Bernoulli-Zahl - Bernoulli number

Bernoulli-Zahlen B±
keine
n Fraktion Dezimal
0 1 +1.000000000
1 ± 1/2 ±0,500000000
2 1/6 +0,166666666
3 0 +0,000000000
4 1/30 −0,033333333
5 0 +0,000000000
6 1/42 +0.023809523
7 0 +0,000000000
8 1/30 −0,033333333
9 0 +0,000000000
10 5/66 +0,075757575
11 0 +0,000000000
12 691/2730 −0,253113553
13 0 +0,000000000
14 7/6 +1.166666666
fünfzehn 0 +0,000000000
16 3617/510 −7.092156862
17 0 +0,000000000
18 43867/798 +54.97117794
19 0 +0,000000000
20 174611/330 −529.1242424

In der Mathematik sind die Bernoulli-Zahlen B n eine Folge von rationalen Zahlen, die in der Zahlentheorie häufig vorkommen . Die Bernoulli-Zahlen erscheinen in (und können definiert werden durch) die Taylor-Reihenentwicklungen der Tangens- und Hyperbeltangensfunktionen , in Faulhabers Formel für die Summe der m- ten Potenzen der ersten n positiven ganzen Zahlen, in der Euler-Maclaurin-Formel und in Ausdrücken für bestimmte Werte der Riemann-Zeta-Funktion .

Die Werte der ersten 20 Bernoulli-Zahlen sind in der nebenstehenden Tabelle angegeben. In der Literatur werden zwei Konventionen verwendet, die hier mit und bezeichnet werden ; sie unterscheiden sich nur für n = 1 , wobei und . Für jedes ungerade n > 1 ist B n = 0 . Für jedes gerade n > 0 ist B n negativ, wenn n durch 4 teilbar ist, ansonsten positiv. Die Bernoulli-Zahlen sind spezielle Werte der Bernoulli-Polynome mit und .

Die Bernoulli-Zahlen wurden ungefähr zur gleichen Zeit vom Schweizer Mathematiker Jacob Bernoulli , nach dem sie benannt sind, und unabhängig davon vom japanischen Mathematiker Seki Takakazu entdeckt . Sekis Entdeckung wurde 1712 posthum in seinem Werk Katsuyō Sanpō veröffentlicht ; Bernoullis, auch posthum in seiner Ars Conjectandi von 1713. Ada Lovelace ‚s Ton G auf der Analytical Engine aus dem Jahr 1842 beschreibt einen Algorithmus zur Erzeugung von Bernoulli - Zahlen mit Babbage ‘ s Maschine. Als Ergebnis haben die Bernoulli-Zahlen die Auszeichnung, Gegenstand des ersten veröffentlichten komplexen Computerprogramms zu sein .

Notation

Das in diesem Artikel verwendete hochgestellte ± unterscheidet die beiden Vorzeichenkonventionen für Bernoulli-Zahlen. Nur der n = 1- Term ist betroffen:

In den folgenden Formeln kann man mit der Relation von einer Vorzeichenkonvention zur anderen wechseln oder für ganze Zahlen n = 2 oder größer einfach ignorieren.

Da B n = 0 für alle ungeraden n > 1 ist und viele Formeln nur Bernoulli-Zahlen mit geradem Index beinhalten, schreiben einige Autoren " B n " anstelle von B 2 n  . Dieser Artikel folgt dieser Notation nicht.

Geschichte

Frühe Geschichte

Die Bernoulli-Zahlen haben ihre Wurzeln in der frühen Geschichte der Berechnung von Summen ganzzahliger Potenzen, die seit der Antike für Mathematiker von Interesse waren.

Eine Seite aus Seki Takakazus Katsuyō Sanpō (1712), die Binomialkoeffizienten und Bernoulli-Zahlen tabelliert

Methoden zur Berechnung der Summe der ersten n positiven ganzen Zahlen, der Summe der Quadrate und der Würfel der ersten n positiven ganzen Zahlen waren bekannt, aber es gab keine wirklichen 'Formeln', sondern nur Beschreibungen, die vollständig in Worten gegeben wurden. Zu den großen Mathematikern der Antike, die sich mit diesem Problem beschäftigten, gehörten Pythagoras (ca. 572–497 v. Chr., Griechenland), Archimedes (287–212 v. Chr., Italien), Aryabhata (geb. 476, Indien), Abu Bakr al-Karaji (gest. 1019, Persien) und Abu Ali al-Hasan ibn al-Hasan ibn al-Haytham (965–1039, Irak).

Während des späten 16. und frühen 17. Jahrhunderts machten die Mathematiker bedeutende Fortschritte. Im Westen spielten Thomas Harriot (1560-1621) aus England, Johann Faulhaber (1580-1635) aus Deutschland, Pierre de Fermat (1601-1665) und der französische Mathematiker Blaise Pascal (1623-1662) wichtige Rollen.

Thomas Harriot scheint der erste gewesen zu sein, der in symbolischer Notation Formeln für Summen von Potenzen hergeleitet und geschrieben hat, aber auch er rechnete nur bis zur Summe der vierten Potenzen. Johann Faulhaber gab in seiner Academia Algebrae von 1631 Formeln für Potenzsummen bis zur 17. Potenz an , weit höher als jeder andere vor ihm, aber er gab keine allgemeine Formel an.

Blaise Pascal bewies 1654 Pascals Identität in Bezug auf die Summen der p- ten Potenzen der ersten n positiven ganzen Zahlen für p = 0, 1, 2, ..., k .

Der Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli (1654–1705) erkannte als erster die Existenz einer einzigen Folge von Konstanten B 0 , B 1 , B 2 ,... die eine einheitliche Formel für alle Potenzsummen liefern.

Die Freude, die Bernoulli empfand, als er auf das Muster stieß, das benötigt wurde, um schnell und einfach die Koeffizienten seiner Formel für die Summe der c- ten Potenzen für jede positive ganze Zahl c zu berechnen, kann aus seinem Kommentar entnommen werden. Er schrieb:

"Mit Hilfe dieser Tabelle habe ich weniger als eine halbe Viertelstunde gebraucht, um herauszufinden, dass die Zehnerpotenzen der ersten 1000 Zahlen zusammengezählt die Summe 91.409.924.241.424.243.424.241.924.242.500 ergeben."

Bernoullis Ergebnis wurde 1713 posthum in Ars Conjectandi veröffentlicht. Seki Takakazu entdeckte unabhängig die Bernoulli-Zahlen und sein Ergebnis wurde ein Jahr zuvor, ebenfalls posthum, 1712 veröffentlicht. Seki präsentierte seine Methode jedoch nicht als Formel basierend auf einer Folge von Konstanten .

Bernoullis Formel für Potenzsummen ist die bisher nützlichste und verallgemeinerbarste Formel. Die Koeffizienten in der Bernoulli-Formel werden jetzt Bernoulli-Zahlen genannt, einem Vorschlag von Abraham de Moivre folgend .

Bernoullis Formel wird manchmal Faulhaber-Formel genannt, nach Johann Faulhaber, der bemerkenswerte Wege fand, die Summe der Potenzen zu berechnen, aber die Bernoulli-Formel nie angab. Knuth zufolge wurde ein strenger Beweis der Faulhaber-Formel erstmals 1834 von Carl Jacobi veröffentlicht.

"Faulhaber hat die Bernoulli-Zahlen nie entdeckt; dh er hat nie erkannt, dass eine einzelne Folge von Konstanten B 0 , B 1 , B 2 , ... eine einheitliche
oder
für alle Machtsummen. Er erwähnte zum Beispiel nie, dass fast die Hälfte der Koeffizienten Null war, nachdem er seine Formeln für Σ n m von Polynomen in N in Polynome in n umgewandelt hatte .

Rekonstruktion von "Summae Potestatum"

Jakob Bernoullis "Summae Potestatum", 1713

Die Bernoulli-Zahlen OEISA164555 (n)/ OEISA027642 (n) wurden von Jakob Bernoulli in dem 1713 posthum erschienenen Buch Ars Conjectandi auf Seite 97 eingeführt. Die Hauptformel ist in der zweiten Hälfte des entsprechenden Faksimile zu sehen. Die von Bernoulli mit A , B , C und D bezeichneten konstanten Koeffizienten werden auf die jetzt vorherrschende Schreibweise A = B 2 , B = B 4 , C = B 6 , D = B 8 abgebildet . Der Ausdruck c · c -1 · c -2 · c -3 bedeutet c · ( c - 1) · ( c - 2 ) · ( c - 3) – die kleinen Punkte werden als Gruppierungssymbole verwendet. In der heutigen Terminologie sind diese Ausdrücke fallende Fakultätspotenzen c k . Die faktorielle Notation k ! als Abkürzung für 1 × 2 × ... × k wurde erst 100 Jahre später eingeführt. Das Integralzeichen auf der linken Seite geht auf Gottfried Wilhelm Leibniz im Jahr 1675 zurück, der es als langen Buchstaben S für „summa“ (Summe) verwendet. Der Buchstabe n auf der linken Seite ist kein Summationsindex, sondern gibt die obere Grenze des Summierungsbereichs an, der als 1, 2, ..., n zu verstehen ist . Wenn man die Dinge für positives c zusammenfasst, schreibt ein Mathematiker heute wahrscheinlich Bernoullis Formel wie folgt:

Diese Formel schlägt vor, B 1 = . einzustellen1/2beim Wechsel von der sogenannten 'archaischen' Aufzählung, die nur die geraden Indizes 2, 4, 6... verwendet, auf die moderne Form (mehr zu verschiedenen Konventionen im nächsten Absatz). Am auffälligsten ist in diesem Zusammenhang, dass die fallende Fakultät c k −1 für k = 0 den Wert1/c + 1. Damit kann die Formel von Bernoulli geschrieben werden

wenn B 1 = 1/2 , Wiederaufnahme des Wertes, den Bernoulli dem Koeffizienten an dieser Position gegeben hat.

Die Formel für in der ersten Hälfte enthält einen Fehler im letzten Term; es sollte statt sein .

Definitionen

In den letzten 300 Jahren wurden viele Charakterisierungen der Bernoulli-Zahlen gefunden, und jede könnte verwendet werden, um diese Zahlen einzuführen. Hier seien nur drei der nützlichsten genannt:

  • eine rekursive Gleichung,
  • eine explizite Formel,
  • eine erzeugende Funktion.

Zum Beweis der Äquivalenz der drei Ansätze.

Rekursive Definition

Die Bernoulli-Zahlen gehorchen den Summenformeln

wo und δ bezeichnet das Kronecker - Delta . Auflösen nach ergibt die rekursiven Formeln

Explizite Definition

1893 listete Louis Saalschütz insgesamt 38 explizite Formeln für die Bernoulli-Zahlen auf, die in der Regel in der älteren Literatur Hinweise geben. Einer von ihnen ist:

Generierungsfunktion

Die exponentiellen erzeugenden Funktionen sind

wo die Ersetzung ist .

Die (gewöhnliche) erzeugende Funktion

ist eine asymptotische Reihe . Es enthält die Trigammafunktion ψ 1 .

Bernoulli-Zahlen und die Riemannsche Zetafunktion

Die Bernoulli-Zahlen gemäß der Riemannschen Zetafunktion.

Die Bernoulli-Zahlen können durch die Riemannsche Zetafunktion ausgedrückt werden :

B+
nein
= − (1 − n )
          für n ≥ 1  .

Hier ist das Argument der Zeta-Funktion 0 oder negativ.

Mit Hilfe der Zeta- Funktionsgleichung und der Gamma- Reflexionsformel erhält man folgende Beziehung:

für n ≥ 1  .

Nun ist das Argument der Zeta-Funktion positiv.

Dann folgt aus & zgr; → 1 ( n → ∞ ) und Stirling-Formel daß

für n → ∞  .

Effiziente Berechnung von Bernoulli-Zahlen

In manchen Anwendungen ist es nützlich, die Bernoulli-Zahlen B 0 bis B p − 3 modulo p berechnen zu können , wobei p eine Primzahl ist; zum Beispiel um zu testen, ob die Vandiver-Vermutung für p gilt , oder auch nur um zu bestimmen, ob p eine unregelmäßige Primzahl ist . Es ist nicht möglich, eine solche Berechnung unter Verwendung der obigen rekursiven Formeln durchzuführen, da mindestens (ein konstantes Vielfaches von) p 2 arithmetische Operationen erforderlich wären. Glücklicherweise wurden schnellere Verfahren entwickelt, die nur O ( p (log p ) 2 ) -Operationen erfordern (siehe große O- Notation ).

David Harvey beschreibt einen Algorithmus zum Berechnen von Bernoulli-Zahlen, indem er B n modulo p für viele kleine Primzahlen p berechnet und dann B n über den chinesischen Restsatz rekonstruiert . Harvey schreibt, dass die asymptotische Zeitkomplexität dieses Algorithmus O ( n 2 log( n ) 2 + ε ) ist und behauptet, dass diese Implementierung signifikant schneller ist als Implementierungen, die auf anderen Methoden basieren. Unter Verwendung dieser Implementierung berechnete Harvey B n für n = 10 8 . Die Implementierung von Harvey ist seit Version 3.1 in SageMath enthalten . Zuvor berechnete Bernd Kellner im Dezember 2002 B n mit voller Genauigkeit für n = 10 6 und Oleksandr Pavlyk für n = 10 7 mit Mathematica im April 2008.

Rechner Jahr n Ziffern*
J. Bernoulli ~1689 10 1
L. Euler 1748 30 8
JC Adams 1878 62 36
DE Knuth, TJ Buckholtz 1967 1 672 3 330
G. Fee, S. Plouffe 1996 10 000 27 677
G. Fee, S. Plouffe 1996 100 000 376 755
BC Kellner 2002 1 000 000 4 767 529
O. Pavlyk 2008 10 000 000 57 675 260
D. Harvey 2008 100 000 000 676 752 569
* Stellen ist als Exponent von 10 zu verstehen, wenn B n als reelle Zahl in normierter wissenschaftlicher Schreibweise geschrieben wird .

Anwendungen der Bernoulli-Zahlen

Asymptotische Analyse

Die wohl wichtigste Anwendung der Bernoulli-Zahlen in der Mathematik ist ihre Verwendung in der Euler-Maclaurin-Formel . Unter der Annahme, dass f eine hinreichend oft differenzierbare Funktion ist, kann die Euler-Maclaurin-Formel geschrieben werden als

Diese Formulierung geht von der Konvention B
1
= −1/2
. Verwendung der Konvention B+
1
= +1/2
die Formel wird

Hier (dh die Ableitung nullter Ordnung von ist gerade ). Außerdem bezeichne eine Stammfunktion von . Durch den Fundamentalsatz der Analysis ,

Somit lässt sich die letzte Formel weiter zu der folgenden prägnanten Form der Euler-Maclaurin-Formel vereinfachen

Diese Form ist beispielsweise die Quelle für die wichtige Euler-Maclaurin-Entwicklung der Zetafunktion

Dabei bezeichnet s k die steigende Faktorleistung .

Bernoulli-Zahlen werden auch häufig in anderen Arten von asymptotischen Entwicklungen verwendet . Das folgende Beispiel ist die klassische asymptotische Entwicklung der Digamma-Funktion ψ vom Poincaré-Typ .

Summe der Befugnisse

Bernoulli-Zahlen spielen eine herausragende Rolle im geschlossenen Ausdruck der Summe der m- ten Potenzen der ersten n positiven ganzen Zahlen. Für m , n ≥ 0 definiere

Dieser Ausdruck kann immer als Polynom in n vom Grad m + 1 umgeschrieben werden . Die Koeffizienten dieser Polynome sind mit den Bernoulli-Zahlen durch die Bernoulli-Formel verbunden :

wo (m + 1
k
)
bezeichnet denBinomialkoeffizienten.

Nehmen wir beispielsweise m als 1 an, so ergeben sich die Dreieckszahlen 0, 1, 3, 6, ... OEISA000217 .

Wenn m gleich 2 ist, erhält man die quadratischen Pyramidenzahlen 0, 1, 5, 14, ... OEISA000330 .

Einige Autoren verwenden die alternative Konvention für Bernoulli-Zahlen und geben die Bernoulli-Formel auf diese Weise an:

Bernoullis Formel wird manchmal Faulhaber-Formel genannt, nach Johann Faulhaber, der auch bemerkenswerte Wege fand, Potenzsummen zu berechnen .

Faulhabers Formel wurde von V. Guo und J. Zeng zu einem q- Analog verallgemeinert .

Taylor-Reihe

Die Bernoulli-Zahlen erscheinen in der Taylor-Reihenentwicklung vieler trigonometrischer Funktionen und hyperbolischer Funktionen .

Tangente
Kotangens
Hyperbolischer Tangens
Hyperbolischer Kotangens

Laurent-Reihe

Die Bernoulli-Zahlen kommen in der folgenden Laurent-Reihe vor :

Digamma-Funktion :

Verwendung in Topologie

Die Kervaire-Milnor-Formel für die Ordnung der zyklischen Gruppe von Diffeomorphismusklassen exotischer (4 n − 1) -Sphären, die parallelisierbare Mannigfaltigkeiten begrenzen, beinhaltet Bernoulli-Zahlen. Sei ES n die Anzahl solcher exotischer Kugeln für n ≥ 2 , dann

Der Hirzebruchsche Signatursatz für die Gattung L einer glatt orientierten geschlossenen Mannigfaltigkeit der Dimension 4 n beinhaltet auch Bernoulli-Zahlen.

Verbindungen mit kombinatorischen Zahlen

Die Verbindung der Bernoulli-Zahl mit verschiedenen Arten von kombinatorischen Zahlen basiert auf der klassischen Theorie der endlichen Differenzen und auf der kombinatorischen Interpretation der Bernoulli-Zahlen als Instanz eines fundamentalen kombinatorischen Prinzips, des Einschluss-Ausschluss-Prinzips .

Verbindung mit Worpitzky-Zahlen

Die weiterführende Definition wurde 1883 von Julius Worpitzky entwickelt. Neben der elementaren Arithmetik ist nur die Fakultätsfunktion n ! und die Energiefunktion k m verwendet. Die vorzeichenlosen Worpitzky-Zahlen sind definiert als

Sie können auch durch die Stirling-Zahlen zweiter Art ausgedrückt werden

Eine Bernoulli-Zahl wird dann als Einschluss-Ausschluss-Summe von Worpitzky-Zahlen gewichtet mit der harmonischen Folge 1 eingeführt. 1/21/3, ...

B 0 = 1
B 1 = 1 −1/2
B 2 = 1 −3/2 + 2/3
B 3 = 1 −7/2 + 12/36/4
B 4 = 1 −fünfzehn/2 + 50/360/4 + 24/5
B 5 = 1 −31/2 + 180/3390/4 + 360/5120/6
B 6 = 1 −63/2 + 602/32100/4 + 3360/52520/6 + 720/7

Diese Darstellung hat B+
1
= +1/2
.

Betrachten Sie die Folge s n , n 0 . Aus Worpitzkys Zahlen OEISA028246 , OEISA163626 angewendet auf s 0 , s 0 , s 1 , s 0 , s 1 , s 2 , s 0 , s 1 , s 2 , s 3 , ... ist identisch mit dem Akiyama –Tanigawa-Transformation auf s n angewendet (siehe Zusammenhang mit Stirling-Zahlen erster Art ). Dies ist über die Tabelle ersichtlich:

Identität von
Worpitzkys Darstellung und Akiyama-Tanigawa-Transformation
1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 -1 0 2 -2 0 0 3 -3 0 0 0 4 -4
1 -3 2 0 4 -10 6 0 0 9 −21 12
1 -7 12 -6 0 8 −38 54 −24
1 -15 50 −60 24

Die erste Reihe repräsentiert s 0 , s 1 , s 2 , s 3 , s 4 .

Für die zweiten gebrochenen Eulerzahlen OEISA198631 ( n ) / OEISA006519 ( n + 1 ):

E 0 = 1
E 1 = 1 −1/2
E 2 = 1 −3/2 + 2/4
E 3 = 1 -7/2 + 12/46/8
E 4 = 1 −fünfzehn/2 + 50/460/8 + 24/16
E 5 = 1 −31/2 + 180/4390/8 + 360/16120/32
E 6 = 1 −63/2 + 602/42100/8 + 3360/162520/32 + 720/64

Eine zweite Formel, die die Bernoulli-Zahlen durch die Worpitzky-Zahlen repräsentiert, ist für n ≥ 1

Die vereinfachte zweite Worpitzky-Darstellung der zweiten Bernoulli-Zahlen lautet:

OEISA164555 ( n + 1 ) / OEISA027642 ( n + 1 ) =n + 1/2 n + 2 - 2× OEISA198631 ( n ) / OEISA006519 ( n + 1 )

die die zweiten Bernoulli-Zahlen mit den zweiten gebrochenen Euler-Zahlen verknüpft. Der Anfang ist:

1/2, 1/6, 0, −1/30, 0, 1/42, ... = (1/2, 1/3, 3/14, 2/fünfzehn, 5/62, 1/21, ...) × (1, 1/2, 0, −1/4, 0, 1/2, ...)

Die Zähler der ersten Klammern sind OEISA111701 (siehe Zusammenhang mit Stirling-Zahlen erster Art ).

Verbindung mit Stirlingzahlen zweiter Art

Wenn S ( k , m ) bezeichnet Stirling Zahlen der zweiten Art , dann gilt:

wobei j m die fallende Fakultät bezeichnet .

Definiert man die Bernoulli-Polynome B k ( j ) als:

wobei B k für k = 0, 1, 2,... die Bernoulli-Zahlen sind.

Dann nach folgender Eigenschaft des Binomialkoeffizienten :

hat man,

Für Bernoulli-Polynome gilt auch:

Der Koeffizient von j in (j
m + 1
)
ist(−1) m/m + 1.

Vergleicht man den Koeffizienten von j in den beiden Ausdrücken der Bernoulli-Polynome, so erhält man:

(ergibt B 1 = +1/2), die eine explizite Formel für Bernoulli-Zahlen ist und verwendet werden kann, um den Satz von Clausen von Staudt zu beweisen .

Verbindung mit Stirlingzahlen erster Art

Die beiden Hauptformeln, die sich auf die vorzeichenlosen Stirlingzahlen der ersten Art beziehen [n
m
]
zu den Bernoulli-Zahlen (mit B 1 = +1/2) sind

und die Inversion dieser Summe (für n ≥ 0 , m ≥ 0 )

Hier sind die Zahlen A n , m die rationalen Akiyama-Tanigawa-Zahlen, von denen die ersten in der folgenden Tabelle dargestellt sind.

Akiyama-Tanigawa-Zahl
m
n
0 1 2 3 4
0 1 1/2 1/3 1/4 1/5
1 1/2 1/3 1/4 1/5 ...
2 1/6 1/6 3/20 ... ...
3 0 1/30 ... ... ...
4 1/30 ... ... ... ...

Die Akiyama-Tanigawa-Zahlen erfüllen eine einfache Rekursionsbeziehung, die ausgenutzt werden kann, um die Bernoulli-Zahlen iterativ zu berechnen. Dies führt zu dem oben im Abschnitt „algorithmische Beschreibung“ gezeigten Algorithmus. Siehe OEISA051714 / OEISA051715 .

Eine Autosequenz ist eine Sequenz, deren inverse binomiale Transformation gleich der vorzeichenbehafteten Sequenz ist. Wenn die Hauptdiagonale Nullen ist = OEISA000004 , ist die Autosequenz erster Art. Beispiel: OEISA000045 , die Fibonacci-Zahlen. Wenn die Hauptdiagonale die erste obere Diagonale multipliziert mit 2 ist, ist sie von zweiter Art. Beispiel: OEISA164555 / OEISA027642 , die zweite Bernoulli-Nummer (siehe OEISA190339 ). Die auf 2 n = 1/ OEISA000079 angewendete Akiyama-Tanigawa-Transformation führt zu OEISA198631 ( n ) / OEISA06519 ( n + 1). Somit:

Akiyama-Tanigawa-Transformation für die zweiten Euler-Zahlen
m
n
0 1 2 3 4
0 1 1/2 1/4 1/8 1/16
1 1/2 1/2 3/8 1/4 ...
2 0 1/4 3/8 ... ...
3 1/4 1/4 ... ... ...
4 0 ... ... ... ...

Siehe OEISA209308 und OEISA227577 . OEISA198631 ( n ) / OEISA006519 ( n + 1 ) sind die zweiten (gebrochenen) Eulerzahlen und eine Autosequenz zweiter Art.

(OEISA164555 ( n +2 )/OEISA027642 ( n +2 ) = 1/6, 0, −1/30, 0, 1/42, ... ) × (2 n + 3 − 2/n + 2= 3,14/3, fünfzehn/2, 62/5, 21, ... ) =OEISA198631 ( n + 1 )/OEISA006519 ( n + 2 ) = 1/2, 0, −1/4, 0, 1/2, ... .

Auch wertvoll für OEISA027641 / OEISA027642 (siehe Zusammenhang mit Worpitzky-Nummern ).

Verbindung mit dem Pascalschen Dreieck

Es gibt Formeln, die das Pascalsche Dreieck mit den Bernoulli-Zahlen verbinden

wo ist die Determinante eines n-mal-n- Hessenberg-Matrix- Teils des Pascal-Dreiecks, dessen Elemente sind:

Beispiel:

Verbindung mit Eulerschen Zahlen

Es gibt Formeln, die Eulersche Zahlen verbinden n
m
zu Bernoulli-Zahlen:

Beide Formeln gelten für n ≥ 0, wenn B 1 auf gesetzt ist1/2. Wenn B 1 auf − . gesetzt ist1/2sie gelten nur für n 1 bzw. n 2 .

Eine binäre Baumdarstellung

Die Stirling-Polynome σ n ( x ) stehen in Beziehung zu den Bernoulli-Zahlen durch B n = n ! σ n (1) . SC Woon beschrieb einen Algorithmus zur Berechnung von σ n (1) als binären Baum:

SCWoonTree.png

Der rekursive Algorithmus von Woon (für n ≥ 1 ) beginnt mit der Zuweisung von N = [1,2] an den Wurzelknoten . Für einen gegebenen Knoten N = [ a 1 , a 2 , ..., a k ] des Baums ist das linke Kind des Knotens L ( N ) = [− a 1 , a 2 + 1, a 3 , .. ., a k ] und das rechte Kind R ( N ) = [ a 1 , 2, a 2 , ..., a k ] . Ein Knoten N = [ a 1 , a 2 , ..., a k ] wird im Anfangsteil des oben dargestellten Baums als ±[ a 2 , ..., a k ] geschrieben, wobei ± das Vorzeichen von a 1 . bezeichnet .

Gegeben einen Knoten N ist die Fakultät von N definiert als

Beschränkt auf die Knoten N einer festen Baumebene n ist die Summe von1/N !ist σ n (1) , also

Zum Beispiel:

B 1 = 1! (1/2!)
B 2 = 2!(−1/3! + 1/2!2!)
B 3 = 3! (1/4!1/2!3!1/3!2! + 1/2!2!2!)

Integrale Darstellung und Fortsetzung

Das Integral

hat als Sonderwerte b (2 n ) = B 2 n für n > 0 .

Zum Beispiel b (3) =3/2ζ (3) π −3 i und b (5) = −fünfzehn/2ζ (5) π -5 i . Dabei ist ζ die Riemannsche Zetafunktion und i die imaginäre Einheit . Leonhard Euler ( Opera Omnia , Ser. 1, Bd. 10, S. 351) betrachtete diese Zahlen und berechnete

Die Beziehung zu den Eulerzahlen und π

Die Euler-Zahlen sind eine Folge von ganzen Zahlen, die eng mit den Bernoulli-Zahlen verbunden sind. Der Vergleich der asymptotischen Entwicklung der Bernoulli- und der Euler-Zahl zeigt, dass die Euler-Zahlen E 2 n in etwa2/π(4 2 n − 2 2 n ) mal größer als die Bernoulli-Zahlen B 2 n . Als Folge:

Diese asymptotische Gleichung zeigt, dass π in der gemeinsamen Wurzel der Bernoulli- und der Euler-Zahl liegt. Tatsächlich könnte π aus diesen rationalen Näherungen berechnet werden.

Bernoulli-Zahlen können durch die Euler-Zahlen ausgedrückt werden und umgekehrt. Da für ungerade n , B n = E n = 0 (mit der Ausnahme , B 1 ), genügt es , den Fall zu betrachten , wenn n gerade ist.

Diese Umrechnungsformeln drücken einen Zusammenhang zwischen den Bernoulli- und den Euler-Zahlen aus. Aber noch wichtiger ist, dass beide Arten von Zahlen eine tiefe arithmetische Wurzel haben, die durch eine grundlegendere Zahlenfolge ausgedrückt werden kann, die ebenfalls eng mit π verbunden ist . Diese Zahlen sind für n > 1 definiert als

und S 1 = 1 gemäß Konvention. Die Magie dieser Zahlen liegt darin, dass sie sich als rationale Zahlen herausstellen. Dies wurde erstmals von Leonhard Euler in einer wegweisenden Arbeit De summis serierum reciprocarum (Über die Summen von Reihen von Reziproken) nachgewiesen und fasziniert seither Mathematiker. Die ersten paar dieser Zahlen sind

( OEISA099612 / OEISA099617 )

Dies sind die Koeffizienten bei der Entwicklung von sec x + tan x .

Die Bernoulli-Zahlen und Euler-Zahlen sind am besten als spezielle Ansichten dieser Zahlen zu verstehen , ausgewählt aus der Folge S n und skaliert für die Verwendung in speziellen Anwendungen.

Der Ausdruck [ n gerade] hat den Wert 1, wenn n gerade ist und sonst 0 ( Iverson-Klammer ).

Diese Identitäten zeigen, dass der Quotient aus Bernoulli- und Euler-Zahlen am Anfang dieses Abschnitts gerade der Spezialfall von R n =2 S n/S n + 1wenn n gerade ist. Die R n sind rationale Näherungen an π und zwei aufeinanderfolgende Terme umschließen immer den wahren Wert von π . Beginnend mit n = 1 beginnt die Sequenz ( OEISA132049 / OEISA132050 ):

Diese rationalen Zahlen erscheinen auch im letzten Absatz von Eulers oben zitiertem Aufsatz.

Betrachten Sie die Akiyama-Tanigawa-Transformation für die Sequenz OEISA046978 ( n + 2 ) / OEISA016116 ( n + 1 ):

0 1 1/2 0 1/4 1/4 1/8 0
1 1/2 1 3/4 0 5/8 3/4
2 1/2 1/2 9/4 5/2 5/8
3 -1 7/2 3/4 fünfzehn/2
4 5/2 11/2 99/4
5 8 77/2
6 61/2

Ab der zweiten sind die Zähler der ersten Spalte die Nenner der Eulerschen Formel. Die erste Spalte ist −1/2× OEISA163982 .

Eine algorithmische Sichtweise: das Seidel-Dreieck

Die Folge S n hat eine weitere unerwartete, aber wichtige Eigenschaft: Die Nenner von S n teilen die Fakultät ( n  − 1)! . Mit anderen Worten: die Zahlen T n  =  S n ( n  − 1)! , manchmal auch Euler-Zickzack-Zahlen genannt , sind ganze Zahlen.

( OEISA000111 ). Siehe ( OEISA253671 ).

Somit können die obigen Darstellungen der Bernoulli- und Euler-Zahlen in Bezug auf diese Folge umgeschrieben werden als

Diese Identitäten machen es einfach, die Bernoulli- und Euler-Zahlen zu berechnen: Die Euler-Zahlen E n sind sofort gegeben durch T 2 n + 1 und die Bernoulli-Zahlen B 2 n werden aus T 2 n durch einfaches Verschieben erhalten, wobei rationale Arithmetik vermieden wird.

Was bleibt, ist, einen bequemen Weg zu finden, um die Zahlen T n zu berechnen . Doch bereits 1877 veröffentlichte Philipp Ludwig von Seidel einen ausgeklügelten Algorithmus, der die Berechnung von T n vereinfacht .

Seidels Algorithmus für T n
  1. Beginnen Sie damit, 1 in Zeile 0 einzugeben und lassen Sie k die Nummer der Zeile bezeichnen, die gerade gefüllt wird
  2. Wenn k ungerade ist, dann setze die Zahl am linken Ende der Reihe k − 1 an die erste Stelle der Reihe k und fülle die Reihe von links nach rechts, wobei jeder Eintrag die Summe der Zahl bis ist links und die Zahl nach oben
  3. Am Ende der Zeile duplizieren Sie die letzte Zahl.
  4. Wenn k gerade ist, gehen Sie in die andere Richtung ähnlich vor.

Der Algorithmus von Seidel ist in der Tat viel allgemeiner (siehe die Darstellung von Dominique Dumont) und wurde danach mehrmals wiederentdeckt.

Ähnlich wie Seidels Ansatz gaben DE Knuth und TJ Buckholtz eine Rekursionsgleichung für die Zahlen T 2 n und empfahlen diese Methode zur Berechnung von B 2 n und E 2 n 'auf elektronischen Computern mit nur einfachen Operationen auf ganzen Zahlen'.

VI Arnold entdeckte Seidels Algorithmus wieder und später machten Millar, Sloane und Young Seidels Algorithmus unter dem Namen boustrophedon transform bekannt .

Dreiecksform:

1
1 1
2 2 1
2 4 5 5
16 16 14 10 5
16 32 46 56 61 61
272 272 256 224 178 122 61

Nur OEISA000657 , mit einer 1 und OEISA214267 , mit zwei 1 sind im OEIS enthalten.

Verteilung mit einer zusätzlichen 1 und einer 0 in den folgenden Zeilen:

1
0 1
-1 -1 0
0 -1 -2 -2
5 5 4 2 0
0 5 10 14 16 16
−61 −61 −56 −46 −32 -16 0

Dies ist OEISA239005 , eine signierte Version von OEISA008280 . Die Hauptandiagonale ist OEISA122045 . Die Hauptdiagonale ist OEISA155585 . Die zentrale Spalte ist OEISA099023 . Zeilensummen: 1, 1, −2, −5, 16, 61.... Siehe OEISA163747 . Siehe das Array, das mit 1, 1, 0, −2, 0, 16, 0 unten beginnt.

Der auf OEISA046978 ( n + 1 ) / OEISA016116 ( n ) angewendete Akiyama-Tanigawa-Algorithmus ergibt:

1 1 1/2 0 1/4 1/4 1/8
0 1 3/2 1 0 3/4
-1 -1 3/2 4 fünfzehn/4
0 -5 fünfzehn/2 1
5 5 51/2
0 61
−61

1. Die erste Spalte ist OEISA122045 . Seine Binomialtransformation führt zu:

1 1 0 -2 0 16 0
0 -1 -2 2 16 -16
-1 -1 4 14 −32
0 5 10 −46
5 5 −56
0 −61
−61

Die erste Zeile dieses Arrays ist OEISA155585 . Die absoluten Werte der steigenden Antidiagonalen sind OEISA008280 . Die Summe der Antidiagonalen ist OEISA163747 ( n + 1 ).

2. Die zweite Spalte ist 1 1 −1 −5 5 61 −61 −1385 1385... . Seine Binomialtransformation liefert:

1 2 2 -4 -16 32 272
1 0 -6 -12 48 240
-1 -6 -6 60 192
-5 0 66 32
5 66 66
61 0
−61

Die erste Zeile dieses Arrays ist 1 2 2 -4 -16 32 272 544 -7936 15872 353792 -707584... . Die Absolutwerte der zweiten Halbierung sind das Doppelte der Absolutwerte der ersten Halbierung.

Betrachten Sie den auf OEIS angewendeten Akiyama-Tanigawa-Algorithmus A046978 ( n ) / ( OEISA158780 ( n + 1 ) = abs( OEISA117575 ( n )) + 1 = 1, 2, 2,3/2, 1, 3/4, 3/4, 7/8, 1, 17/16, 17/16, 33/32... .

1 2 2 3/2 1 3/4 3/4
-1 0 3/2 2 5/4 0
-1 -3 3/2 3 25/4
2 -3 27/2 −13
5 21 3/2
-16 45
−61

Die erste Spalte, deren Absolutwerte OEISA000111 sind, könnte der Zähler einer trigonometrischen Funktion sein.

OEISA163747 ist eine Autosequenz erster Art (die Hauptdiagonale ist OEISA000004 ). Das entsprechende Array ist:

0 -1 -1 2 5 -16 −61
-1 0 3 3 −21 −45
1 3 0 −24 −24
2 -3 −24 0
-5 −21 24
-16 45
−61

Die ersten beiden oberen Diagonalen sind −1 3 −24 402... = (−1) n + 1  ×  OEISA002832 . Die Summe der Antidiagonalen ist 0 −2 0 10... = 2 ×  OEISA122045 ( n  + 1).

OEISA163982 ist eine Autosequenz zweiter Art, wie zB OEISA164555 / OEISA027642 . Daher das Array:

2 1 -1 -2 5 16 −61
-1 -2 -1 7 11 −77
-1 1 8 4 −88
2 7 -4 −92
5 -11 −88
-16 −77
−61

Die Hauptdiagonale, hier 2 −2 8 −92... , ist das Doppelte der ersten oberen, hier OEISA099023 . Die Summe der Antidiagonalen beträgt 2 0 −4 0... = 2 ×  OEISA155585 ( n + 1). OEISA163747  −  OEISA163982 = 2 ×  OEISA122045 .

Eine kombinatorische Sichtweise: alternierende Permutationen

Um 1880, drei Jahre nach der Veröffentlichung von Seidels Algorithmus, bewies Désiré André ein heute klassisches Ergebnis der kombinatorischen Analyse. Beim Betrachten der ersten Terme der Taylor-Entwicklung der trigonometrischen Funktionen tan x und sec x machte André eine verblüffende Entdeckung.

Die Koeffizienten sind die Euler-Zahlen des ungeraden bzw. geraden Index. Folglich hat die gewöhnliche Entwicklung von tan x + sec x als Koeffizienten die rationalen Zahlen S n .

André gelang es dann mit einem Rekursionsargument zu zeigen, dass die alternierenden Permutationen ungerader Größe durch die Euler-Zahlen ungeraden Index (auch Tangenszahlen genannt) und die alternierenden Permutationen gerader Größe durch die Euler-Zahlen geraden Index (auch genannt) aufgezählt werden Sekantenzahlen).

Verwandte Sequenzen

Das arithmetische Mittel der ersten und der zweiten Bernoulli-Zahl sind die zugehörigen Bernoulli-Zahlen: B 0 = 1 , B 1 = 0 , B 2 =1/6, B 3 = 0 , B 4 = -1/30, OEISA176327 / OEISA027642 . Über die zweite Reihe ihrer inversen Akiyama-Tanigawa-Transformation OEISA177427 führen sie zur Balmer-Reihe OEISA061037 / OEISA061038 .

Der Akiyama-Tanigawa-Algorithmus, angewendet auf OEISA060819 ( n + 4 ) / OEISA145979 ( n ) führt zu den Bernoulli-Zahlen OEISA027641 / OEISA027642 , OEISA164555 / OEISA027642 A , oder OEISA027642 A , oder OEIS OEIS176 ohne B 1 , genannt intrinsische Bernoulli - Zahlen B i ( n ) .

1 5/6 3/4 7/10 2/3
1/6 1/6 3/20 2/fünfzehn 5/42
0 1/30 1/20 2/35 5/84
1/30 1/30 3/140 1/105 0
0 1/42 1/28 4/105 1/28

Daher eine weitere Verbindung zwischen den intrinsischen Bernoulli-Zahlen und der Balmer-Reihe über OEISA145979 ( n ).

OEISA145979 ( n − 2 ) = 0, 2, 1, 6,... ist eine Permutation der nicht-negativen Zahlen.

Die Terme der ersten Zeile sind f(n) = 1/2 + 1/n + 2. 2 ist f(n) eine Autosequenz zweiter Art. 3/2, f(n) führt durch seine inverse Binomialtransformation zu 3/2 −1/2 1/3 −1/4 1/5 ... = 1/2 + log 2.

Betrachten Sie g(n) = 1/2 - 1 / (n+2) = 0, 1/6, 1/4, 3/10, 1/3. Die Akiyama-Tanagiwa-Transformation ergibt:

0 1/6 1/4 3/10 1/3 5/14 ...
1/6 1/6 3/20 2/fünfzehn 5/42 3/28 ...
0 1/30 1/20 2/35 5/84 5/84 ...
1/30 1/30 3/140 1/105 0 1/140 ...

0, g(n), ist eine Autosequenz zweiter Art.

Euler OEISA198631 ( n ) / OEISA006519 ( n + 1 ) ohne den zweiten Term (1/2) sind die gebrochenen intrinsischen Eulerzahlen E i ( n ) = 1, 0, −1/4, 0, 1/2, 0, −17/8, 0, ... Die entsprechende Akiyama-Transformation lautet:

1 1 7/8 3/4 21/32
0 1/4 3/8 3/8 5/16
1/4 1/4 0 1/4 25/64
0 1/2 3/4 9/16 5/32
1/2 1/2 9/16 13/8 125/64

Die erste Zeile ist Eu ( n ) . Eu ( n ) mit einer vorangestellten Null ist eine Autosequenz erster Art. Es ist mit den Oresme-Nummern verknüpft. Die Zähler der zweiten Zeile sind OEISA069834 mit 0 vorangestellt. Die Differenztabelle lautet:

0 1 1 7/8 3/4 21/32 19/32
1 0 1/8 1/8 3/32 1/16 5/128
-1 1/8 0 1/32 1/32 3/128 1/64

Arithmetische Eigenschaften der Bernoulli-Zahlen

Die Bernoulli-Zahlen können mit der Riemannschen Zetafunktion ausgedrückt werden als B n = − (1 − n ) für ganze Zahlen n ≥ 0 vorausgesetzt für n = 0 wird der Ausdruck (1 − n ) als Grenzwert verstanden und die Konvention B 1 =1/2wird genutzt. Dies hängt eng mit den Werten der Zetafunktion bei negativen ganzen Zahlen zusammen. Als solche kann erwartet werden, dass sie tiefe arithmetische Eigenschaften haben und haben. Zum Beispiel postuliert die Agoh-Giuga-Vermutung , dass p genau dann eine Primzahl ist, wenn pB p − 1 kongruent zu −1 modulo p ist . Teilbarkeit Eigenschaften der Bernoulli - Zahlen sind auf die im Zusammenhang ideal Klassengruppen von zyklotomische Felder durch einen Satz von Kummer und seine Verstärkung in der Herbrand-Ribet Satz , und Klassenzahlen von reell quadratischen Feldern von Ankeny-Artin-Chowla .

Die Kummer-Theoreme

Die Bernoulli-Zahlen sind mit dem letzten Satz von Fermat (FLT) durch den Satz von Kummer verbunden , der sagt:

Wenn die ungerade Primzahl p keinen der Zähler der Bernoulli-Zahlen B 2 , B 4 , ..., B p − 3 teilt , dann hat x p + y p + z p = 0 keine Lösungen in ganzen Zahlen ungleich null.

Primzahlen mit dieser Eigenschaft heißen reguläre Primzahlen . Ein weiteres klassisches Ergebnis von Kummer sind die folgenden Kongruenzen .

Sei p eine ungerade Primzahl und b eine gerade Zahl, so dass p  − 1 b nicht teilt . Dann gilt für jede nicht negative ganze Zahl k

Eine Verallgemeinerung dieser Kongruenzen wird als p- adische Kontinuität bezeichnet.

p -adische Kontinuität

Wenn b , m und n positive ganze Zahlen sind, so dass m und n nicht durch p − 1 teilbar sind und mn (mod p b − 1 ( p − 1)) , dann

Da B n = − (1 − n ) , kann dies auch geschrieben werden

wobei u = 1 − m und v = 1 − n , so dass u und v nichtpositiv und nicht kongruent zu 1 modulo p − 1 sind . Dies sagt uns, dass die Riemannsche Zetafunktion mit 1 − p s aus der Eulerschen Produktformel stetig in den p -adischen Zahlen auf ungeraden negativen ganzen Zahlen kongruent modulo p − 1 zu einem bestimmten a ≢ 1 mod ( p − 1) , und kann so zu einer stetigen Funktion ζ p ( s ) für alle p- adischen ganzen Zahlen der p- adischen Zeta-Funktion erweitert werden .

Ramanujans Kongruenzen

Die folgenden Beziehungen aufgrund von Ramanujan bieten eine Methode zur Berechnung von Bernoulli-Zahlen, die effizienter ist als die, die durch ihre ursprüngliche rekursive Definition gegeben ist:

Satz von Staudt-Clausen

Das von Staudt-Clausen Theorem gegeben wurde Karl Georg Christian von Staudt und Thomas Clausen unabhängig in 1840. Das Theorem besagt , dass für jeden n > 0 ,

ist eine ganze Zahl. Die Summe erstreckt sich über alle Primzahlen p, für die p − 1 2 n teilt .

Daraus folgt, dass der Nenner von B 2 n durch das Produkt aller Primzahlen p gegeben ist, für die p − 1 2 n teilt . Insbesondere sind diese Nenner quadratfrei und durch 6 teilbar.

Warum verschwinden die ungeraden Bernoulli-Zahlen?

Die Summe

kann für negative Werte des Indexes n ausgewertet werden . Dadurch wird gezeigt, dass es sich um eine ungerade Funktion für gerade Werte von k handelt , was impliziert, dass die Summe nur Terme mit ungeradem Index hat. Dies und die Formel für die Bernoulli-Summe implizieren, dass B 2 k + 1 − m 0 für m gerade ist und 2 k + 1 − m > 1 ; und dass der Term für B 1 durch die Subtraktion aufgehoben wird. Auch auf diese Frage gibt der Satz von Staudt-Clausen in Kombination mit der Worpitzky-Darstellung eine kombinatorische Antwort (gültig für n > 1).

Aus dem Satz von Staudt-Clausen ist bekannt, dass für ungerade n > 1 die Zahl 2 B n eine ganze Zahl ist. Dies erscheint trivial, wenn man vorher weiß, dass die fragliche ganze Zahl Null ist. Durch Anwendung der Worpitzky-Darstellung erhält man jedoch

als Summe ganzer Zahlen , was nicht trivial ist. Hier tritt eine kombinatorische Tatsache an die Oberfläche, die das Verschwinden der Bernoulli-Zahlen bei ungeradem Index erklärt. Sei S n , m die Anzahl der surjektiven Abbildungen von {1, 2, ..., n } bis {1, 2, ..., m }, dann ist S n , m = m ! {n
m
}
. Die letzte Gleichung kann nur gelten, wenn

Diese Gleichung kann durch Induktion bewiesen werden. Die ersten beiden Beispiele dieser Gleichung sind

n = 4: 2 + 8 = 7 + 3 ,
n = 6: 2 + 120 + 144 = 31 + 195 + 40 .

Somit verschwinden die Bernoulli-Zahlen bei ungeradem Index, weil einige nicht offensichtliche kombinatorische Identitäten in den Bernoulli-Zahlen enthalten sind.

Eine Neuformulierung der Riemann-Hypothese

Die Verbindung zwischen den Bernoulli-Zahlen und der Riemann-Zeta-Funktion ist stark genug, um eine alternative Formulierung der Riemann-Hypothese (RH) bereitzustellen, die nur die Bernoulli-Zahl verwendet. Tatsächlich hat Marcel Riesz bewiesen, dass die RH der folgenden Behauptung entspricht:

Für jedes ε >1/4es gibt eine Konstante C ε > 0 (abhängig von ε ) mit | R ( x ) | < C ε x ε als x → ∞ .

Hier ist R ( x ) die Riesz-Funktion

n k bezeichnet die steigende Fakultätspotenz in der Schreibweise von DE Knuth . Die Zahlen β n =B nein/nkommen beim Studium der Zeta-Funktion häufig vor und sind signifikant, weil β n eine p- Ganzzahl für Primzahlen p ist, wobei p − 1 n nicht teilt . Die β n heißen geteilte Bernoulli-Zahlen .

Verallgemeinerte Bernoulli-Zahlen

Die generaliBernoUlli - Zahlen sind bestimmte algebraischen Zahlen , ähnlich den Bernoulli - Zahlen definiert, die zu verwandt sind spezielle Werte von Dirichlet L -Funktionen in der gleichen Weise, Bernoulli - Zahlen auf spezielle Werte der Riemann zeta Funktion verwandt sind.

Sei χ ein Dirichlet-Zeichen modulo f . Die an χ angehängten verallgemeinerten Bernoulli-Zahlen sind definiert durch

Abgesehen von der Ausnahme B 1,1 =1/2, Die wir haben, für jeden Dirichlet Charakter χ , dass B k , χ = 0 , wenn χ (-1) ≠ (-1) k .

Verallgemeinert man die Beziehung zwischen Bernoulli-Zahlen und Werten der Riemannschen Zetafunktion bei nicht positiven ganzen Zahlen, so gilt für alle ganzen Zahlen k ≥ 1 :

wobei L ( s , χ ) die Dirichlet- L-Funktion von χ ist .

Anhang

Verschiedene Identitäten

  • Umbralkalkül gibt eine kompakte Form der Bernoulli-Formel unter Verwendung eines abstrakten Symbols B :

    wobei das bei Binomialentwicklung des eingeklammerten Termes auftretende Symbol B k durch die Bernoulli-Zahl B k zu ersetzen ist (und B 1 = +1/2). Suggestiver und mnemonischer kann dies als bestimmtes Integral geschrieben werden:

    Viele andere Bernoulli-Identitäten können mit diesem Symbol kompakt geschrieben werden, zB

  • Sei n nicht negativ und gerade
  • Die n- te Kumulante der gleichmäßigen Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Intervall [−1, 0] istB nein/n.
  • Sei n ? =1/n !und n 1 . Dann ist B n die folgende ( n + 1) × ( n + 1) Determinante:
    Die Determinante ist also σ n (1) , das Stirling-Polynom bei x = 1 .
  • Für geradzahlige Bernoulli-Zahlen ist B 2 p gegeben durch die ( p + 1) × ( p + 1) Determinante:
  • Sei n ≥ 1 . Dann ( Leonhard Euler )
  • Sei n ≥ 1 . Dann
  • Sei n ≥ 0 . Dann ( Leopold Kronecker 1883)
  • Sei n ≥ 1 und m ≥ 1 . Dann
  • Sei n ≥ 4 und
    die harmonische Zahl . Dann (H. Miki 1978)
  • Sei n ≥ 4 . Yuri Matiyasevich gefunden (1997)
  • Faber – PandharipandeZagier – Gessel Identität : für n ≥ 1 ,
    Die Wahl von x = 0 oder x = 1 ergibt die Bernoulli-Zahlenidentität in der einen oder anderen Konvention.
  • Die nächste Formel gilt für n ≥ 0, wenn B 1 = B 1 (1) =1/2, aber nur für n ≥ 1 wenn B 1 = B 1 (0) = −1/2.
  • Sei n ≥ 0 . Dann
    und
  • Eine Reziprozitätsbeziehung von M. B. Gelfand:

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Fußnoten

Externe Links