Binäre Operation -Binary operation

Eine binäre Operation ist eine Regel zum Kombinieren der Argumente x und y , um sie zu erzeugen${\displaystyle\circ}$${\displaystyle x\circ y}$

In der Mathematik ist eine binäre Operation oder dyadische Operation eine Regel zum Kombinieren zweier Elemente ( Operanden genannt ), um ein anderes Element zu erzeugen. Formaler ausgedrückt ist eine binäre Operation eine Operation mit der Zweitzahl .

Genauer gesagt ist eine binäre Operation an einer Menge eine Operation, deren zwei Domänen und die Kodomäne dieselbe Menge sind. Beispiele sind die bekannten Rechenoperationen Addition , Subtraktion und Multiplikation . Andere Beispiele finden sich leicht in verschiedenen Bereichen der Mathematik, wie Vektoraddition , Matrizenmultiplikation und Konjugation in Gruppen .

Eine Operation der Zweitzahl, an der mehrere Mengen beteiligt sind, wird manchmal auch als binäre Operation bezeichnet . Beispielsweise benötigt die Skalarmultiplikation von Vektorräumen einen Skalar und einen Vektor, um einen Vektor zu erzeugen, und ein Skalarprodukt benötigt zwei Vektoren, um einen Skalar zu erzeugen. Solche binären Operationen können einfach binäre Funktionen genannt werden .

Binäre Operationen sind der Grundpfeiler der meisten algebraischen Strukturen , die in der Algebra untersucht werden , insbesondere in Halbgruppen , Monoiden , Gruppen , Ringen , Körpern und Vektorräumen .

Terminologie

Genauer gesagt ist eine binäre Operation auf einer Menge S eine Abbildung der Elemente des kartesischen Produkts S × S auf S :

${\displaystyle \,f\colon S\times S\rightarrow S.}$

Da das Ergebnis der Durchführung der Operation an einem Paar von Elementen von S wieder ein Element von S ist, wird die Operation als geschlossene (oder interne ) binäre Operation auf S bezeichnet (oder manchmal als mit der Eigenschaft des Abschlusses ausgedrückt ).

Wenn f keine Funktion , sondern eine partielle Funktion ist, dann heißt f eine partielle binäre Operation . Zum Beispiel ist die Division reeller Zahlen eine teilweise binäre Operation, da man nicht durch Null dividieren kann : a /0 ist für jede reelle Zahl a undefiniert . Sowohl in der universellen Algebra als auch in der Modelltheorie müssen binäre Operationen für alle Elemente von S × S definiert werden .

Manchmal, besonders in der Informatik , wird der Begriff binäre Operation für jede beliebige binäre Funktion verwendet .

Eigenschaften und Beispiele

Typische Beispiele für binäre Operationen sind die Addition (+) und Multiplikation (×) von Zahlen und Matrizen sowie die Zusammensetzung von Funktionen auf einer einzigen Menge. Zum Beispiel,

• Auf der Menge der reellen Zahlen R ist f ( a , b ) = a + b eine binäre Operation, da die Summe zweier reeller Zahlen eine reelle Zahl ist.
• Auf der Menge der natürlichen Zahlen N ist f ( a , b ) = a + b eine binäre Operation, da die Summe zweier natürlicher Zahlen eine natürliche Zahl ist. Dies ist eine andere binäre Operation als die vorherige, da die Sätze unterschiedlich sind.
• Auf der Menge M(2, R ) von 2 × 2 - Matrizen mit reellen Einträgen ist f ( A , B ) = A + B eine binäre Operation, da die Summe zweier solcher Matrizen eine 2 × 2 -Matrix ist.
• Auf der Menge M(2, R ) von 2 × 2 - Matrizen mit reellen Einträgen ist f ( A , B ) = AB eine binäre Operation, da das Produkt zweier solcher Matrizen eine 2 × 2 -Matrix ist.
• Für eine gegebene Menge C sei S die Menge aller Funktionen h  : C → C . Definiere f  : S × S → S durch f ( h ₁ , h ₂ )( c ) = ( h ₁ ∘ h ₂ ) ( c ) = h ₁ ( h ₂ ( c )) für alle c ∈ C , die Zusammensetzung von die beiden Funktionen h ₁ und h ₂ in S . Dann ist f eine binäre Operation, da die Zusammensetzung der beiden Funktionen wieder eine Funktion auf der Menge C ist (d. h. ein Mitglied von S ).

Viele binäre Operationen, die sowohl in der Algebra als auch in der formalen Logik von Interesse sind, sind kommutativ und erfüllen f ( a , b ) = f ( b , a ) für alle Elemente a und b in S oder assoziativ und erfüllen f ( f ( a , b ). c ) = f ( a , f ( b , c )) für alle a , b und c in S . Viele haben auch Identitätselemente und inverse Elemente .

Die ersten drei obigen Beispiele sind kommutativ und alle obigen Beispiele sind assoziativ.

Auf der Menge der reellen Zahlen R ist die Subtraktion , d. h. f ( a , b ) = a − b , eine binäre Operation, die nicht kommutativ ist, da im Allgemeinen a − b ≠ b − a . Es ist auch nicht assoziativ, da im Allgemeinen a − ( b − c ) ≠ ( a − b ) − c ; zum Beispiel 1 − (2 − 3) = 2 , aber (1 − 2) − 3 = −4 .

Auf der Menge der natürlichen Zahlen N ist die Potenzierung der binären Operation f ( a , b ) = a ^b nicht kommutativ, da a b ^≠ b a ⁽ vgl. Gleichung x ^y = y ^x ), und ist auch nicht assoziativ, da f ( f ( ein , b ), c ​​) ≠ f ( ein , f ( b , c )) . Zum Beispiel mit a = 2 , b = 3 und c = 2 , f (2 ³ ,2) = f (8,2) = 8 ² = 64 , aber f (2,3 ² ) = f (2, 9) = 2 ⁹ = 512 . Durch Ändern der Menge N in die Menge der ganzen Zahlen Z wird diese binäre Operation zu einer partiellen binären Operation, da sie nun undefiniert ist, wenn a = 0 und b eine beliebige negative ganze Zahl ist. Für jede Menge hat diese Operation eine richtige Identität (die 1 ist), da f ( a , 1) = a für alle a in der Menge, was keine Identität (zweiseitige Identität) ist, da f (1, b ) ≠ b im Allgemeinen.

Division (/), eine teilweise binäre Operation auf der Menge reeller oder rationaler Zahlen, ist nicht kommutativ oder assoziativ. Tetration (↑↑), als binäre Operation auf den natürlichen Zahlen, ist nicht kommutativ oder assoziativ und hat kein Identitätselement.

Notation

Binäre Operationen werden oft unter Verwendung der Infix-Notation wie a ∗ b , a + b , a · b oder (durch Nebeneinanderstellung ohne Symbol) ab geschrieben, anstatt durch funktionale Notation der Form f ( a , b ) . Potenzen werden normalerweise auch ohne Operator geschrieben, aber mit dem zweiten Argument als hochgestelltem .

Binäre Operationen werden manchmal in Präfix- oder (häufiger) Postfix-Notation geschrieben, die beide auf Klammern verzichten. Sie werden auch als polnische Notation bzw. umgekehrte polnische Notation bezeichnet .

Paar und Tupel

Eine binäre Operation, ab , hängt von dem geordneten Paar ( a , b ) und somit ( ab ) c ab (wobei die Klammern hier bedeuten, dass zuerst das geordnete Paar ( a , b ) und dann das Ergebnis davon unter Verwendung des geordneten operiert wird Paar (( ab ), c ​​)) hängt im Allgemeinen von dem geordneten Paar (( a , b ), c ​​) ab. Somit können für den allgemeinen, nicht assoziativen Fall binäre Operationen mit binären Bäumen dargestellt werden .

Aber:

• Wenn die Operation assoziativ ist, ( ab ) c = a ( bc ), dann hängt der Wert von ( ab ) c nur von dem Tupel ( a , b , c ) ab.
• Wenn die Operation kommutativ ist, ab = ba , dann hängt der Wert von ( ab ) c nur von { { a , b }, c } ab, wobei geschweifte Klammern Multisets angeben .
• Wenn die Operation sowohl assoziativ als auch kommutativ ist, hängt der Wert von ( ab ) c nur von der Multimenge { a , b , c } ab.
• Wenn die Operation assoziativ, kommutativ und idempotent ist, aa = a , dann hängt der Wert von ( ab ) c nur von der Menge { a , b , c } ab.

Binäre Operationen als ternäre Relationen

Eine binäre Operation f auf einer Menge S kann als ternäre Relation auf S betrachtet werden, d. h. die Menge der Tripel ( a , b , f ( a,b )) in S × S × S für alle a und b in S .

Externe binäre Operationen

Eine externe binäre Operation ist eine binäre Funktion von K × S bis S . Dies unterscheidet sich von einer binären Operation auf einer Menge insofern, als K nicht S sein muss ; seine Elemente kommen von außen .

Ein Beispiel für eine externe binäre Operation ist die Skalarmultiplikation in der linearen Algebra . Hier ist K ein Körper und S ein Vektorraum über diesem Körper.

Einige externe binäre Operationen können alternativ als eine Aktion von K auf S angesehen werden . Dies erfordert die Existenz einer assoziativen Multiplikation in K und einer Kompatibilitätsregel der Form wobei und (hier werden sowohl die externe Operation als auch die Multiplikation in K durch Nebeneinanderstellung bezeichnet). ${\displaystyle a(bs)=(ab)s,}$${\displaystyle a,b\in K}$${\displaystyle s\in S}$

Das Skalarprodukt zweier Vektoren bildet S × S auf K ab , wobei K ein Körper und S ein Vektorraum über K ist . Es hängt von den Autoren ab, ob es sich um eine binäre Operation handelt.

Siehe auch

• Kategorie:Eigenschaften binärer Operationen
• Iterierte binäre Operation
• Bediener (Programmierung)
• Ternärer Betrieb
• Wahrheitstabelle#Binäre Operationen
• Unärer Betrieb
• Magma (Algebra) , eine Menge, die mit einer binären Operation ausgestattet ist.

Anmerkungen

Verweise

• Fraleigh, John B. (1976), Ein erster Kurs in abstrakter Algebra (2. Aufl.), Lesen: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
• Hall Jr., Marshall (1959), The Theory of Groups , New York: Macmillan
• Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Angewandte Algebra: Codes, Chiffren und diskrete Algorithmen , Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8
• Rotman, Joseph J. (1973), The Theory of Groups: An Introduction (2. Aufl.), Boston: Allyn and Bacon

Externe Links

• Weisstein, Eric W. „Binäre Operation“ . MathWorld .