Stornierungseigenschaft - Cancellation property
In der Mathematik ist der Begriff des Aufhebens eine Verallgemeinerung des Begriffs des Invertierbaren .
Ein Element a in einem Magma ( M *) hat die linke Kürzbarkeit (oder links cancellative ) , wenn für alle b und c in M , ein * b = a * c immer impliziert , dass b = c .
Ein Element a in einem Magma ( M *) hat die rechte Kürzbarkeit (oder rechtse cancellative ) , wenn für alle b und c in M , b * a = c * a immer impliziert , dass b = c .
Ein Element a in einem Magma ( M , ∗) hat die zweiseitige Löschungseigenschaft (oder ist stornierend ), wenn es sowohl links- als auch rechtsstornierend ist.
Ein Magma ( M , ∗) hat die Eigenschaft der linken Löschung (oder ist links stornierend), wenn alle a im Magma links stornierend sind, und ähnliche Definitionen gelten für die rechten Stornierungseigenschaften oder zweiseitigen Stornierungseigenschaften.
Ein linksinvertierbares Element ist linksauslöschend und analog für rechts- und zweiseitig.
Zum Beispiel ist jede Quasigruppe und damit jede Gruppe stornierend.
Interpretation
Zu sagen , dass ein Element a in einem Magma ( M *) ist links cancellative, ist zu sagen , daß die Funktion g : x ↦ a * x ist injektiv . Dass die Funktion g injektiv ist, impliziert, dass bei einer gewissen Gleichheit der Form a ∗ x = b , wobei das einzige Unbekannte x ist , es nur einen möglichen Wert von x gibt , der die Gleichheit erfüllt. Genauer gesagt können wir eine Funktion f definieren , die Umkehrung von g , so dass für alle x f ( g ( x )) = f ( a ∗ x ) = x gilt . Setzen Sie einen anderen Weg für alle x und y in M , wenn a * x = a * y , dann ist x = y .
Beispiele für stornierende Monoide und Halbgruppen
Die positiven (ebenfalls nicht negativen) ganzen Zahlen bilden unter Addition eine stornierende Halbgruppe . Die nicht negativen ganzen Zahlen bilden unter Addition ein stornierendes Monoid .
Tatsächlich gehorcht jede freie Halbgruppe oder jedes freie Monoid dem Stornierungsgesetz, und im Allgemeinen gehorcht jede Halbgruppe oder jedes Monoid, die in eine Gruppe eingebettet sind (wie die obigen Beispiele eindeutig zeigen), dem Stornierungsgesetz.
In einem anderen Sinne hat (eine Untergruppe von) die multiplikative Halbgruppe von Elementen eines Rings , die keine Nullteiler sind (dies ist nur die Menge aller Nicht-Null-Elemente, wenn der betreffende Ring eine Domäne ist , wie die ganzen Zahlen) die Aufhebungseigenschaft . Beachten Sie, dass dies auch dann gültig bleibt, wenn der betreffende Ring nicht kommutativ und / oder nicht einheitlich ist.
Nicht stornierende algebraische Strukturen
Obwohl das Löschgesetz für die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von reellen und komplexen Zahlen gilt (mit der einzigen Ausnahme der Multiplikation mit Null und der Division von Null durch eine andere Zahl), gibt es eine Reihe von algebraischen Strukturen, bei denen das Löschgesetz nicht gültig ist .
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren folgt nicht dem Aufhebungsgesetz. Wenn a × b = a × c ist , folgt daraus nicht, dass b = c ist, selbst wenn a ≠ 0 ist .
Die Matrixmultiplikation folgt auch nicht unbedingt dem Löschgesetz. Wenn AB = AC und A ≠ 0 ist , dann muß man zeigen , dass die Matrix A ist invertierbar (dh hat det ( A ) ≠ 0 ) , bevor man den Schluss ziehen kann , B = C . Wenn det ( A ) = 0 , dann B möglicherweise nicht gleich C , weil die Matrix - Gleichung AX = B nicht eine einzigartige Lösung für eine nicht-invertierbare Matrix hat A .
Beachten Sie auch , dass , wenn AB = CA und A ≠ 0 und die Matrix A ist umkehrbar (dh hat det ( A ) ≠ 0 ), es ist nicht unbedingt wahr , dass B = C . Die Stornierung funktioniert nur für AB = AC und BA = CA (vorausgesetzt, Matrix A ist invertierbar ) und nicht für AB = CA und BA = AC .