Ballistisches Pendel - Ballistic pendulum

Ein ballistisches Pendel ist eine Vorrichtung für einen Mess Kugel ‚s Impuls , aus dem es möglich ist , die zur Berechnung Geschwindigkeit und kinetische Energie . Ballistische Pendel sind durch moderne Chronographen , die eine direkte Messung der Geschossgeschwindigkeit ermöglichen, weitgehend obsolet geworden .

Obwohl das ballistische Pendel als obsolet gilt, blieb es für eine beträchtliche Zeit in Gebrauch und führte zu großen Fortschritten in der Wissenschaft der Ballistik . Das ballistische Pendel ist noch heute in Physikunterrichtsräumen zu finden, da es einfach und nützlich ist, um Eigenschaften von Impuls und Energie zu demonstrieren. Im Gegensatz zu anderen Methoden zur Messung der Geschwindigkeit eines Geschosses erfordern die grundlegenden Berechnungen für ein ballistisches Pendel keine Zeitmessung, sondern beruhen nur auf Masse- und Entfernungsmessungen.

Zusätzlich zu seiner Hauptanwendung zur Messung der Geschwindigkeit eines Projektils oder des Rückstoßes einer Waffe kann das ballistische Pendel verwendet werden, um jede Impulsübertragung zu messen. Ein ballistisches Pendel wurde zum Beispiel vom Physiker CV Boys verwendet , um die Elastizität von Golfbällen zu messen , und vom Physiker Peter Guthrie Tait , um die Wirkung des Spins auf die zurückgelegte Distanz eines Golfballs zu messen.

Geschichte

Das ballistische Pendel wurde 1742 vom englischen Mathematiker Benjamin Robins (1707–1751) erfunden und in seinem Buch New Principles of Gunnery veröffentlicht , das die Wissenschaft der Ballistik revolutionierte, da es die erste Möglichkeit bot, die Geschwindigkeit einer Kugel genau zu messen.

Robins benutzte das ballistische Pendel, um die Geschossgeschwindigkeit auf zwei Arten zu messen. Die erste bestand darin, die Waffe am Pendel zu befestigen und den Rückstoß zu messen . Da der Impuls des Geschützes gleich dem Impuls des Auswurfs ist und da das Projektil (bei diesen Experimenten) die große Mehrheit der Masse des Auswurfs ausmachte, konnte die Geschwindigkeit des Geschosses angenähert werden. Die zweite und genauere Methode bestand darin, den Impuls der Kugel direkt zu messen, indem sie in das Pendel abgefeuert wurde. Robins experimentierte mit Musketenkugeln von etwa einer Unze in der Masse (28 g), während andere Zeitgenossen seine Methoden mit Kanonenschüssen von 0,5 bis 1,4 kg verwendeten.

Robins' Originale verwendet , um eine schwere Eisen Pendel, konfrontiert mit Holz, die Kugel zu fangen. Moderne Reproduktionen, die als Demonstrationen im Physikunterricht verwendet werden, verwenden im Allgemeinen ein schweres Gewicht, das an einem sehr feinen, leichten Arm aufgehängt ist, und ignorieren die Masse des Pendelarms. Robins' schweres Eisenpendel ließ dies nicht zu, und Robins' mathematischer Ansatz war etwas komplexer. Er verwendete , um die Periode der Schwingung und die Masse des Pendels (beide mit der Kugel gemessen enthalten) , die zur Berechnung der Drehträgheit des Pendels, die dann in den Berechnungen verwendet wurden. Robins benutzte auch ein Stück Band , das lose in eine Klemme gespannt war, um den Weg des Pendels zu messen. Das Pendel würde eine Länge des Bandes herausziehen, die der Sehne des Pendelweges entspricht.

Das erste System, das ballistische Pendel durch direkte Messungen der Projektilgeschwindigkeit ersetzte, wurde 1808 während der Napoleonischen Kriege erfunden und verwendete eine schnell rotierende Welle bekannter Geschwindigkeit mit zwei Papierscheiben darauf; das Geschoss wurde durch die Scheiben parallel zum Schaft abgefeuert, und der Winkelunterschied der Auftreffpunkte lieferte eine verstrichene Zeit über den Abstand zwischen den Scheiben. Ein direktes elektromechanisches Uhrwerk-Maß erschien 1848 mit einer federbetriebenen Uhr, die von Elektromagneten gestartet und gestoppt wurde, deren Strom durch die Kugel unterbrochen wurde, die durch zwei Maschen feiner Drähte ging, was wiederum die Zeit gab, die vorgegebene Strecke zurückzulegen.

Mathematische Ableitungen

Die meisten Physiklehrbücher bieten eine vereinfachte Methode zur Berechnung der Geschossgeschwindigkeit, die die Masse von Geschoss und Pendel und die Höhe des Pendelweges verwendet, um die Energie- und Impulsmenge im Pendel- und Geschosssystem zu berechnen. Robins' Berechnungen waren wesentlich aufwendiger und verwendeten ein Maß für die Schwingungsdauer, um die Rotationsträgheit des Systems zu bestimmen.

Einfache Ableitung

Wir beginnen mit der Bewegung des Kugel-Pendel-Systems von dem Moment an, in dem das Pendel von der Kugel getroffen wird.

Aus gegebener Erdbeschleunigung und , der Endhöhe des Pendels, ist es möglich, die Anfangsgeschwindigkeit des Kugel-Pendel-Systems unter Verwendung der Erhaltung der mechanischen Energie (kinetische Energie + potentielle Energie) zu berechnen . Diese Anfangsgeschwindigkeit sei mit bezeichnet . Angenommen , die Masse der Kugel und Pendel sind und jeweils. ${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle m_{b}}$${\displaystyle m_{p}}$

Die anfängliche kinetische Energie des Systems ${\displaystyle K_{initial}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(m_{b}+m_{p})\cdot v_{1}^{2 }}$

Nimmt man die Anfangshöhe des Pendels als potentielle Energiereferenz , ist die endgültige potentielle Energie beim Stoppen des Kugel-Pendel-Systems gegeben durch${\displaystyle (U_{initial}=0)}$${\displaystyle (K_{final}=0)}$${\displaystyle U_{final}=(m_{b}+m_{p})\cdot g\cdot h}$

Durch die Erhaltung der mechanischen Energie haben wir also:

${\displaystyle K_{initial}=U_{final}\,}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(m_{b}+m_{p})\cdot v_{1}^{2}=(m_{ b}+m_{p})\cdot g\cdot h}$

Lösen Sie nach Geschwindigkeit auf, um zu erhalten: ${\displaystyle v_{1}={\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}$

Wir können jetzt die Impulserhaltung für das Kugel-Pendel-System verwenden, um die Geschwindigkeit der Kugel zu erhalten , bevor sie das Pendel traf. Wenn wir den Impuls der Kugel vor dem Abfeuern mit dem des Kugel-Pendel-Systems gleichsetzen, sobald die Kugel das Pendel trifft (und von oben verwendet), erhalten wir: ${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle v_{1}={\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}$

${\displaystyle m_{\textrm {b}}\cdot v_{0}=(m_{\textrm {b}}+m_{\textrm {p}})\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h }}}$

Auflösen nach : ${\displaystyle v_{0}}$

${\displaystyle v_{0}={\frac {(m_{\textrm {b}}+m_{\textrm {p}})\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}{m_{ \textrm {b}}}}=\left(1+{\frac {m_{\textrm {p}}}{m_{\textrm {b}}}}\right)\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}$

• Testkoffer mit Luftpistole und Luftgewehr
• Medien abspielen

  Crosman 1377, Kal. .177, Pelletgewicht 0,5 Gramm, Gewicht des Blocks 45 Gramm

• 

  Crosman 1377, Energie 10,6 Joule (10 angegeben), Mündungsgeschwindigkeit 206 Meter pro Sekunde

• Medien abspielen

  Ekol Ultimate, Kal. 0,25, Pelletgewicht 1,15 Gramm, Gewicht des Blocks 80 Gramm

• 

  Ekol Ultimate: Energie 26,6 Joule (30 angegeben), Mündungsgeschwindigkeit 215 Meter pro Sekunde

Robins Formel

Das ursprüngliche Buch von Robins enthielt einige weggelassene Annahmen in der Formel; zum Beispiel enthielt es keine Korrektur, um einen Kugeleinschlag zu berücksichtigen, der nicht mit dem Massenmittelpunkt des Pendels übereinstimmte. Eine aktualisierte Formel mit korrigierter Auslassung wurde im folgenden Jahr in den Philosophical Transactions of the Royal Society veröffentlicht. Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler , der sich dieser Korrektur nicht bewusst war, korrigierte dieses Versäumnis in seiner kommentierten deutschen Übersetzung des Buches unabhängig . Die korrigierte Formel, die in einer Ausgabe des Buches von 1786 erschien, lautete:

${\displaystyle v=614,58gc\cdot {\frac {p+b}{birn}}}$

wo:

• ${\displaystyle v}$ ist die Geschwindigkeit des Balls in Einheiten pro Sekunde
• ${\displaystyle b}$ ist die Masse der Kugel
• ${\displaystyle p}$ ist die Masse des Pendels
• ${\displaystyle g}$ ist der Abstand vom Drehpunkt zum Schwerpunkt
• ${\displaystyle i}$ ist der Abstand vom Drehpunkt bis zum Aufschlagpunkt des Balls
• ${\displaystyle c}$ ist der Akkord, gemessen mit dem Band, das in Robins' Apparat beschrieben ist
• ${\displaystyle r}$ ist der Radius oder Abstand vom Drehpunkt die Befestigung des Bandes
• ${\displaystyle n}$ ist die Anzahl der Schwingungen des Pendels in einer Minute

Rotkehlchen verwendeten Fuß für die Länge und Unzen für die Masse, obwohl andere Einheiten wie Zoll oder Pfund ersetzt werden können, solange die Konsistenz beibehalten wird.

Poisson-Formel

Eine auf Rotationsträgheit basierende Formel ähnlich der von Robins wurde vom französischen Mathematiker Siméon Denis Poisson abgeleitet und in The Mécanique Physique veröffentlicht , um die Geschossgeschwindigkeit anhand des Rückstoßes der Waffe zu messen:

${\displaystyle mvcf=Mbk'{\sqrt {gh}}}$

wo:

• ${\displaystyle m}$ ist die Masse der Kugel
• ${\displaystyle v}$ ist die Geschwindigkeit der Kugel
• ${\displaystyle c}$ ist der Abstand vom Drehpunkt zum Band
• ${\displaystyle f}$ ist der Abstand von der Bohrungsachse zum Drehpunkt
• ${\displaystyle M}$ ist die kombinierte Masse von Kanone und Pendel
• ${\displaystyle b}$ ist der vom Band gemessene Akkord
• ${\displaystyle k'}$ ist der Radius vom Drehpunkt zum Massenmittelpunkt von Kanone und Pendel (gemessen durch Schwingung, nach Robins)
• ${\displaystyle g}$ ist die Erdbeschleunigung
• ${\displaystyle h}$ ist der Abstand vom Massenmittelpunkt des Pendels zum Drehpunkt

${\displaystyle k'}$ lässt sich mit der Gleichung berechnen:

${\displaystyle T=\pi {\sqrt {\frac {k'^{2}}{gh}}}}$

Wo ist die halbe Schwingungsdauer. ${\displaystyle T}$

Ackleys ballistisches Pendel

PO Ackley beschrieb 1962 die Konstruktion und Verwendung eines ballistischen Pendels. Ackleys Pendel verwendete eine Parallelogrammverbindung mit einer standardisierten Größe, die eine vereinfachte Berechnung der Geschwindigkeit ermöglichte.

Ackleys Pendel verwendet Pendelarme mit einer Länge von genau 66,25 Zoll (168,3 cm) von Auflagefläche zu Auflagefläche und verwendet Spannschlösser, die sich in der Mitte der Arme befinden, um eine präzise Einstellung der Armlänge zu ermöglichen. Ackley empfiehlt auch für verschiedene Kaliber Massen für den Pendelkörper; 50 Pfund (22,7 kg) für Randfeuer bis .22 Hornet , 90 Pfund (40,9 kg) für .222 Remington bis .35 Whelen und 150 Pfund (68,2 kg) für Magnum-Gewehrkaliber. Das Pendel besteht aus schwerem Metallrohr, ist an einem Ende zugeschweißt und mit Papier und Sand gefüllt, um die Kugel zu stoppen. Das offene Ende des Pendels war mit einer Gummischicht bedeckt, um das Eindringen des Geschosses zu ermöglichen und das Austreten von Material zu verhindern.

Um das Pendel zu verwenden, wird es mit einem Gerät ausgestattet, um den horizontalen Abstand der Pendelschwingung zu messen, z. B. einem Lichtstab, der bei seiner Bewegung von der Rückseite des Pendels nach hinten geschoben würde. Der Schütze sitzt mindestens 5 m vom Pendel entfernt (verringert die Auswirkungen des Mündungsknalls auf das Pendel) und eine Kugel wird in das Pendel abgefeuert. Um die Geschwindigkeit des Geschosses bei horizontalem Schwung zu berechnen, wird die folgende Formel verwendet:

${\displaystyle V={\frac {Mp}{Mb}}0,2018D}$

wo:

• ${\displaystyle V}$ ist die Geschossgeschwindigkeit in Fuß pro Sekunde
• ${\displaystyle MP}$ ist die Masse des Pendels in Körnern
• ${\displaystyle Mb}$ ist die Masse der Kugel in Körnern
• ${\displaystyle D}$ ist der horizontale Weg des Pendels in Zoll

Für genauere Berechnungen werden eine Reihe von Änderungen sowohl an der Konstruktion als auch an der Verwendung des Pendels vorgenommen. Die Konstruktionsänderungen beinhalten das Hinzufügen einer kleinen Box oben auf dem Pendel. Vor dem Wiegen des Pendels wird die Schachtel mit einer Anzahl von Kugeln des zu messenden Typs gefüllt. Für jeden Schuss kann eine Kugel aus der Schachtel entnommen werden, wodurch die Masse des Pendels konstant gehalten wird. Bei der Messänderung wird die Periode des Pendels gemessen. Das Pendel wird geschwenkt und die Anzahl der vollständigen Schwingungen über einen langen Zeitraum von fünf bis zehn Minuten gemessen. Die Zeit wird durch die Anzahl der Schwingungen geteilt, um die Periode zu erhalten. Sobald dies erledigt ist, generiert die Formel eine genauere Konstante, um den Wert 0,2018 in der obigen Gleichung zu ersetzen. Wie oben wird die Geschwindigkeit des Geschosses mit der Formel berechnet: ${\displaystyle C={\frac {pi}{T12}}}$

${\displaystyle V={\frac {Mp}{Mb}}CD}$

Verweise

Literaturverzeichnis

• Benjamin Robins, James Wilson, Charles Hutton (1805). Neue Prinzipien der Schießerei . F. Wingrave.
• "Ballistisches Pendel" . Encyclopædia Britannica

Externe Links

• Ballistischer Pendelrechner
• Ballistisches Pendel demonstriert von Walter Lewin