Axiomatiksystem - Axiomatic system

In Mathematik und Logik ist ein axiomatisches System jede Menge von Axiomen, aus denen einige oder alle Axiome zusammen verwendet werden können, um Theoreme logisch abzuleiten . Eine Theorie ist ein konsistenter , relativ in sich abgeschlossener Wissensbestand, der normalerweise ein axiomatisches System und alle seine abgeleiteten Theoreme enthält. Ein vollständig beschriebenes axiomatisches System ist eine besondere Form des formalen Systems . Eine formale Theorie ist ein axiomatisches System (normalerweise in der Modelltheorie formuliert ), das eine Menge von Sätzen beschreibt, die unter logischer Implikation abgeschlossen ist. Ein formaler Beweis ist eine vollständige Wiedergabe eines mathematischen Beweises innerhalb eines formalen Systems.

Eigenschaften

Ein axiomatisches System heißt konsistent, wenn es widerspruchsfrei ist . Das heißt, es ist unmöglich, sowohl eine Aussage als auch ihre Negation aus den Axiomen des Systems abzuleiten. Konsistenz ist eine wesentliche Voraussetzung für die meisten axiomatischen Systeme, da durch das Vorhandensein von Widersprüchen jede Aussage bewiesen werden könnte ( Explosionsprinzip ).

In einem axiomatischen System heißt ein Axiom unabhängig, wenn es kein Satz ist, der von anderen Axiomen im System abgeleitet werden kann. Ein System heißt unabhängig, wenn jedes seiner zugrunde liegenden Axiome unabhängig ist. Im Gegensatz zur Konsistenz ist Unabhängigkeit keine notwendige Voraussetzung für ein funktionierendes axiomatisches System – obwohl sie normalerweise angestrebt wird, um die Anzahl der Axiome im System zu minimieren.

Ein axiomatisches System heißt vollständig, wenn für jede Aussage entweder sich selbst oder ihre Negation aus den Axiomen des Systems ableitbar ist (entsprechend kann jede Aussage als wahr oder falsch bewiesen werden).

Relative Konsistenz

Abgesehen von der Konsistenz ist die relative Konsistenz auch das Kennzeichen eines lohnenden Axiomensystems. Dies beschreibt das Szenario, in dem die undefinierten Terme eines ersten Axiomensystems mit Definitionen eines zweiten versehen werden, so dass die Axiome des ersten Theoreme des zweiten sind.

Ein gutes Beispiel ist die relative Konsistenz der absoluten Geometrie in Bezug auf die Theorie des reellen Zahlensystems . Linien und Punkte sind in der absoluten Geometrie undefinierte Begriffe (auch primitive Begriffe genannt ), denen jedoch in der Theorie der reellen Zahlen Bedeutungen in einer Weise zugewiesen werden, die mit beiden Axiomensystemen konsistent ist.

Modelle

Ein Modell für ein axiomatisches System ist eine wohldefinierte Menge , die den im System präsentierten undefinierten Begriffen eine Bedeutung zuweist, die mit den im System definierten Beziehungen korrekt ist. Die Existenz eines konkreten Modells beweist die Konsistenz eines Systems. Ein Modell heißt konkret, wenn es sich bei den zugewiesenen Bedeutungen um Objekte und Relationen aus der realen Welt handelt, im Gegensatz zu einem abstrakten Modell, das auf anderen axiomatischen Systemen basiert.

Modelle können auch verwendet werden, um die Unabhängigkeit eines Axioms im System zu zeigen. Indem wir ein gültiges Modell für ein Subsystem ohne spezifisches Axiom konstruieren, zeigen wir, dass das weggelassene Axiom unabhängig ist, wenn seine Korrektheit nicht unbedingt aus dem Subsystem folgt.

Zwei Modelle werden als isomorph bezeichnet, wenn zwischen ihren Elementen eine Eins-zu-Eins-Entsprechung auf eine Weise gefunden werden kann, die ihre Beziehung bewahrt. Ein axiomatisches System, bei dem jedes Modell isomorph zu einem anderen ist, wird kategorial (manchmal kategorial ) genannt. Die Eigenschaft der Kategorisierung (Kategorizität) sichert die Vollständigkeit eines Systems, das Gegenteil gilt jedoch nicht: Vollständigkeit gewährleistet nicht die Kategorität (Kategorität) eines Systems, da sich zwei Modelle in Eigenschaften unterscheiden können, die nicht durch die Semantik des System.

Beispiel

Betrachten Sie als Beispiel das folgende axiomatische System, basierend auf Logik erster Ordnung mit zusätzlicher Semantik der folgenden abzählbar unendlich vielen Axiome hinzugefügt (diese können leicht als Axiomenschema formalisiert werden ):

(informell gibt es zwei verschiedene Elemente).
(informell gibt es drei verschiedene Elemente).

Informell besagt diese unendliche Menge von Axiomen, dass es unendlich viele verschiedene Elemente gibt. Der Begriff einer unendlichen Menge kann jedoch nicht innerhalb des Systems definiert werden – geschweige denn die Kardinalität einer solchen Menge.

Das System hat mindestens zwei verschiedene Modelle – eines sind die natürlichen Zahlen (isomorph zu jeder anderen abzählbar unendlichen Menge) und das andere sind die reellen Zahlen (isomorph zu jeder anderen Menge mit der Kardinalität des Kontinuums ). Tatsächlich gibt es unendlich viele Modelle, eines für jede Kardinalität einer unendlichen Menge. Die Eigenschaft, die diese Modelle auszeichnet, ist jedoch ihre Kardinalität – eine Eigenschaft, die innerhalb des Systems nicht definiert werden kann. Somit ist das System nicht kategorial. Sie kann jedoch als vollständig nachgewiesen werden.

Axiomatische Methode

Definitionen und Aussagen so zu formulieren, dass jeder neue Begriff durch die zuvor eingeführten Begriffe formal eliminiert werden kann, erfordert primitive Begriffe (Axiome), um einen unendlichen Regress zu vermeiden . Diese Methode der Mathematik wird als axiomatische Methode bezeichnet .

Eine gängige Haltung gegenüber der axiomatischen Methode ist der Logizismus . In ihrem Buch Principia Mathematica versuchten Alfred North Whitehead und Bertrand Russell zu zeigen, dass jede mathematische Theorie auf eine Sammlung von Axiomen reduziert werden kann. Ganz allgemein liegt dem Forschungsprogramm des Mathematikers die Reduktion einer Menge von Aussagen auf eine bestimmte Sammlung von Axiomen zugrunde. Dies war in der Mathematik des 20. Jahrhunderts sehr prominent, insbesondere in Fächern, die auf der homologischen Algebra basieren .

Die Explikation der einzelnen Axiome, die in einer Theorie verwendet werden, kann helfen, eine geeignete Abstraktionsebene zu klären, mit der der Mathematiker arbeiten möchte. Zum Beispiel entschieden sich Mathematiker, dass Ringe nicht kommutativ sein müssen , was sich von Emmy Noethers ursprünglicher Formulierung unterschied. Mathematikern beschlossen zu prüfen , topologische Räume allgemeiner ohne Trennungsaxiom , die Felix Hausdorff ursprünglich formuliert.

Die Zermelo-Fraenkel-Axiome , das Ergebnis der axiomatischen Methode der Mengenlehre, ermöglichten die "richtige" Formulierung mengentheoretischer Probleme und halfen, die Paradoxien der naiven Mengenlehre zu vermeiden . Ein solches Problem war die Kontinuumshypothese . Die Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie mit dem historisch umstrittenen Auswahlaxiom wird allgemein als ZFC abgekürzt , wobei "C" für "Wahl" steht. Viele Autoren verwenden ZF , um auf die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie zu verweisen, wobei das Auswahlaxiom ausgeschlossen ist. Heute ist ZFC die Standardform der axiomatischen Mengenlehre und als solche die gebräuchlichste Grundlage der Mathematik .

Geschichte

Weitere Informationen: Geschichte der Mathematik

Mathematische Methoden haben sich im alten Ägypten, Babylon, Indien und China bis zu einem gewissen Grad entwickelt, anscheinend ohne die axiomatische Methode anzuwenden.

Euklid von Alexandria verfasste die früheste erhaltene axiomatische Darstellung der euklidischen Geometrie und Zahlentheorie . Viele axiomatischen Systeme wurden im neunzehnten Jahrhundert entwickelt, einschließlich der nicht-euklidischen Geometrie , die Grundlagen der reellen Analysis , Cantor ‚s Mengenlehre , Frege ‘ s Arbeit an Stiftungen und Hilbert ‚s‚neue‘Verwendung von axiomatischen Methode als Forschungswerkzeug . Zum Beispiel wurde die Gruppentheorie gegen Ende dieses Jahrhunderts erstmals auf eine axiomatische Grundlage gestellt. Sobald die Axiome geklärt waren ( z. B. dass inverse Elemente erforderlich sein sollten), konnte das Subjekt autonom fortfahren, ohne Bezug auf die Herkunft der Transformationsgruppen dieser Studien.

Themen

Nicht jeder konsistente Satz von Aussagen kann durch eine beschreibbare Sammlung von Axiomen erfasst werden. In der Rekursionstheorie wird eine Sammlung von Axiomen als rekursiv bezeichnet, wenn ein Computerprogramm erkennen kann, ob ein bestimmter Satz in der Sprache ein Satz ist. Gödels erster Unvollständigkeitssatz sagt uns dann, dass es bestimmte konsistente Sätze von Aussagen ohne rekursive Axiomatisierung gibt. Typischerweise kann der Computer die Axiome und logischen Regeln zum Ableiten von Theoremen erkennen, und der Computer kann erkennen, ob ein Beweis gültig ist, aber zu bestimmen, ob ein Beweis für eine Aussage existiert, ist nur durch "Warten" auflösbar, bis der Beweis oder die Widerlegung vorliegt erzeugt. Das Ergebnis ist, dass man nicht weiß, welche Sätze Theoreme sind und die axiomatische Methode versagt. Ein Beispiel für einen solchen Satz von Aussagen ist die Theorie der natürlichen Zahlen , die durch die Peano-Axiome (unten beschrieben) nur teilweise axiomatisiert wird .

In der Praxis wird nicht jeder Beweis auf die Axiome zurückgeführt. Manchmal ist nicht einmal klar, auf welche Axiomensammlung sich ein Beweis bezieht. Zum Beispiel könnte eine zahlentheoretische Aussage in der Sprache der Arithmetik (dh der Sprache der Peano-Axiome) ausdrückbar sein, und es könnte ein Beweis gegeben werden, der sich auf die Topologie oder komplexe Analyse bezieht . Es mag nicht sofort klar sein, ob sich ein weiterer Beweis finden lässt, der sich allein aus den Peano-Axiomen ableitet.

Jedes mehr oder weniger willkürlich gewählte Axiomensystem ist die Grundlage einer mathematischen Theorie, aber ein solches willkürliches axiomatisches System wird nicht unbedingt frei von Widersprüchen sein, und selbst wenn es so ist, wird es wahrscheinlich nichts Aufschluss geben. Philosophen der Mathematik behaupten manchmal, dass Mathematiker Axiome "willkürlich" wählen, aber es ist möglich, dass, obwohl sie nur aus der Sicht der Kanons der deduktiven Logik betrachtet willkürlich erscheinen, diese Erscheinung auf eine Beschränkung der Zwecke zurückzuführen ist, die deduktive Logik dient.

Beispiel: Die Peano-Axiomatisierung natürlicher Zahlen

Hauptartikel: Peano Axiome

Das mathematische System der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, ... basiert auf einem axiomatischen System, das erstmals 1889 vom Mathematiker Giuseppe Peano entwickelt wurde. Er wählte die Axiome in der Sprache eines einzelnen unären Funktionssymbols S (kurz für „ Nachfolger “), damit die Menge der natürlichen Zahlen:

  • Es gibt eine natürliche Zahl 0.
  • Jede natürliche Zahl a hat einen Nachfolger, der mit Sa bezeichnet wird .
  • Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist.
  • Distinct natürliche Zahlen haben unterschiedliche Nachfolger: Wenn ein ≠ b , dann Sa ≠ Sb .
  • Besitzt eine Eigenschaft 0 und auch der Nachfolger jeder natürlichen Zahl, die sie besitzt, so besitzen sie alle natürlichen Zahlen (" Induktionsaxiom ").

Axiomatisierung

In der Mathematik ist Axiomatisierung der Prozess, einen Wissensbestand zu nehmen und rückwärts zu seinen Axiomen zu arbeiten. Es ist die Formulierung eines Systems von Aussagen (dh Axiomen ), die eine Reihe von primitiven Begriffen in Beziehung setzen – damit aus diesen Aussagen deduktiv ein konsistenter Satz von Aussagen abgeleitet werden kann . Danach sollte sich der Beweis eines Satzes im Prinzip auf diese Axiome zurückführen lassen.

Siehe auch

Verweise

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