Boolescher Primidealsatz - Boolean prime ideal theorem

In der Mathematik besagt der Boolesche Primidealsatz , dass Ideale in einer Booleschen Algebra zu Primidealen erweitert werden können . Eine Variation dieser Aussage für Filter auf Mengen ist als Ultrafilter-Lemma bekannt . Andere Theoreme erhält man, indem man verschiedene mathematische Strukturen mit entsprechenden Idealvorstellungen betrachtet, zum Beispiel Ringe und Primideale (der Ringtheorie) oder Verteilungsgitter und Maximalideale (der Ordnungstheorie ). Dieser Artikel konzentriert sich auf Primidealsätze aus der Ordnungstheorie.

Obwohl die verschiedenen Primidealsätze einfach und intuitiv erscheinen mögen, können sie ohne das Auswahlaxiom (abgekürzt ZF) nicht allgemein aus den Axiomen der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie abgeleitet werden. Stattdessen erweisen sich einige der Aussagen als äquivalent zum Auswahlaxiom (AC), während andere – zum Beispiel der Boolesche Primidealsatz – eine Eigenschaft darstellen, die strikt schwächer ist als AC. Aufgrund dieses Zwischenzustandes zwischen ZF und ZF + AC (ZFC) wird der Boolesche Primidealsatz oft als Axiom der Mengenlehre verwendet. Die Abkürzungen BPI oder PIT (für Boolesche Algebren) werden manchmal verwendet, um auf dieses zusätzliche Axiom zu verweisen.

Primideale Sätze

Ein Ordnungsideal ist eine (nicht leere) gerichtete untere Menge . Wenn die betrachtete teilweise geordnete Menge (poset) binäres Suprema (auch bekannt als Joins ) hat, wie es die Posets in diesem Artikel tun, dann wird dies äquivalent als nichtleere untere Menge I charakterisiert , die für binäres Suprema abgeschlossen ist (dh impliziert ) . Ein Ideal I ist prim, wenn sein mengentheoretisches Komplement im Poset ein Filter ist ( dh impliziert oder ). Ideale sind richtig, wenn sie nicht der ganzen Pose entsprechen.

Historisch betrachtet bezog sich die erste Aussage zu späteren Primidealsätzen tatsächlich auf Filter – Teilmengen, die Ideale in Bezug auf die duale Ordnung sind. Das Ultrafilter-Lemma besagt, dass jeder Filter eines Satzes in einem maximalen (richtigen) Filter enthalten ist – einem Ultrafilter . Denken Sie daran, dass Filter auf Mengen richtige Filter der Booleschen Algebra ihres Powersets sind . In diesem speziellen Fall fallen Maximalfilter (dh Filter, die keine strikten Teilmengen eines richtigen Filters sind) und Primfilter (dh Filter, die mit jeder Vereinigung von Teilmengen X und Y auch X oder Y enthalten ) zusammen. Das Dual dieser Aussage stellt somit sicher, dass jedes Ideal einer Potenzmenge in einem Primideal enthalten ist.

Die obige Aussage führte zu verschiedenen verallgemeinerten Primidealsätzen, von denen jeder in einer schwachen und in einer starken Form existiert. Schwache Primidealsätze besagen, dass jede nicht-triviale Algebra einer bestimmten Klasse mindestens ein Primideal hat. Im Gegensatz dazu erfordern starke Primidealsätze , dass jedes Ideal, das von einem gegebenen Filter disjunkt ist, zu einem Primideal erweitert werden kann, das immer noch von diesem Filter disjunkt ist. Bei Algebren, die keine Posets sind, verwendet man anstelle von Filtern andere Unterstrukturen. Viele Formen dieser Theoreme sind tatsächlich als äquivalent bekannt, so dass die Aussage, dass "PIT" gilt, normalerweise als die Aussage genommen wird, dass die entsprechende Aussage für Boolesche Algebren (BPI) gültig ist.

Eine andere Variation ähnlicher Theoreme wird erhalten, indem jedes Vorkommen eines Primideals durch ein maximales Ideal ersetzt wird . Die entsprechenden maximalen idealen Theoreme (MIT) sind oft – wenn auch nicht immer – stärker als ihre PIT-Äquivalente.

Boolescher Primidealsatz

Der Boolesche Primidealsatz ist der starke Primidealsatz für Boolesche Algebren. Somit lautet die formale Aussage:

Lassen B eine Boolesche Algebra, so gehe ich ein idealer und sei F ein Filter sein , B , so dass ich und F sind disjunkt . Dann ist I in einem von F disjunkten Primideal von B enthalten .

Der Idealsatz der schwachen Primzahlen für Boolesche Algebren besagt einfach:

Jede Boolesche Algebra enthält ein Primideal.

Wir bezeichnen diese Aussagen als den schwachen und starken BPI . Die beiden sind äquivalent, da der starke BPI eindeutig den schwachen BPI impliziert, und die umgekehrte Implikation kann erreicht werden, indem der schwache BPI verwendet wird, um Primideale in der entsprechenden Quotientenalgebra zu finden.

Der BPI kann auf verschiedene Weise ausgedrückt werden. Erinnern Sie sich zu diesem Zweck an den folgenden Satz:

Für jedes Ideal I einer Booleschen Algebra B ist Folgendes äquivalent:

  • I ist ein Primideal.
  • I ist ein maximales Ideal, dh für jedes echte Ideal J , wenn I in J enthalten ist, dann ist I = J .
  • Für jedes Element ein aus B , I enthält genau einen von { a , ¬ a }.

Dieser Satz ist eine bekannte Tatsache für Boolesche Algebren. Sein Dual stellt die Äquivalenz von Primärfiltern und Ultrafiltern her. Beachten Sie, dass die letzte Eigenschaft tatsächlich selbstdual ist – nur die vorherige Annahme, dass I ein Ideal ist, gibt die vollständige Charakterisierung. Alle Implikationen dieses Satzes können in ZF bewiesen werden.

Somit ist der folgende (starke) maximale Idealsatz (MIT) für Boolesche Algebren äquivalent zu BPI:

Sei B eine Boolesche Algebra, sei I ein Ideal und sei F ein Filter von B , sodass I und F disjunkt sind. Dann ist I in einem maximalen Ideal von B enthalten , das von F disjunkt ist .

Beachten Sie, dass man "globale" Maximalität erfordert, nicht nur Maximalität in Bezug auf die Disjunktion von F . Diese Variation führt jedoch zu einer anderen äquivalenten Charakterisierung des BPI:

Sei B eine Boolesche Algebra, sei I ein Ideal und sei F ein Filter von B , sodass I und F disjunkt sind. Dann ist I in einem Ideal von B enthalten , das unter allen von F disjunkten Idealen maximal ist .

Die Tatsache, dass diese Aussage zu BPI äquivalent ist, lässt sich leicht nachweisen, indem man den folgenden Satz beachtet: Wenn für jedes Verteilungsgitter L ein Ideal I maximal unter allen Idealen von L ist , die zu einem gegebenen Filter F disjunkt sind , dann ist I ein Primideal . Der Beweis für diese Aussage (der wiederum in der ZF-Mengentheorie durchgeführt werden kann) ist im Artikel über Ideale enthalten. Da jede Boolesche Algebra ein Verteilungsgitter ist, zeigt dies die gewünschte Implikation.

Alle obigen Aussagen sind nun leicht als gleichwertig anzusehen. Noch weitergehend kann man die Tatsache ausnutzen, dass die dualen Ordnungen der Booleschen Algebren genau die Booleschen Algebren selbst sind. Wenn man also die äquivalenten Dualen aller früheren Aussagen nimmt, erhält man eine Reihe von Sätzen, die gleichermaßen für Boolesche Algebren gelten, bei denen jedoch jedes Vorkommen von ideal durch filter ersetzt wird . Es ist erwähnenswert, dass für den Spezialfall, in dem die betrachtete Boolesche Algebra eine Potenzmenge mit der Teilmengenordnung ist , das "Maximalfilter-Theorem" Ultrafilter-Lemma genannt wird.

Zusammenfassend sind für Boolesche Algebren das schwache und starke MIT, das schwache und starke PIT und diese Aussagen mit Filtern anstelle von Idealen alle äquivalent. Es ist bekannt, dass alle diese Aussagen Folgen des Auswahlaxioms , AC , sind (der einfache Beweis verwendet Zorns Lemma ), aber nicht in ZF (Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie ohne AC ) bewiesen werden können , wenn ZF konsistent ist . Der BPI ist jedoch strikt schwächer als das Auswahlaxiom, obwohl der Beweis dieser Aussage durch JD Halpern und Azriel Lévy eher nicht trivial ist.

Weitere Primidealsätze

Die prototypischen Eigenschaften, die im obigen Abschnitt für Boolesche Algebren diskutiert wurden, können leicht modifiziert werden, um allgemeinere Gitter einzubeziehen , wie zB Verteilungsgitter oder Heyting-Algebren . Allerdings unterscheiden sich in diesen Fällen maximale Ideale von Primidealen, und die Beziehung zwischen PITs und MITs ist nicht offensichtlich.

Tatsächlich stellt sich heraus, dass die MITs für distributive Gitter und sogar für Heyting-Algebren dem Auswahlaxiom äquivalent sind. Andererseits ist bekannt, dass die starke PIT für distributive Gitter äquivalent zu BPI ist (dh zu MIT und PIT für Boolesche Algebren). Daher ist diese Aussage strikt schwächer als das Auswahlaxiom. Beachten Sie außerdem, dass Heyting-Algebren nicht selbstdual sind und daher die Verwendung von Filtern anstelle von Idealen in dieser Einstellung zu anderen Theoremen führt. Vielleicht überraschenderweise ist das MIT für die Dualen von Heyting-Algebren nicht stärker als BPI, was in scharfem Gegensatz zum oben erwähnten MIT für Heyting-Algebren steht.

Schließlich existieren Primidealsätze auch für andere (nicht ordnungstheoretische) abstrakte Algebren. Zum Beispiel impliziert das MIT für Ringe das Auswahlaxiom. Diese Situation erfordert, den ordnungstheoretischen Begriff „Filter“ durch andere Konzepte zu ersetzen – für Ringe ist eine „multiplikativ abgeschlossene Teilmenge“ angemessen.

Das Ultrafilter-Lemma

Ein Filter auf einer Menge X ist eine nichtleere Sammlung nichtleerer Teilmengen von X , die unter endlichem Durchschnitt und unter Obermenge abgeschlossen ist. Ein Ultrafilter ist ein Maximalfilter. Das Ultrafilter-Lemma besagt, dass jeder Filter auf einer Menge X eine Teilmenge eines Ultrafilters auf X ist . Ein Ultrafilter, der keine endlichen Mengen enthält, wird als "nicht-principal" bezeichnet. Das Ultrafilter-Lemma und insbesondere die Existenz nicht-hauptsächlicher Ultrafilter (betrachte die Filter aller Mengen mit endlichen Komplementen) kann mit dem Lemma von Zorn bewiesen werden .

Das Ultrafilter-Lemma ist äquivalent zum Booleschen Primidealsatz, wobei die Äquivalenz in der ZF-Mengentheorie ohne das Auswahlaxiom beweisbar ist. Die Idee hinter dem Beweis ist, dass die Teilmengen einer beliebigen Menge eine teilweise durch Inklusion geordnete Boolesche Algebra bilden und jede Boolesche Algebra nach dem Darstellungssatz von Stone als eine Algebra von Mengen darstellbar ist .

Ist die Menge X endlich, so lässt sich das Ultrafilterlemma aus den Axiomen ZF beweisen. Dies gilt nicht mehr für unendliche Mengen; ein zusätzliches Axiom muss angenommen werden. Das Lemma von Zorn , das Auswahlaxiom und der Satz von Tychonoff können alle verwendet werden, um das Ultrafilter-Lemma zu beweisen. Das Ultrafilter-Lemma ist strikt schwächer als das gewählte Axiom.

Das Ultrafilter-Lemma hat viele Anwendungen in der Topologie . Das Ultrafilter-Lemma kann verwendet werden, um den Satz von Hahn-Banach und den Teilbasissatz von Alexander zu beweisen .

Anwendungen

Intuitiv besagt der Boolesche Primidealsatz, dass es in einer Booleschen Algebra "genug" Primideale gibt, in dem Sinne, dass wir jedes Ideal zu einem maximalen erweitern können. Dies ist von praktischer Bedeutung für den Beweis von Stones Darstellungssatz für Boolesche Algebren , einem Spezialfall der Stone-Dualität , bei dem man die Menge aller Primideale mit einer bestimmten Topologie ausstattet und daraus tatsächlich die ursprüngliche Boolesche Algebra ( bis auf Isomorphie ) zurückgewinnen kann Daten. Weiterhin zeigt sich, dass man in Anwendungen frei wählen kann, ob man mit Primidealen oder mit Primfiltern arbeitet, denn jedes Ideal bestimmt eindeutig einen Filter: die Menge aller Booleschen Komplemente seiner Elemente. Beide Ansätze sind in der Literatur zu finden.

Viele andere Theoreme der allgemeinen Topologie, von denen oft gesagt wird, dass sie sich auf das Auswahlaxiom stützen, sind tatsächlich äquivalent zu BPI. Zum Beispiel ist der Satz, dass ein Produkt kompakter Hausdorff-Räume kompakt ist, äquivalent dazu. Wenn wir "Hausdorff" weglassen, erhalten wir einen Satz äquivalent zum vollen Auswahlaxiom.

In der Graphentheorie ist der Satz von de Bruijn-Erds ein weiteres Äquivalent zu BPI. Es besagt, dass, wenn ein gegebener unendlicher Graph mindestens eine endliche Zahl k in einer Graphenfärbung erfordert, er einen endlichen Untergraphen hat, der auch k erfordert .

Eine nicht allzu bekannte Anwendung des Booleschen Primidealsatzes ist die Existenz einer nicht messbaren Menge (das normalerweise angegebene Beispiel ist die Vitali-Menge , die das Auswahlaxiom erfordert). Daraus und aus der Tatsache, dass der BPI strikt schwächer ist als das Auswahlaxiom, folgt, dass die Existenz nicht messbarer Mengen streng genommen schwächer ist als das Auswahlaxiom.

In der linearen Algebra kann der Boolesche Primidealsatz verwendet werden, um zu beweisen, dass zwei beliebige Basen eines gegebenen Vektorraums die gleiche Kardinalität haben .

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Eine leicht verständliche Einführung, die die Äquivalenz von PIT für Boolesche Algebren und Verteilungsgitter zeigt.
Die Theorie in diesem Buch erfordert oft Wahlprinzipien. Die Anmerkungen zu verschiedenen Kapiteln diskutieren die allgemeine Beziehung der Theoreme zu PIT und MIT für verschiedene Strukturen (allerdings meist Gitter) und geben Hinweise auf weiterführende Literatur.
Bespricht den Status des Ultrafilter-Lemmas.
Gibt viele äquivalente Aussagen für den BPI, einschließlich Primidealsätze für andere algebraische Strukturen. PITs werden als Sonderfälle von Separationslemmas betrachtet.