerspricht β < λ. Daher ist | V _κ | = β = .

Die Mengen und Klassen von V _κ erfüllen alle Axiome von NBG.

Begrenzung der Größenlehre

Die Begrenzung der Größenlehre ist ein heuristisches Prinzip, das verwendet wird, um Axiome der Mengenlehre zu rechtfertigen. Es vermeidet die gesetzten theoretischen Paradoxien, indem es das vollständige (widersprüchliche) Axiom-Schema des Verständnisses einschränkt:

${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\exists x\,\forall u\,(u\in x\iff \varphi(u,w_{1},\ldots ,w_ {n}))}$

auf Instanzen, "die keine Mengen geben, die 'zu viel größer' sind als die, die sie verwenden."

Wenn "größer" "größer in der Kardinalgröße" bedeutet, können die meisten Axiome gerechtfertigt werden: Das Trennungsaxiom erzeugt eine Teilmenge von x , die nicht größer als x ist . Das Ersetzungsaxiom erzeugt eine Bildmenge f ( x ), die nicht größer als x ist . Das Vereinigungsaxiom erzeugt eine Vereinigung, deren Größe nicht größer ist als die Größe der größten Menge in der Vereinigung mal der Anzahl der Mengen in der Vereinigung. Das Auswahlaxiom erzeugt eine Auswahlmenge, deren Größe nicht größer ist als die Größe der gegebenen Menge nichtleerer Mengen.

Die Begrenzung der Größenlehre rechtfertigt nicht das Axiom der Unendlichkeit:

${\displaystyle \exists y\,[\emptyset\in y\,\land\,\forall x(x\in y\impliziert x\cup \{x\}\in y)],}$

die die leere Menge und die Mengen verwendet, die aus der leeren Menge durch Iterieren der ordinalen Nachfolgeroperation erhalten wurden . Da diese Mengen endlich sind, ist jede Menge, die dieses Axiom erfüllt, wie , viel größer als diese Mengen. Fraenkel und Lévy betrachten die leere Menge und die unendliche Menge der natürlichen Zahlen , deren Existenz durch die Axiome der Unendlichkeit und der Trennung impliziert wird, als Ausgangspunkt für die Generierung von Mengen.

Von Neumanns Ansatz zur Größenbeschränkung verwendet das Axiom der Größenbeschränkung. Wie in § Implikationen des Axioms erwähnt , impliziert von Neumanns Axiom die Axiome der Trennung, Ersetzung, Vereinigung und Wahl. Wie Fraenkel und Lévy musste von Neumann seinem System das Axiom der Unendlichkeit hinzufügen, da es aus seinen anderen Axiomen nicht bewiesen werden kann. Die Unterschiede zwischen von Neumanns Ansatz zur Größenbeschränkung und dem Ansatz von Fraenkel und Lévy sind:

• Das Axiom von Von Neumann bringt eine Größenbeschränkung in ein Axiomensystem, wodurch es möglich wird, die meisten Existenzaxiome zu beweisen. Die Doktrin der Größenbeschränkung rechtfertigt Axiome mit informellen Argumenten, die offener für Meinungsverschiedenheiten sind als ein Beweis.
• Von Neumann nahm das Potenzmengen-Axiom an, da es aus seinen anderen Axiomen nicht bewiesen werden kann. Fraenkel und Lévy stellen fest, dass die Doktrin der Begrenzung der Größe das Axiom der Potenzmenge rechtfertigt.

Es herrscht Uneinigkeit darüber, ob die Doktrin der Begrenzung der Größe das Axiom der Potenzmenge rechtfertigt. Michael Hallett hat die Argumente von Fraenkel und Lévy analysiert. Einige ihrer Argumente messen Größe nach anderen Kriterien als der Kardinalgröße – zum Beispiel führt Fraenkel „Umfassendheit“ und „Erweiterbarkeit“ ein. Hallett weist auf die seiner Meinung nach fehlerhaften Argumente hin.

Hallett argumentiert dann, dass die Ergebnisse der Mengenlehre zu implizieren scheinen, dass es keinen Zusammenhang zwischen der Größe einer unendlichen Menge und der Größe ihrer Potenzmenge gibt. Dies würde bedeuten, dass die Begrenzung der Größenlehre das Potenzmengen-Axiom nicht rechtfertigen kann, weil sie verlangt, dass die Potenzmenge von x nicht "zu viel größer" als x ist . Für den Fall, dass die Größe nach der Kardinalgröße gemessen wird, erwähnt Hallett die Arbeit von Paul Cohen . Ausgehend von einem Modell von ZFC und baute Cohen ein Modell, in dem die Kardinalität der Potenzmenge von ω ist, wenn die Kofinalität von nicht ω ist; andernfalls ist seine Kardinalität . Da die Mächtigkeit der Potenzmenge von ω keine Schranke hat, gibt es keinen Zusammenhang zwischen der Mächtigkeit von ω und der Mächtigkeit von P (ω). ${\displaystyle \aleph_{\alpha}}$${\displaystyle \aleph_{\alpha}}$${\displaystyle \aleph_{\alpha}}$${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}}$

Hallett diskutiert auch den Fall, in dem Größe durch "Umfassendheit" gemessen wird, die eine Sammlung als "zu groß" betrachtet, wenn sie von "unbegrenztem Verständnis" oder "unbegrenztem Umfang" ist. Er weist darauf hin, dass wir für eine unendliche Menge nicht sicher sein können, dass wir alle ihre Teilmengen haben, ohne die unbegrenzte Ausdehnung des Universums zu durchlaufen. Er zitiert auch John L. Bell und Moshé Machover : „... die Potenzmenge P ( u ) einer gegebenen [unendlichen] Menge u ist nicht nur proportional zur Größe von u, sondern auch zum ‚Reichtum‘ des gesamten Universums ..." Nach diesen Beobachtungen stellt Hallett fest: "Man kommt zu dem Verdacht, dass es einfach keinen Zusammenhang zwischen der Größe (Umfang) eines unendlichen a und der Größe von P ( a ) gibt."

Hallett hält die Begrenzung der Größenlehre für wertvoll, um die meisten Axiome der Mengenlehre zu rechtfertigen. Seine Argumente weisen nur darauf hin, dass es die Axiome der Unendlichkeit und der Potenzmenge nicht rechtfertigen kann. Er kommt zu dem Schluss, dass "von Neumanns explizite Annahme [der Kleinheit von Potenzmengen] der von Zermelo, Fraenkel und Lévy undurchsichtig versteckten impliziten Annahme der Kleinheit von Potenzmengen vorzuziehen scheint ."

Geschichte

Von Neumann entwickelte das Axiom der Größenbeschränkung als neue Methode zur Identifizierung von Mengen. ZFC identifiziert Mengen über ihre Mengenbildungsaxiome. Allerdings, wie Abraham Fraenkel betonte: „Der eher willkürliche Charakter der Prozesse, die in den Axiomen von Z [ZFC] als Grundlage der Theorie gewählt werden, ist eher durch die historische Entwicklung der Mengenlehre als durch logische Argumente gerechtfertigt. "

Die historische Entwicklung der ZFC-Axiome begann 1908, als Zermelo Axiome wählte, um die Paradoxien zu beseitigen und seinen Beweis des wohlgeordneten Theorems zu unterstützen . 1922 wiesen Abraham Fraenkel und Thoralf Skolem darauf hin, dass Zermelos Axiome die Existenz der Menge { Z ₀ ,  Z ₁ ,  Z ₂ , ...} nicht beweisen können , wobei Z ₀ die Menge der natürlichen Zahlen ist und Z _{n +1} ist die Potenzmenge von Z _n . Sie führten auch das Ersetzungsaxiom ein, das die Existenz dieser Menge garantiert. Das Hinzufügen von Axiomen bei Bedarf garantiert jedoch weder die Existenz aller vernünftigen Mengen noch klärt sie den Unterschied zwischen Mengen, die sicher zu verwenden sind, und Sammlungen, die zu Widersprüchen führen.

In einem Brief von 1923 an Zermelo skizzierte von Neumann einen Ansatz der Mengenlehre, der Mengen identifiziert, die "zu groß" sind und zu Widersprüchen führen könnten. Von Neumann identifizierte diese Mengen anhand des Kriteriums: "Eine Menge ist 'zu groß' genau dann, wenn sie mit der Menge aller Dinge äquivalent ist ." Er schränkte dann die Verwendung dieser Mengen ein: "... um die Paradoxien zu vermeiden, werden diejenigen [Mengen], die 'zu groß' sind, als Elemente für unzulässig erklärt ." Durch die Kombination dieser Einschränkung mit seinem Kriterium erhielt von Neumann seine erste Version des Axioms der Größenbeschränkung, das in der Sprache der Klassen lautet: Eine Klasse ist genau dann eine echte Klasse, wenn sie mit V gleichzahlig ist . Bis 1925 modifiziert von Neumann sein Axiom, indem er "es ist gleichzahlig mit V  " in "es kann auf V abgebildet werden  " änderte , was das Axiom der Größenbeschränkung erzeugt. Diese Modifikation ermöglichte von Neumann einen einfachen Beweis des Ersetzungsaxioms. Das Axiom von Von Neumann identifiziert Mengen als Klassen, die nicht auf V abgebildet werden können . Von Neumann erkannte, dass seine Mengenlehre selbst mit diesem Axiom Mengen nicht vollständig charakterisiert.

Gödel fand von Neumanns Axiom „von großem Interesse“:

„Insbesondere glaube ich, dass seine [von Neumann] notwendige und hinreichende Bedingung, die eine Eigenschaft erfüllen muss, um eine Menge zu definieren, von großem Interesse ist, weil sie das Verhältnis der axiomatischen Mengenlehre zu den Paradoxien verdeutlicht den Dingen auf den Punkt kommt, sieht man daran, dass es das Wahlaxiom impliziert, das früher ganz abseits von anderen existentiellen Prinzipien stand für mich nicht nur sehr elegant, sondern auch logisch sehr interessant, außerdem glaube ich, dass die Grundprobleme der abstrakten Mengenlehre nur in dieser Richtung, also entgegen dem Konstruktivismus , gelöst werden können ."

Anmerkungen

Verweise

Literaturverzeichnis

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  • Englische Übersetzung: Ewald, William B. (1996), "On Randnummern und Domänen von Mengen: neue Untersuchungen in den Grundlagen der Mengenlehre", From Immanuel Kant to David Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics , Oxford University Press , S. 1208–1233, ISBN 978-0-19-853271-2.