Borel-Set - Borel set

In der Mathematik ist eine Borel-Menge jede Menge in einem topologischen Raum , die aus offenen Mengen (oder äquivalent aus geschlossenen Mengen ) durch die Operationen der abzählbaren Vereinigung , der abzählbaren Schnittmenge und des relativen Komplements gebildet werden kann . Borel-Sets sind nach Émile Borel benannt .

Für einen topologischen Raum X bildet die Sammlung aller Borel-Mengen auf X eine σ-Algebra , die als Borel-Algebra oder Borel-σ-Algebra bekannt ist . Die Borel-Algebra auf X ist die kleinste σ-Algebra, die alle offenen Mengen (oder äquivalent alle abgeschlossenen Mengen) enthält.

Borel-Mengen sind in der Maßtheorie wichtig , da jedes Maß, das auf den offenen Mengen eines Raums oder auf den geschlossenen Mengen eines Raums definiert wird, auch auf allen Borel-Mengen dieses Raums definiert werden muss. Jedes in den Borel-Mengen definierte Maß wird als Borel-Maß bezeichnet . Auch in der deskriptiven Mengenlehre spielen Borel-Mengen und die dazugehörige Borel-Hierarchie eine grundlegende Rolle .

In einigen Kontexten werden Borel-Mengen so definiert, dass sie durch die kompakten Mengen des topologischen Raums und nicht durch die offenen Mengen erzeugt werden. Die beiden Definitionen sind für viele wohlerzogene Räume äquivalent , einschließlich aller Hausdorff σ-kompakten Räume , können aber in pathologischen Räumen unterschiedlich sein.

Generierung der Borel-Algebra

Für den Fall, dass X ein metrischer Raum ist , lässt sich die Borel-Algebra im ersten Sinne generativ wie folgt beschreiben.

Für eine Sammlung T von Teilmengen von X (d. h. für jede Teilmenge der Potenzmenge P( X ) von X ) sei

• ${\displaystyle T_{\sigma}}$seien alle abzählbaren Vereinigungen von Elementen von T
• ${\displaystyle T_{\delta}}$seien alle abzählbaren Durchschnitte von Elementen von T
• ${\displaystyle T_{\delta\sigma}=(T_{\delta})_{\sigma}.}$

Definieren Sie nun durch transfinite Induktion eine Folge G ^m , wobei m eine Ordnungszahl ist , wie folgt:

• Für den Basisfall der Definition sei die Sammlung offener Teilmengen von X .${\displaystyle G^{0}}$
• Ist i keine Grenzordinal , dann hat i eine unmittelbar vorangehende Ordinalzahl i − 1. Sei
  $${\displaystyle G^{i}=[G^{i-1}]_{\delta\sigma}.}$$

  
• Wenn i eine Grenzordinal ist, setze
  $${\displaystyle G^{i}=\bigcup_{j<i}G^{j}.}$$

  

Die Behauptung ist, dass die Borel-Algebra G ^{ω _{1 ist}} , wobei ω ₁ die erste überabzählbare Ordnungszahl ist . Das heißt, die Borel Algebra werden erzeugt aus der Klasse der offenen Mengen durch den Betrieb Iterieren

$${\displaystyle G\mapsto G_{\delta\sigma}.}$$

Um diese Behauptung zu beweisen, beachte, dass jede offene Menge in einem metrischen Raum die Vereinigung einer wachsenden Folge abgeschlossener Mengen ist. Insbesondere bildet die Komplementierung von Mengen G ^m für jede Grenzordinalzahl m in sich selbst ab ; außerdem ist G ^m unter abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen, wenn m eine überabzählbare Grenzordinal ist.

Beachten Sie, dass es für jede Borel-Menge B eine abzählbare Ordinalzahl α _{B gibt,} so dass B durch Iteration der Operation über α _{B erhalten werden kann} . Da B jedoch über alle Borel-Mengen variiert , variiert α _B über alle abzählbaren Ordinalzahlen, und somit ist die erste Ordinalzahl, bei der alle Borel-Mengen erhalten werden, ω ₁ , die erste überzählbare Ordinalzahl.

Beispiel

Ein wichtiges Beispiel, insbesondere in der Wahrscheinlichkeitstheorie , ist die Borelsche Algebra über die Menge der reellen Zahlen . Es ist die Algebra, auf der das Borel-Maß definiert ist. Gegeben eine reelle Zufallsvariable, die auf einem Wahrscheinlichkeitsraum definiert ist , ist ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung per Definition auch ein Maß für die Borel-Algebra.

Die Borelsche Algebra auf den reellen Zahlen ist die kleinste σ-Algebra auf R , die alle Intervalle enthält .

Bei der Konstruktion durch transfinite Induktion kann gezeigt werden, dass in jedem Schritt die Anzahl der Mengen höchstens die Kardinalität des Kontinuums ist . Die Gesamtzahl der Borel-Sätze ist also kleiner oder gleich

$${\displaystyle \aleph _{1}\cdot 2^{\aleph _{0}}\,=2^{\aleph _{0}}.}$$

Tatsächlich ist die Kardinalität der Sammlung von Borel-Mengen gleich der des Kontinuums (vergleichen Sie die Anzahl der existierenden messbaren Lebesgue- Mengen, die strikt größer und gleich ist ). ${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}}$

Standard-Borel-Räume und Kuratowski-Theoreme

Sei X ein topologischer Raum. Der zu X gehörende Borel-Raum ist das Paar ( X , B ), wobei B die σ-Algebra der Borel-Mengen von X ist .

George Mackey definierte einen Borel-Raum etwas anders und schrieb, dass er "eine Menge zusammen mit einem ausgezeichneten σ-Feld von Teilmengen ist, die als Borel-Mengen bezeichnet werden." Die moderne Verwendung besteht jedoch darin, die ausgezeichnete Unteralgebra als messbare Mengen und solche Räume als messbare Räume zu bezeichnen . Der Grund für diese Unterscheidung ist, dass die Borel-Mengen die σ-Algebra sind, die von offenen Mengen (eines topologischen Raums) erzeugt wird, während sich die Definition von Mackey auf eine Menge bezieht, die mit einer beliebigen σ-Algebra ausgestattet ist. Es gibt messbare Räume, die keine Borel-Räume sind, für jede beliebige Topologiewahl auf dem zugrunde liegenden Raum.

Messbare Räume bilden eine Kategorie , in der die morphisms sind messbare Funktionen zwischen Messräume. Eine Funktion ist meßbar , wenn sie zurück zieht meßbaren Mengen, das heißt, für alle meßbaren Mengen B in Y , das Set ist messbar in X . ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle f^{-1}(B)}$

Satz . Sei X ein polnischer Raum , dh ein topologischer Raum, so dass es eine Metrik d auf X gibt , die die Topologie von X definiert und X zu einem vollständig separierbaren metrischen Raum macht. Dann ist X als Borel-Raum isomorph zu einem von

1. R ,
2. Z ,
3. ein endlicher Raum.

(Dieses Ergebnis erinnert an den Satz von Maharam .)

Als Borel-Räume betrachtet, sind die reelle Gerade R , die Vereinigung von R mit einer abzählbaren Menge und R ⁿ isomorph.

Ein Standard-Borel-Raum ist der einem polnischen Raum zugeordnete Borel- Raum . Ein Borel-Standardraum ist bis auf Isomorphie durch seine Kardinalität charakterisiert, und jeder unzählbare Borel-Standardraum hat die Kardinalität des Kontinuums.

Für Teilmengen polnischer Räume können Borel-Mengen als solche Mengen charakterisiert werden, die die Bereiche stetiger injektiver Abbildungen sind, die auf polnischen Räumen definiert sind. Beachten Sie jedoch, dass der Bereich einer kontinuierlichen nichtinjektiven Abbildung möglicherweise nicht Borel ist. Siehe Analyseset .

Jedes Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem Standard-Borel-Raum macht ihn zu einem Standard-Wahrscheinlichkeitsraum .

Nicht-Borel-Sets

Ein Beispiel für eine Teilmenge der reellen Zahlen, die aufgrund von Lusin nicht Borel ist , wird unten beschrieben. Im Gegensatz dazu kann ein Beispiel für eine nicht messbare Menge nicht gezeigt werden, obwohl ihre Existenz bewiesen werden kann.

Jede irrationale Zahl hat eine eindeutige Darstellung durch einen unendlichen Kettenbruch

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac { 1}{\ddots \,}}}}}}}}}$

wobei eine ganze Zahl ist und alle anderen Zahlen positive ganze Zahlen sind . Sei die Menge aller irrationalen Zahlen, die Folgen mit folgender Eigenschaft entsprechen: Es existiert eine unendliche Teilfolge, so dass jedes Element ein Teiler des nächsten Elements ist. Dieses Set ist nicht Borel. Tatsächlich ist es analytisch und vollständig in der Klasse der analytischen Mengen. Für weitere Details siehe deskriptive Mengenlehre und das Buch von Kechris , insbesondere Übung (27.2) auf Seite 209, Definition (22.9) auf Seite 169 und Übung (3.4)(ii) auf Seite 14. ${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots)}$ ${\displaystyle (a_{k_{0}},a_{k_{1}},\dots)}$${\displaystyle A}$

Es ist wichtig zu beachten, dass es zwar in ZF konstruiert werden kann, aber in ZF allein nicht als Nicht-Borel nachgewiesen werden kann. Tatsächlich ist es konsistent mit ZF, das eine abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen ist, so dass jede Teilmenge von eine Borel-Menge ist. ${\displaystyle A}$${\displaystyle\mathbb{R}}$${\displaystyle\mathbb{R}}$

Eine andere Nicht-Borel-Menge ist ein inverses Abbild einer unendlichen Paritätsfunktion . Dies ist jedoch ein Existenzbeweis (über das Auswahlaxiom), kein explizites Beispiel. ${\displaystyle f^{-1}[0]}$ ${\displaystyle f\colon \{0,1\}^{\omega}\to \{0,1\}}$

Alternative nicht-äquivalente Definitionen

Eine Teilmenge eines lokal kompakten topologischen Hausdorff-Raums heißt nach Paul Halmos Borel-Menge, wenn sie zum kleinsten σ–Ring gehört, der alle kompakten Mengen enthält.

Norberg und Vervaat definieren die Borel-Algebra eines topologischen Raums neu als die –Algebra, die durch ihre offenen Teilmengen und ihre kompakten gesättigten Teilmengen erzeugt wird . Diese Definition ist gut geeignet für Anwendungen, in denen nicht Hausdorff ist. Es fällt mit der üblichen Definition , wenn ist , zweite zählbar oder jede kompakte gesättigte Teilmenge geschlossen ist (das ist insbesondere der Fall , wenn Hausdorff ist). ${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Siehe auch

• Baire-Set
• Zylindrische σ-Algebra
• Polnischer Raum
• Beschreibende Mengenlehre
• Borel-Hierarchie

Anmerkungen

Verweise

• William Arveson , An Invitation to C*-algebras , Springer-Verlag, 1981. (Siehe Kapitel 3 für eine ausgezeichnete Darstellung der polnischen Topologie )
• Richard Dudley , Reale Analyse und Wahrscheinlichkeit . Wadsworth, Brooks und Cole, 1989
• Halmos, Paul R. (1950). Theorie messen . D. van Nostrand Co. Siehe insbesondere Abschn. 51 "Borel-Sets und Baire-Sets".
• Halsey Royden , Real Analysis , Prentice Hall, 1988
• Alexander S. Kechris , Klassische deskriptive Mengenlehre , Springer-Verlag, 1995 (Graduiertentexte in Math., Bd. 156)

Externe Links

• "Borel-Satz" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Formale Definition von Borel-Mengen im Mizar-System und die Liste der Theoreme, die am 01.06.2020 an der Wayback-Maschine archiviert wurden und die darüber formal bewiesen wurden.
• Weisstein, Eric W. "Borel-Set" . MathWorld .