Kartesisches Produkt - Cartesian product

In der Mathematik , insbesondere der Mengenlehre , ist das kartesische Produkt zweier Mengen A und B , mit A  ×  B bezeichnet , die Menge aller geordneten Paare ( a , b ), wobei a in A und b in B ist . In Bezug auf die Set-Builder-Notation , das heißt

${\displaystyle A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\ {\mbox{ und }}\b\in B\}.}$

Eine Tabelle kann erstellt werden, indem das kartesische Produkt einer Menge von Zeilen und einer Menge von Spalten verwendet wird. Wenn das kartesische Produkt Zeilen × Spalten verwendet wird, enthalten die Zellen der Tabelle geordnete Paare der Form (Zeilenwert, Spaltenwert) .

Man kann in ähnlicher Weise das kartesische Produkt definiert n Sätze, die auch als eine bekannten n -fach kartesisches Produkt , das von einem dargestellt werden kann , n -dimensionalen Arrays, wobei jedes Element eine n - Tupels . Ein geordnetes Paar ist ein 2-Tupel oder ein Paar . Noch allgemeiner kann man das kartesische Produkt einer indizierten Familie von Mengen definieren.

Das kartesische Produkt ist nach René Descartes benannt , dessen Formulierung der analytischen Geometrie zu dem Konzept geführt hat, das in Bezug auf das direkte Produkt weiter verallgemeinert wird .

Beispiele

Ein Kartenspiel

Ein anschauliches Beispiel ist das standardmäßige 52-Karten-Deck . Die Standard-Spielkartenränge {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} bilden ein 13-Elemente-Set. Die Kartenfarben {♠, ♥ , ♦ , ♣} bilden eine vierelementige Menge. Das kartesische Produkt dieser Mengen liefert eine 52-Elemente-Menge bestehend aus 52 geordneten Paaren , die allen 52 möglichen Spielkarten entsprechen.

Ranks × Suits liefert eine Menge der Form {(A, ♠), (A,  ♥ ), (A,  ♦ ), (A, ♣), (K, ♠), …, (3, ♣), (2 , ♠), (2,  ♥ ), (2,  ♦ ), (2, ♣)}.

Suits × Ranks liefert eine Menge der Form {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), …, (♣, 6), (♣ , 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}.

Diese beiden Mengen sind verschieden, sogar disjunkt .

Ein zweidimensionales Koordinatensystem

Das wichtigste historische Beispiel ist die kartesische Ebene in der analytischen Geometrie . Um geometrische Formen numerisch darzustellen und numerische Informationen aus den numerischen Darstellungen von Formen zu extrahieren, hat René Descartes jedem Punkt in der Ebene ein Paar reeller Zahlen zugewiesen , die als Koordinaten bezeichnet werden . Normalerweise werden die ersten und zweiten Komponenten eines solchen Paares als seine x- bzw. y- Koordinaten bezeichnet (siehe Bild). Die Menge aller solcher Paare (dh das kartesische Produkt ℝ×ℝ , wobei ℝ die reellen Zahlen bezeichnet) wird somit der Menge aller Punkte in der Ebene zugeordnet.

Häufigste Implementierung (Mengentheorie)

Eine formale Definition des kartesischen Produkts aus mengentheoretischen Prinzipien folgt aus einer Definition von geordneten Paaren . Die gebräuchlichste Definition von geordneten Paaren, Kuratowskis Definition , ist . Gemäß dieser Definition ist ein Element von , und ist eine Teilmenge dieser Menge, wobei der Potenzmengen- Operator repräsentiert . Daher folgt die Existenz des kartesischen Produkts zweier beliebiger Mengen in ZFC aus den Axiomen Paarung , Vereinigung , Potenzmenge und Spezifikation . Da Funktionen normalerweise als Spezialfall von Relationen definiert werden und Relationen normalerweise als Teilmengen des kartesischen Produkts definiert werden, ist die Definition des kartesischen Produkts aus zwei Mengen notwendigerweise den meisten anderen Definitionen voraus. ${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle {\mathcal{P}}({\mathcal{P}}(X\cup Y))}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle {\mathcal{P}}}$

Nicht-Kommutativität und Nicht-Assoziativität

Seien A , B , C und D Mengen.

Das kartesische Produkt A × B ist nicht kommutativ ,

${\displaystyle A\times B\neq B\times A,}$

weil die geordneten Paare umgekehrt werden, es sei denn, mindestens eine der folgenden Bedingungen ist erfüllt:

• A ist gleich B , oder
• A oder B ist die leere Menge .

Beispielsweise:

A = {1,2}; B = {3,4}

A × B = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

B × A = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

A = B = {1,2}

A × B = B × A = {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

A = {1,2}; B =

A × B = {1,2} × = ∅

B × A = × {1,2} =

Streng genommen ist das kartesische Produkt nicht assoziativ (es sei denn, eine der beteiligten Mengen ist leer).

${\displaystyle (A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)}$

Wenn zum Beispiel A  = {1}, dann ( A × A ) × A = {((1, 1), 1)} ≠ {(1, (1, 1))} = A × ( A × A ) .

Schnittmengen, Vereinigungen und Teilmengen

Das kartesische Produkt erfüllt die folgende Eigenschaft in Bezug auf Schnittpunkte (siehe mittleres Bild).

${\displaystyle (A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)}$

In den meisten Fällen trifft die obige Aussage nicht zu, wenn wir den Schnitt durch Vereinigung ersetzen (siehe Bild ganz rechts).

${\displaystyle (A\cup B)\times (C\cup D)\neq (A\times C)\cup (B\times D)}$

Tatsächlich haben wir das:

${\displaystyle (A\times C)\cup (B\times D)=[(A\setminus B)\times C]\cup [(A\cap B)\times (C\cup D)]\cup [ (B\setminus A)\times D]}$

Für die Mengendifferenz haben wir außerdem folgende Identität:

${\displaystyle (A\times C)\setminus (B\times D)=[A\times (C\setminus D)]\cup [(A\setminus B)\times C]}$

Hier sind einige Regeln, die die Distributivität mit anderen Operatoren demonstrieren (siehe Bild ganz links):

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}A\times (B\cap C)&=(A\times B)\cap (A\times C),\\A\times (B\cup C)&=(A \times B)\cup (A\times C),\\A\times (B\setminus C)&=(A\times B)\setminus (A\times C),\end{ausgerichtet}}}$

${\displaystyle (A\times B)^{\complement}=\left(A^{\complement }\times B^{\complement}\right)\cup \left(A^{\complement}\times B\ rechts)\cup \left(A\times B^{\complement}\right)\!,}$

wobei bezeichnet das absolute Komplement von A . ${\displaystyle A^{\complement}}$

Andere Eigenschaften im Zusammenhang mit Teilmengen sind:

${\displaystyle {\text{if}}A\subseteq B{\text{, dann }}A\times C\subseteq B\times C;}$

${\displaystyle {\text{wenn beide }}A,B\neq \emptyset {\text{, dann }}A\times B\subseteq C\times D\!\iff \!A\subseteq C{\text{ und }}B\subseteq D.}$

Kardinalität

Die Kardinalität einer Menge ist die Anzahl der Elemente der Menge. Definieren Sie beispielsweise zwei Mengen: A = {a, b} und B = {5, 6}. Sowohl Menge A als auch Menge B bestehen aus jeweils zwei Elementen. Ihr kartesisches Produkt, geschrieben als A × B , ergibt eine neue Menge mit den folgenden Elementen:

A × B = {(a,5), (a,6), (b,5), (b,6)}.

wobei jedes Element von A mit jedem Element von B gepaart ist und wobei jedes Paar ein Element der Ausgabemenge bildet. Die Anzahl der Werte in jedem Element der resultierenden Menge ist gleich der Anzahl der Mengen, deren kartesisches Produkt genommen wird; 2 in diesem Fall. Die Kardinalität der Ausgabemenge ist gleich dem Produkt der Kardinalitäten aller Eingabemengen. Das ist,

| A × B | = | A | · | B |.

In diesem Fall ist | A × B | = 4

Ähnlich

| A × B × C | = | A | · | B | · | C |

usw.

Die Menge A × B ist unendlich, wenn entweder A oder B unendlich ist und die andere Menge nicht die leere Menge ist.

Kartesische Produkte aus mehreren Sätzen

n -äres kartesisches Produkt

Das kartesische Produkt lässt sich auf das n- äre kartesische Produkt über n Mengen X ₁ , ..., X _n als Menge

${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{i}\in X_{i}\ {\text {für jeden}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}}$

von n- Tupeln . Wenn Tupel als verschachtelte geordnete Paare definiert sind , können sie mit ( X ₁ × ⋯ × X _{n −1} ) × X _n identifiziert werden . Ist ein Tupel als Funktion auf {1, 2, …, n } definiert , deren Wert bei i das i- te Element des Tupels ist, dann ist das kartesische Produkt X ₁ ×⋯× X _n die Menge der Funktionen

${\displaystyle \{x:\{1,\ldots ,n\}\to X_{1}\cup \cdots \cup X_{n}\ |\ x(i)\in X_{i}\ {\text {für alle}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}.}$

n -äre kartesische Macht

Das kartesische Quadrat einer Menge X ist das kartesische Produkt X ² = X × X . Ein Beispiel ist die 2-dimensionale Ebene R ² = R × R wobei R die Menge der reellen Zahlen ist : R ² ist die Menge aller Punkte ( x , y ), wobei x und y reelle Zahlen sind (siehe Kartesisches Koordinatensystem ) .

Die n- äre kartesische Potenz einer Menge X , bezeichnet als , kann definiert werden als ${\displaystyle X^{n}}$

${\displaystyle X^{n}=\underbrace {X\times X\times \cdots\times X} _{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{ i}\in X\ {\text{für jedes}}\ i\in \{1,\ldots,n\}\}.}$

Ein Beispiel dafür ist R ³ = R × R × R , wobei R wiederum die Menge der reellen Zahlen ist, und allgemeiner R ⁿ .

Die n - ary Kartesische Kraft eines Satzes X ist isomorph zu dem Raum von Funktionen von einem n -Glied Satz X . Als Sonderfall kann die 0-äre kartesische Potenz von X als Singleton-Menge genommen werden , die der leeren Funktion mit Kodomäne X entspricht .

Unendliche kartesische Produkte

Es ist möglich, das kartesische Produkt einer beliebigen (möglicherweise unendlichen ) indizierten Familie von Mengen zu definieren. Wenn ich jede ist Indexmenge , und ist eine Familie von Sätzen von indexierten I , dann das kartesische Produkt der Sätze in definiert zu sein ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$

${\displaystyle \prod_{i\in I}X_{i}=\left\{\left.f:I\to \bigcup_{i\in I}X_{i}\ \right|\ (\forall i)(f(i)\in X_{i})\right\},}$

das heißt, die Menge aller Funktionen, die auf der Indexmenge definiert sind , so dass der Wert der Funktion an einem bestimmten Index i ein Element von X _{i ist} . Selbst wenn jedes der X _i nicht leer ist, kann das kartesische Produkt leer sein, wenn das Auswahlaxiom , das der Aussage entspricht, dass jedes solche Produkt nicht leer ist, nicht angenommen wird.

Für jedes j in I ist die Funktion

${\displaystyle \pi_{j}:\prod_{i\in I}X_{i}\to X_{j},}$

definiert durch wird die j- te Projektionskarte genannt . ${\displaystyle \pi_{j}(f)=f(j)}$

Die kartesische Potenz ist ein kartesisches Produkt, bei dem alle Faktoren X _i dieselbe Menge X sind . In diesem Fall,

${\displaystyle \prod_{i\in I}X_{i}=\prod_{i\in I}X}$

ist die Menge aller Funktionen von I bis X und wird häufig mit X ^{I bezeichnet} . Dieser Fall ist wichtig für das Studium der Kardinal-Exponentiation . Ein wichtiger Spezialfall ist, wenn die Indexmenge die natürlichen Zahlen ist : Dieses kartesische Produkt ist die Menge aller unendlichen Folgen mit dem i- ten Term in ihrer entsprechenden Menge X _i . Zum Beispiel jedes Element von ${\displaystyle \mathbb{N}}$

${\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}\mathbb {R} =\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \cdots}$

kann man sich als Vektor mit abzählbar unendlichen reellen Zahlenkomponenten vorstellen. Diese Menge wird häufig mit oder bezeichnet . ${\displaystyle\mathbb{R}^{\omega}}$${\displaystyle \mathbb{R}^{\mathbb{N}}}$

Andere Formen

Kurzform

Wenn mehrere Mengen miteinander multipliziert werden (zB X ₁ , X ₂ , X ₃ , …), dann kürzen manche Autoren das kartesische Produkt einfach mit × X _{i ab} .

Kartesisches Produkt von Funktionen

Wenn f eine Funktion von A nach B und g eine Funktion von X nach Y ist , dann ist ihr kartesisches Produkt f × g eine Funktion von A × X nach B × Y mit

${\displaystyle (f\times g)(a,x)=(f(a),g(x)).}$

Dies kann auf Tupel und unendliche Sammlungen von Funktionen erweitert werden. Dies unterscheidet sich vom kartesischen Standardprodukt von Funktionen, die als Mengen betrachtet werden.

Zylinder

Sei ein Satz und . Dann ist der Zylinder von bzgl. das kartesische Produkt von und . ${\displaystyle A}$${\displaystyle B\subseteq A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B\times A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

Normalerweise gilt das Universum als Kontext und wird weggelassen. Zum Beispiel, wenn eine Teilmenge der natürlichen Zahlen , dann wird der Zylinder ist . ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbb{N}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B\times \mathbb{N}}$

Definitionen außerhalb der Mengenlehre

Kategorientheorie

Obwohl das kartesische Produkt traditionell auf Mengen angewendet wird, bietet die Kategorientheorie eine allgemeinere Interpretation des Produkts mathematischer Strukturen. Dies unterscheidet sich von dem Konzept eines kartesischen Quadrats in der Kategorientheorie, das eine Verallgemeinerung des Faserprodukts ist, obwohl es damit verwandt ist .

Die Exponentiation ist das rechte Adjungierte des kartesischen Produkts; somit ist jede Kategorie mit einem kartesischen Produkt (und einem Endobjekt ) eine kartesische geschlossene Kategorie .

Graphentheorie

In der Graphentheorie , das Kartesische Produkt von zwei Graphen G und H ist der Graph bezeichnet mit G × H , dessen Scheitel Satz das (gewöhnliche) kartesisches Produkt V ( G ) x V ( H ) und so , dass zwei Ecken ( u , v ) und ( u ′, v ′) in G × H genau dann benachbart sind , wenn u = u ′ und v zu v ′ in H benachbart ist , oder v = v ′ und u zu u ′ in G benachbart ist . Das kartesische Produkt von Graphen ist kein Produkt im Sinne der Kategorientheorie. Stattdessen wird das kategoriale Produkt als Tensorprodukt von Graphen bezeichnet .

Siehe auch

• Binäre Beziehung
• Verkettung von Strings
• Nebenprodukt
• Kreuzprodukt
• Direktprodukt von Gruppen
• Leeres Produkt
• Euklidischer Raum
• Exponentielles Objekt
• Finitere Beziehung
• Join (SQL) § Cross-Join
• Bestellungen auf dem kartesischen Produkt von vollständig geordneten Mengen
• Axiom der Potenzmenge (um die Existenz des kartesischen Produkts zu beweisen)
• Produkt (Kategorie Theorie)
• Produkttopologie
• Produktart
• Ultraprodukt

Verweise

Externe Links

• Kartesisches Produkt bei ProvenMath
• "Direktprodukt" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• So finden Sie das kartesische Produkt, Education Portal Academy