Baire-Raum (Mengentheorie) - Baire space (set theory)

In der Mengenlehre , der Baire Raum ist der Satz aller unendlichen Folgen von natürlichen Zahlen mit einer bestimmten Topologie . Dieser Raum wird häufig in der deskriptiven Mengenlehre verwendet , insofern seine Elemente oft als "Reale" bezeichnet werden. Sie wird mit N N , ω ω bezeichnet, mit dem Symbol oder auch ω ω , nicht zu verwechseln mit der abzählbaren Ordinalzahl, die man durch ordinale Exponentiation erhält .

Der Baire-Raum ist definiert als das kartesische Produkt von abzählbar unendlich vielen Kopien der Menge natürlicher Zahlen und erhält die Produkttopologie (wobei jede Kopie der Menge natürlicher Zahlen die diskrete Topologie erhält ). Der Baire-Raum wird oft durch den Baum endlicher Folgen natürlicher Zahlen dargestellt.

Der Baire-Raum kann dem Cantor-Raum gegenübergestellt werden , der Menge unendlicher Folgen binärer Ziffern .

Topologie und Bäume

Die Produkttopologie, die zur Definition des Baire-Raums verwendet wird, lässt sich durch Bäume konkreter beschreiben. Die grundlegenden offenen Sätze der Produkttopologie sind Zylindersätze , hier charakterisiert als:

Wenn eine endliche Menge natürlicher Zahlenkoordinaten I={ i } ausgewählt wird und für jedes i ein bestimmter natürlicher Zahlenwert v i ausgewählt wird, dann ist die Menge aller unendlichen Folgen natürlicher Zahlen, die den Wert v i an Position i haben, a grundlegende offene Menge. Jede offene Menge ist eine abzählbare Vereinigung einer Sammlung davon.

Mit formalerer Notation kann man die einzelnen Zylinder als

für einen festen ganzzahligen Ort n und einen ganzzahligen Wert v . Die Zylinder sind dann die Generatoren für die Zylindersätze: Die Zylindersätze bestehen dann aus allen Schnittpunkten einer endlichen Anzahl von Zylindern. Das heißt, bei einer gegebenen endlichen Menge natürlicher Zahlenkoordinaten und entsprechender natürlicher Zahlenwerte für jede betrachtet man den Schnittpunkt von Zylindern

Dieser Schnittpunkt wird Zylindersatz genannt , und die Menge aller solcher Zylindersätze bildet die Grundlage für die Produkttopologie . Jeder offene Satz ist eine abzählbare Vereinigung solcher Zylindersätze.

Durch den Wechsel zu einer anderen Basis für dieselbe Topologie kann eine alternative Charakterisierung offener Mengen erhalten werden:

Wenn eine Folge natürlicher Zahlen { w i  : i < n } ausgewählt wird, dann ist die Menge aller unendlichen Folgen natürlicher Zahlen, die den Wert w i an Position i für alle i < n haben, eine offene Basismenge. Jede offene Menge ist eine abzählbare Vereinigung einer Sammlung davon.

Somit ist eine grundlegende offene Menge im Baire-Raum die Menge aller unendlichen Folgen natürlicher Zahlen, die ein gemeinsames endliches Anfangssegment τ verlängern . Dies führt zu einer Darstellung des Baire-Raums als Menge aller unendlichen Pfade, die durch den vollständigen Baum ω endlicher Folgen natürlicher Zahlen geordnet nach Erweiterung verlaufen. Jedes endliche Anfangssegment ist ein Knoten des Baums endlicher Folgen. Jede offene Menge wird durch eine (möglicherweise unendliche) Vereinigung von Knoten dieses Baums bestimmt. Ein Punkt im Baire-Raum befindet sich genau dann in einer offenen Menge, wenn sein Weg durch einen der Knoten in seiner bestimmenden Vereinigung geht.

Die Darstellung des Baire-Raums als Pfade durch einen Baum ermöglicht auch eine Charakterisierung abgeschlossener Mengen. Jeder Punkt im Baire-Raum geht durch eine Folge von Knoten von ω . Geschlossene Mengen sind Komplemente von offenen Mengen. Jede abgeschlossene Menge besteht aus allen Baire-Folgen, die keinen Knoten passieren, der ihre komplementäre offene Menge definiert. Für jede abgeschlossene Teilmenge C des Baire-Raums gibt es einen Teilbaum T von ω <ω, so dass jeder Punkt x genau dann in C liegt, wenn x ein Pfad durch T ist : der Teilbaum T besteht aus allen Anfangssegmenten von Elementen von C . Umgekehrt ist die Menge der Pfade durch einen beliebigen Teilbaum von ω eine abgeschlossene Menge.

Kartesische Produkte haben auch eine alternative Topologie, die Boxtopologie . Diese Topologie ist viel feiner als die Produkttopologie, da sie den Indikatorsatz nicht auf endlich begrenzt. Konventionell bezieht sich der Baire-Raum nicht auf diese Topologie; es bezieht sich nur auf die Produkttopologie.

Eigenschaften

Der Baire-Raum hat die folgenden Eigenschaften:

  1. Es ist ein perfekter polnischer Raum , was bedeutet, dass es sich um einen vollständig metrisierbaren zweiten zählbaren Raum ohne isolierte Punkte handelt . Als solche hat sie die gleiche Kardinalität wie die reelle Linie und ist im topologischen Sinne ein Baire-Raum .
  2. Es ist nulldimensional und völlig unverbunden .
  3. Es ist nicht lokal kompakt .
  4. Es ist universell für polnische Räume in dem Sinne, dass es kontinuierlich auf jeden nicht leeren polnischen Raum abgebildet werden kann . Darüber hinaus hat jeder polnischen Raum eine dichte G δ Subraum homeomorphic an ein G δ Unterraum des Baireschen Raum.
  5. Der Baire-Raum ist homöomorph zum Produkt einer endlichen oder abzählbaren Anzahl von Kopien seiner selbst.
  6. Es ist die Automorphismusgruppe eines abzählbar unendlichen gesättigten Modells einer vollständigen Theorie .

Bezug zur realen Linie

Der Baire-Raum ist homöomorph zur Menge der irrationalen Zahlen, wenn ihnen die von der reellen Geraden geerbte Unterraumtopologie gegeben wird. Ein homeomorphism zwischen Baireschen Raum und der irrationalen Zahlen können unter Verwendung konstruiert werden Fraktionen fortgesetzt . Das heißt, bei einer gegebenen Folge können wir eine entsprechende irrationale Zahl größer als 1

Unter Verwendung erhalten wir einen weiteren Homöomorphismus von zu den Irrationalen im offenen Einheitsintervall und wir können dasselbe für die negativen Irrationalen tun. Wir sehen, dass die Irrationalen die topologische Summe von vier Räumen sind, die zum Baire-Raum homöomorph und daher auch zum Baire-Raum homöomorph sind.

Aus Sicht der deskriptiven Mengenlehre verursacht die Tatsache, dass die reelle Linie verbunden ist, technische Schwierigkeiten. Aus diesem Grund ist es üblicher, den Baire-Raum zu studieren. Da jeder polnische Raum das stetige Abbild des Baire-Raums ist, ist es oft möglich, Ergebnisse über beliebige polnische Räume zu beweisen, indem man zeigt, dass diese Eigenschaften für den Baire-Raum gelten und durch stetige Funktionen erhalten bleiben .

ω ω ist auch von unabhängigem, aber untergeordnetem Interesse in der reellen Analysis , wo es als einheitlicher Raum betrachtet wird . Die einheitlichen Strukturen von ω ω und Ir (den Irrationalen) sind jedoch unterschiedlich: ω ω ist in seiner üblichen Metrik vollständig, während Ir es nicht ist (obwohl diese Räume homöomorph sind).

Der Schichtführer

Der Verschiebungsoperator im Baire-Raum wird, wenn er auf das Einheitsintervall der reellen Zahlen abgebildet wird, zum Gauß-Kuzmin-Wirsing-Operator . Das heißt, bei einer gegebenen Sequenz gibt der Verschiebungsoperator T zurück . Ebenso gibt die Gauss-Abbildung bei gegebenem Kettenbruch zurück . Der entsprechende Operator für Funktionen vom Baire-Raum bis zur komplexen Ebene ist der Gauß-Kuzmin-Wirsing-Operator ; es ist der Transferoperator der Gauß-Karte. Das heißt, man betrachtet Karten vom Baire-Raum bis zur komplexen Ebene . Dieser Kartenraum erbt eine Topologie von der Produkttopologie im Baire-Raum; zum Beispiel kann man Funktionen mit gleichförmiger Konvergenz betrachten . Das auf diesen Funktionsraum wirkende Schichtkennfeld ist dann der GKW-Operator.

Das Haar-Maß des Verschiebungsoperators, also eine unter Verschiebungen invariante Funktion, ist durch das Minkowski-Maß gegeben . Das heißt, man hat das , wobei T die Verschiebung und E eine messbare Teilmenge von ω ω ist .

Siehe auch

Verweise


  • Kechris, Alexander S. (1994). Klassische beschreibende Mengenlehre . Springer-Verlag. ISBN 0-387-94374-9.
  • Moschovakis, Yiannis N. (1980). Deskriptive Mengenlehre . Nordholland. ISBN 0-444-70199-0.