Burali-Forti-Paradoxon - Burali-Forti paradox

In der Mengenlehre , einem Gebiet der Mathematik , zeigt das Burali-Forti-Paradoxon , dass die Konstruktion "der Menge aller Ordnungszahlen " zu einem Widerspruch führt und daher eine Antinomie in einem System zeigt, das ihre Konstruktion ermöglicht. Es ist nach Cesare Burali-Forti benannt , der 1897 eine Arbeit veröffentlichte, die einen ihm unbekannten Satz bewies, der einem zuvor bewiesenen Ergebnis von Cantor widersprach. Bertrand Russell bemerkte später den Widerspruch, und als er ihn 1903 in seinem Buch Principles of Mathematics veröffentlichte , erklärte er, er sei ihm von Burali-Fortis Papier vorgeschlagen worden, mit dem Ergebnis, dass er unter dem Namen Burali-Forti bekannt wurde.

Angegeben in von Neumann-Ordinalzahlen

Wir werden dies durch reductio ad absurdum beweisen.

1. Sei eine Menge, die alle Ordnungszahlen enthält.${\displaystyle \Omega}$
2. ${\displaystyle \Omega}$ist transitiv, weil für jedes Element von (das eine Ordnungszahl ist und eine beliebige Ordnungszahl sein kann) und jedes Element von (dh unter der Definition von Von-Neumann-Ordinalzahlen für jede Ordnungszahl ) haben wir das ist ein Element von weil jede Ordnungszahl Zahl enthält nach der Definition dieser Ordnungskonstruktion nur Ordnungszahlen.${\displaystyle x}$${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y<x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \Omega}$
3. ${\displaystyle \Omega}$ist durch die Zugehörigkeitsrelation wohlgeordnet, weil alle ihre Elemente auch durch diese Relation wohlgeordnet sind.
4. In den Schritten 2 und 3 haben wir also eine Ordinalklasse und auch in Schritt 1 eine Ordinalzahl, da alle Ordinalklassen, die Mengen sind, auch Ordinalzahlen sind.${\displaystyle \Omega}$
5. Dies impliziert, dass dies ein Element von ist .${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle \Omega}$
6. Unter der Definition von Von-Neumann-Ordinalzahlen ist dasselbe wie ein Element von zu sein . Diese letzte Aussage wird durch Schritt 5 bewiesen.${\displaystyle \Omega <\Omega}$${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle \Omega}$
7. Aber keine Ordinalklasse ist kleiner als sie selbst, auch wegen Schritt 4 ( ist eine Ordinalklasse), dh .${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle \Omega \nless \Omega}$

Wir haben zwei widersprüchliche Aussagen ( und ) aus der Menge von abgeleitet und damit widerlegt, dass eine Menge ist. ${\displaystyle \Omega <\Omega}$${\displaystyle \Omega \nless \Omega}$${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle \Omega}$

Allgemeiner formuliert

Die obige Version des Paradoxons ist anachronistisch, weil sie die Definition der Ordnungszahlen nach John von Neumann voraussetzt , unter der jede Ordnungszahl die Menge aller vorhergehenden Ordnungszahlen ist, die zu der Zeit, als das Paradoxon von Burali-Forti . formuliert wurde, nicht bekannt war . Hier ist ein Konto mit weniger Voraussetzungen: Angenommen , dass wir mit jedem assoziieren gut Bestellung ein Objekt seines benanntes Auftragsart in einer unbestimmten Art und Weise (die Auftragsart sind die Ordnungszahlen). Die Auftragsarten (Ordinalzahlen) selbst sind auf natürliche Weise wohlgeordnet, und diese Wohlordnung muss eine Auftragsart haben . In der naiven Mengenlehre (und bleibt in ZFC, aber nicht in New Foundations ) leicht zu zeigen, dass der Ordnungstyp aller Ordnungszahlen kleiner als eine feste ist . Also ist der Ordnungstyp aller Ordnungszahlen kleiner als sich selbst. Dies bedeutet jedoch, dass , da es der Ordnungstyp eines echten Anfangssegments der Ordinalzahlen ist, streng genommen kleiner ist als der Ordnungstyp aller Ordinalzahlen, aber letzteres selbst per Definition. Dies ist ein Widerspruch. ${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle \Omega}$

Wenn wir die von Neumann-Definition verwenden, nach der jede Ordinalzahl als Menge aller vorhergehenden Ordinalzahlen identifiziert wird, ist das Paradoxon unvermeidlich: Die beleidigende Aussage, dass der Ordnungstyp aller Ordnungszahlen kleiner als eine feste ist , muss selbst wahr sein. Die Sammlung von von Neumann-Ordinalzahlen kann, wie die Sammlung im Russell-Paradoxon , in keiner Mengenlehre mit klassischer Logik eine Menge sein. Aber die Sammlung von Ordnungstypen in New Foundations (definiert als Äquivalenzklassen von Wohlordnungen unter Ähnlichkeit) ist eigentlich eine Menge, und das Paradox wird vermieden, weil sich der Ordnungstyp der Ordinalzahlen weniger als als nicht herausstellt . ${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle \Omega}$

Auflösungen des Paradoxons

Moderne Axiome der formalen Mengenlehre wie ZF und ZFC umgehen diese Antinomie , indem sie die Konstruktion von Mengen mit Begriffen wie " alle Mengen mit der Eigenschaft "${\displaystyle P}$ nicht zulassen , wie dies in der naiven Mengenlehre möglich ist und wie dies mit den Axiomen von Gottlob Frege möglich ist - insbesondere Grundgesetz V – in den „Grundgesetzen der Arithmetik“. Quines System New Foundations (NF) verwendet eine andere Lösung . Rosser ( 1942 ) zeigte, dass in der ursprünglichen Version von Quines System "Mathematical Logic" (ML), einer Erweiterung von New Foundations, das Burali-Forti-Paradoxon abgeleitet werden kann, was zeigt, dass dieses System widersprüchlich war. Quines Revision von ML nach der Entdeckung von Rosser leidet nicht an diesem Mangel und wurde tatsächlich später von Hao Wang als gleichwertig mit NF bewiesen .

Siehe auch

• Absolut Unendlich

Verweise

• Burali-Forti, Cesare (1897), "Una questione sui numeri transfiniti" (PDF) , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 11 : 154–164, doi : 10.1007/BF03015911
• Irving Copi (1958) "The Burali-Forti Paradox", Philosophy of Science 25(4): 281–286, doi : 10.1086/287617
• Moore, Gregory H; Garciadiego, Alejandro (1981), "Burali-Forti's Paradox: A reappraisal of its origins", Historia Mathematica , 8 (3): 319–350, doi : 10.1016/0315-0860(81)90070-7
• Rosser, Barkley (1942), "The Burali-Forti paradox", Journal of Symbolic Logic , 7 (1): 1–17, doi : 10.2307/2267550 , JSTOR  2267550 , MR  0006327

Externe Links

• Stanford Encyclopedia of Philosophy : „ Paradoxes and Contemporary Logic “ – von Andrea Cantini.