Axiomschema - Axiom schema

In der mathematischen Logik verallgemeinert ein Axiomschema (Plural: Axiomschemata oder Axiomschemata ) den Begriff des Axioms .

Formale Definition

Ein Axiomschema ist eine Formel in der Metasprache eines axiomatischen Systems , in der eine oder mehrere schematische Variablen vorkommen . Diese Variablen, die metalinguistische Konstrukte sind, stehen für jeden Begriff oder jede Unterformel des Systems, die möglicherweise erforderlich sind, um bestimmte Bedingungen zu erfüllen. Oft erfordern solche Bedingungen, dass bestimmte Variablen frei sind oder dass bestimmte Variablen nicht in der Unterformel oder im Begriff erscheinen.

Endliche Axiomatisierung

Da die Anzahl möglicher Unterformeln oder Terme, die anstelle einer schematischen Variablen eingefügt werden können, zählbar unendlich ist , steht ein Axiomschema für eine zählbar unendliche Menge von Axiomen. Diese Menge kann normalerweise rekursiv definiert werden . Eine Theorie, die ohne Schemata axiomatisiert werden kann, soll endlich axiomatisiert sein . Theorien, die endlich axiomatisiert werden können, werden als etwas metamathematisch eleganter angesehen, auch wenn sie für deduktives Arbeiten weniger praktisch sind.

Beispiele

Zwei bekannte Beispiele für Axiomschemata sind:

• Induktionsschema , das Teil von Peanos Axiomen für die Arithmetik der natürlichen Zahlen ist ;
• Axiomschema des Ersatzes , das Teil der Standard- ZFC- Axiomatisierung der Mengenlehre ist .

Czesław Ryll-Nardzewski hat bewiesen, dass die Peano-Arithmetik nicht endlich axiomatisiert werden kann, und Richard Montague hat bewiesen, dass ZFC nicht endlich axiomatisiert werden kann. Daher können die Axiomschemata nicht aus diesen Theorien eliminiert werden. Dies gilt auch für einige andere axiomatische Theorien in Mathematik, Philosophie, Linguistik usw.

Endlich axiomatisierte Theorien

Alle Sätze der ZFC sind auch Sätze der von Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre , letztere kann jedoch endlich axiomatisiert werden. Die Mengenlehre New Foundations kann endlich axiomatisiert werden, jedoch nur mit einem gewissen Verlust an Eleganz.

In der Logik höherer Ordnung

Schematische Variablen in der Logik erster Ordnung sind in der Logik zweiter Ordnung normalerweise trivial eliminierbar , da eine schematische Variable häufig ein Platzhalter für jede Eigenschaft oder Beziehung über die Individuen der Theorie ist. Dies ist der Fall mit den Schemata der Induktion und Ersatz oben erwähnt. Die Logik höherer Ordnung ermöglicht es quantifizierten Variablen, sich über alle möglichen Eigenschaften oder Beziehungen zu erstrecken.

Siehe auch

• Axiomschema der prädikativen Trennung
• Axiom Schema des Ersatzes
• Axiomschema der Spezifikation

Anmerkungen

Verweise

• Corcoran, John (2006), "Schemata: Das Konzept des Schemas in der Geschichte der Logik", Bulletin of Symbolic Logic , 12 : 219–240 .
• Corcoran, John (2016). "Schema" . In Zalta Edward N. (Hrsg.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .
• Mendelson, Elliott (1997), Eine Einführung in die mathematische Logik (4. Aufl.), Chapman & Hall, ISBN   0-412-80830-7 .
• Montague, Richard (1961), "Semantic Closure and Non-Finite Axiomatizability I", in Samuel R. Buss (Hrsg.), Infinitistic Methods: Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics , Pergamon Press, S. 45–69 .
• Potter, Michael (2004), Mengenlehre und ihre Philosophie , Oxford University Press, ISBN   9780199269730 .
• Ryll-Nardzewski, Czesław (1952), "Die Rolle des Axioms der Induktion in der Elementararithmetik" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 39 : 239–263 .