Kategorientheorie - Category theory

Schematische Darstellung einer Kategorie mit Objekten X , Y , Z und Morphismen f , g , gf . (Die drei Identitätsmorphismen der Kategorie 1 X , 1 Y und 1 Z würden , wenn sie explizit dargestellt werden, als drei Pfeile von den Buchstaben X, Y bzw. Z zu sich selbst erscheinen.)

Die Kategorietheorie formalisiert die mathematische Struktur und ihre Konzepte in Bezug auf einen beschrifteten gerichteten Graphen, der als Kategorie bezeichnet wird , dessen Knoten als Objekte bezeichnet werden und dessen beschriftete gerichtete Kanten als Pfeile (oder Morphismen ) bezeichnet werden. Eine Kategorie hat zwei grundlegende Eigenschaften: die Fähigkeit , die Pfeile assoziativ zusammenzusetzen , und die Existenz eines Identitätspfeils für jedes Objekt. Die Sprache der Kategorientheorie wurde verwendet, um Konzepte anderer Abstraktionen auf höherer Ebene wie Mengen , Ringe und Gruppen zu formalisieren . Informell ist die Kategorientheorie eine allgemeine Funktionentheorie .

Mehrere Begriffe, die in der Kategorientheorie verwendet werden, einschließlich des Begriffs "Morphismus", werden anders verwendet als in der übrigen Mathematik. In der Kategorientheorie gehorchen Morphismen Bedingungen, die für die Kategorientheorie selbst spezifisch sind.

Samuel Eilenberg und Saunders Mac Lane führten die Konzepte von Kategorien, Funktoren und natürlichen Transformationen von 1942 bis 1945 in ihrem Studium der algebraischen Topologie ein , mit dem Ziel, die Prozesse zu verstehen, die die mathematische Struktur bewahren.

Die Kategorientheorie hat praktische Anwendungen in der Programmiersprachentheorie , zum Beispiel die Verwendung von Monaden in der funktionalen Programmierung . Es kann auch als axiomatische Grundlage für die Mathematik verwendet werden, als Alternative zur Mengenlehre und anderen vorgeschlagenen Grundlagen.

Grundlegendes Konzept

Kategorien repräsentieren Abstraktionen anderer mathematischer Konzepte. Viele Bereiche der Mathematik lassen sich durch die Kategorientheorie als Kategorien formalisieren . Daher verwendet die Kategorientheorie die Abstraktion, um es zu ermöglichen, viele komplizierte und subtile mathematische Ergebnisse auf diesen Gebieten auf viel einfachere Weise zu formulieren und zu beweisen.

Ein grundlegendes Beispiel für eine Kategorie ist die Kategorie der Mengen , wobei die Objekte Mengen sind und die Pfeile Funktionen von einer Menge zu einer anderen sind. Die Objekte einer Kategorie müssen jedoch keine Mengen sein und die Pfeile müssen keine Funktionen sein. Jeder Weg, ein mathematisches Konzept so zu formalisieren, dass es die grundlegenden Bedingungen für das Verhalten von Objekten und Pfeilen erfüllt, ist eine gültige Kategorie – und alle Ergebnisse der Kategorientheorie gelten für sie.

Die "Pfeile" der Kategorientheorie werden oft als einen Prozess bezeichnet, der zwei Objekte verbindet, oder in vielen Fällen eine "strukturerhaltende" Transformation, die zwei Objekte verbindet. Es gibt jedoch viele Anwendungen, bei denen viel abstraktere Konzepte durch Objekte und Morphismen repräsentiert werden. Die wichtigste Eigenschaft der Pfeile ist, dass sie „zusammengesetzt“, also in einer Reihenfolge angeordnet werden können, um einen neuen Pfeil zu bilden.

Anwendungen von Kategorien

Kategorien tauchen heute in vielen Zweigen der Mathematik auf, in einigen Bereichen der theoretischen Informatik, wo sie Typen oder Datenbankschemata entsprechen können , und in der mathematischen Physik, wo sie zur Beschreibung von Vektorräumen verwendet werden können . Die wahrscheinlich erste Anwendung der Kategorientheorie außerhalb der reinen Mathematik war das "Metabolism-Repair"-Modell autonomer lebender Organismen von Robert Rosen .

Nützlichkeit

Kategorien, Objekte und Morphismen

Das Studium von Kategorien ist ein Versuch, axiomatisch zu erfassen, was in verschiedenen Klassen verwandter mathematischer Strukturen üblich ist, indem man sie mit den strukturerhaltenden Funktionen zwischen ihnen in Beziehung setzt . Ein systematisches Studium der Kategorientheorie erlaubt uns dann, allgemeine Ergebnisse über jede dieser Arten von mathematischen Strukturen aus den Axiomen einer Kategorie zu beweisen.

Betrachten Sie das folgende Beispiel. Die Klasse Grp von Gruppen besteht aus allen Objekten mit einer "Gruppenstruktur". Man kann fortfahren , Sätze über Gruppen zu beweisen , indem man logische Schlussfolgerungen aus der Menge der Axiome zieht, die Gruppen definieren. Aus den Axiomen wird beispielsweise sofort bewiesen, dass das Identitätselement einer Gruppe eindeutig ist.

Statt sich nur auf die einzelnen Objekte (zB Gruppen) mit gegebener Struktur zu konzentrieren, betont die Kategorientheorie die Morphismen – die strukturerhaltenden Abbildungen – zwischen diesen Objekten; Durch das Studium dieser Morphismen kann man mehr über die Struktur der Objekte erfahren. Im Fall von Gruppen sind die Morphismen die Gruppenhomomorphismen . Ein Gruppenhomomorphismus zwischen zwei Gruppen "erhält die Gruppenstruktur" im genauen Sinne; informell ist es ein "Prozess", der eine Gruppe zu einer anderen führt, so dass Informationen über die Struktur der ersten Gruppe in die zweite Gruppe übertragen werden. Das Studium von Gruppenhomomorphismen bietet dann ein Werkzeug zum Studium allgemeiner Eigenschaften von Gruppen und Konsequenzen der Gruppenaxiome.

Eine ähnliche Art der Untersuchung findet in vielen mathematischen Theorien statt, wie zum Beispiel dem Studium stetiger Abbildungen (Morphismen) zwischen topologischen Räumen in der Topologie (die zugehörige Kategorie wird Top genannt ) und dem Studium glatter Funktionen (Morphismen) in der Mannigfaltigkeitstheorie .

Nicht alle Kategorien entstehen jedoch als "strukturerhaltende (Mengen-)Funktionen"; das Standardbeispiel ist die Kategorie der Homotopien zwischen spitzen topologischen Räumen .

Axiomatisiert man Relationen statt Funktionen , so erhält man die Theorie der Allegorien .

Funktoren

Eine Kategorie ist selbst eine Art mathematischer Struktur, daher können wir nach "Prozessen" suchen, die diese Struktur in gewissem Sinne bewahren; ein solcher Prozess wird als Funktor bezeichnet .

Diagrammverfolgung ist eine visuelle Methode, um mit abstrakten "Pfeilen" in Diagrammen zu argumentieren. Funktoren werden durch Pfeile zwischen Kategorien dargestellt, abhängig von bestimmten definierenden Kommutativitätsbedingungen. Funktoren können kategoriale Diagramme und Sequenzen definieren (konstruieren) (vgl. Mitchell, 1965). Ein Funktor ordnet jedem Objekt einer Kategorie ein Objekt einer anderen Kategorie zu und jedem Morphismus der ersten Kategorie einen Morphismus der zweiten.

Als Ergebnis definiert dies eine Kategorie von Kategorien und Funktoren – die Objekte sind Kategorien und die Morphismen (zwischen Kategorien) sind Funktoren.

Das Studium von Kategorien und Funktoren untersucht nicht nur eine Klasse mathematischer Strukturen und deren Morphismen, sondern vielmehr die Beziehungen zwischen verschiedenen Klassen mathematischer Strukturen . Diese grundlegende Idee tauchte zuerst in der algebraischen Topologie auf . Schwierige topologische Fragen können in algebraische Fragen übersetzt werden , die oft leichter zu lösen sind. Grundkonstruktionen wie die Fundamentalgruppe oder das Fundamentalgruppoid eines topologischen Raums können auf diese Weise als Funktoren zur Kategorie der Gruppoide ausgedrückt werden, und das Konzept ist in der Algebra und ihren Anwendungen allgegenwärtig.

Natürliche Transformationen

Nochmals abstrahierend, manche schematische und/oder sequentielle Konstruktionen sind oft „natürlich verwandt“ – auf den ersten Blick eine vage Vorstellung. Dies führt zu dem klärenden Konzept der natürlichen Transformation , einer Möglichkeit, einen Funktor auf einen anderen "zuzuordnen". Viele wichtige Konstruktionen der Mathematik können in diesem Zusammenhang studiert werden. "Natürlichkeit" ist ein Prinzip, wie die allgemeine Kovarianz in der Physik, das tiefer geht, als es zunächst den Anschein hat. Ein Pfeil zwischen zwei Funktoren ist eine natürliche Transformation, wenn er bestimmten Naturalitäts- oder Kommutativitätsbedingungen unterliegt.

Funktoren und natürliche Transformationen („Naturalität“) sind die Schlüsselbegriffe der Kategorientheorie.

Kategorien, Objekte und Morphismen

Kategorien

Eine Kategorie C besteht aus den folgenden drei mathematischen Einheiten:

  • Eine Klasse ob( C ), deren Elemente Objekte genannt werden ;
  • Eine Klasse hom( C ), deren Elemente Morphismen oder Maps oder Arrows genannt werden . Jeder Morphismus f hat ein Quellobjekt a und ein Zielobjekt b .
    Der Ausdruck f  : ab würde verbal als " f ist ein Morphismus von a nach b " angegeben werden.
    Der Ausdruck hom( a , b ) – alternativ ausgedrückt als hom C ( a , b ) , mor( a , b ) oder C ( a , b ) – bezeichnet die hom-Klasse aller Morphismen von a bis b .
  • Eine binäre Operation ∘, genannt Zusammensetzung morphisms , so dass für jeden drei Objekte ein , b und c , haben wir ∘: hom ( b , c ) × hom ( a , b ) → hom ( a , c ) . Die Zusammensetzung von f  : ab und g  : bc wird geschrieben als gf oder gf , bestimmt durch zwei Axiome:
    • Assoziativität : Wenn f  : ab , g  : bc und h  : cd, dann ist h ∘ ( gf ) = ( hg ) ∘ f , und
    • Identität : Für jedes Objekt x existiert einen Morphismus 1 x  : xx die angerufene Identität morphism für x , so dass für jeden Morphismus f  : einb , haben wir 1 bf = f = f ∘ 1 ein .
Aus den Axiomen lässt sich beweisen, dass es für jedes Objekt genau einen Identitätsmorphismus gibt . Einige Autoren weichen von der eben gegebenen Definition ab, indem sie jedes Objekt mit seinem Identitätsmorphismus identifizieren.

Morphismen

Beziehungen zwischen Morphismen (wie fg = h ) werden oft unter Verwendung von kommutativen Diagrammen dargestellt , wobei „Punkte“ (Ecken) Objekte darstellen und „Pfeile“ Morphismen darstellen.

Morphismen können eine der folgenden Eigenschaften haben. Ein Morphismus f  : ab ist a:

  • Monomorphie (oder monic ) , wenn fg 1 = fg 2 bedeutet , g 1 = g 2 für alle morphisms g 1 , g 2  : xa .
  • Epimorphismus (oder episch ) wenn g 1f = g 2f impliziert g 1 = g 2 für alle Morphismen g 1 , g 2  : bx .
  • Bimorphismus, wenn f sowohl episch als auch monisch ist.
  • Isomorphismus wenn es ein morphism g  : bein , so dass fg = 1 b und gf = 1 ein .
  • Endomorphismus wenn a = b . end( a ) bezeichnet die Klasse der Endomorphismen von a .
  • Automorphismus, wenn f sowohl ein Endomorphismus als auch ein Isomorphismus ist. aut( a ) bezeichnet die Klasse der Automorphismen von a .
  • Retraktion, wenn eine Rechtsinverse von f existiert, dh wenn ein Morphismus g  : ba mit fg = 1 b existiert .
  • Abschnitt, wenn eine Linksinverse von f existiert, dh wenn ein Morphismus g  : ba mit gf = 1 a existiert .

Jede Zurückziehung ist ein Epimorphismus, und jeder Abschnitt ist ein Monomorphismus. Darüber hinaus sind die folgenden drei Aussagen äquivalent:

  • f ein Monomorphismus und eine Retraktion ist;
  • f ist ein Epimorphismus und ein Abschnitt;
  • f ist ein Isomorphismus.

Funktoren

Funktoren sind strukturerhaltende Karten zwischen Kategorien. Man kann sie sich als Morphismen in der Kategorie aller (kleinen) Kategorien vorstellen.

Ein ( kovarianter ) Funktor F von einer Kategorie C zu einer Kategorie D , geschrieben F  : CD , besteht aus:

  • für jedes Objekt x in C ein Objekt F ( x ) in D ; und
  • für jeden Morphismus f  : xy in C , ein Morphismus F ( f ) : F ( x ) → F ( y ) ,

so dass die folgenden beiden Eigenschaften gelten:

  • Für jedes Objekt x in C gilt F (1 x ) = 1 F ( x ) ;
  • Für alle Morphismen f  : xy und g  : yz gilt F ( gf ) = F ( g ) F ( f ) .

Ein kontravarianter Funktor F : CD ist wie ein kovarianter Funktor, außer dass er "Morphismen umdreht" ("alle Pfeile umkehrt"). Genauer gesagt muss jedem Morphismus f  : xy in C ein Morphismus F ( f ) : F ( y ) → F ( x ) in D zugeordnet werden . Mit anderen Worten, ein kontravarianter Funktor fungiert als kovarianter Funktor der entgegengesetzten Kategorie C op zu D .

Natürliche Transformationen

Eine natürliche Transformation ist eine Beziehung zwischen zwei Funktoren. Funktoren beschreiben oft "natürliche Konstruktionen" und natürliche Transformationen beschreiben dann "natürliche Homomorphismen" zwischen zwei solchen Konstruktionen. Manchmal ergeben zwei ganz unterschiedliche Konstruktionen "das gleiche" Ergebnis; dies wird durch einen natürlichen Isomorphismus zwischen den beiden Funktoren ausgedrückt.

Sind F und G (kovariante) Funktoren zwischen den Kategorien C und D , dann assoziiert eine natürliche Transformation η von F nach G jedem Objekt X in C einen Morphismus η X  : F ( X ) → G ( X ) in D mit für jeden Morphismus f  : XY in C gilt η YF ( f ) = G ( f ) η X ; das bedeutet, dass das folgende Diagramm kommutativ ist :

Kommutatives Diagramm, das natürliche Transformationen definiert

Die beiden Funktoren F und G heißen natürlich isomorph, wenn es eine natürliche Transformation von F nach G gibt, so dass η X ein Isomorphismus für jedes Objekt X in C ist .

Andere Konzepte

Universelle Konstruktionen, Grenzen und Colimits

Mit der Sprache der Kategorientheorie können viele Bereiche des mathematischen Studiums kategorisiert werden. Kategorien umfassen Sätze, Gruppen und Topologien.

Jede Kategorie zeichnet sich durch Eigenschaften aus, die alle ihre Objekte gemeinsam haben, wie zum Beispiel die leere Menge oder das Produkt zweier Topologien , aber in der Definition einer Kategorie werden Objekte als atomar betrachtet, dh wir wissen nicht, ob ein Objekt A . ist eine Menge, eine Topologie oder ein anderes abstraktes Konzept. Daher besteht die Herausforderung darin, spezielle Objekte zu definieren, ohne auf die interne Struktur dieser Objekte Bezug zu nehmen. Um die leere Menge ohne Bezug auf Elemente oder die Produkttopologie ohne Bezug auf offene Mengen zu definieren, kann man diese Objekte in Bezug auf ihre Beziehungen zu anderen Objekten charakterisieren, die durch die Morphismen der jeweiligen Kategorien gegeben sind. Somit besteht die Aufgabe darin, universelle Eigenschaften zu finden , die die interessierenden Objekte eindeutig bestimmen.

Zahlreiche wichtige Konstruktionen lassen sich rein kategorial beschreiben, wenn der Kategoriengrenzwert entwickelt und zum Begriff eines Colimits dualisiert werden kann .

Äquivalente Kategorien

Es ist eine natürliche Frage, sich zu fragen: Unter welchen Bedingungen können zwei Kategorien als im Wesentlichen gleich angesehen werden , in dem Sinne, dass Sätze über eine Kategorie leicht in Sätze über die andere Kategorie umgewandelt werden können? Das wichtigste Werkzeug zur Beschreibung einer solchen Situation ist die Äquivalenz von Kategorien , die durch entsprechende Funktoren zwischen zwei Kategorien gegeben wird. Die kategoriale Äquivalenz hat zahlreiche Anwendungen in der Mathematik gefunden.

Weitere Konzepte und Ergebnisse

Die Definitionen von Kategorien und Funktoren liefern nur die Grundlagen der kategorialen Algebra; weitere wichtige themen sind unten aufgeführt. Obwohl zwischen all diesen Themen starke Wechselbeziehungen bestehen, kann die gegebene Reihenfolge als Leitfaden für die weitere Lektüre angesehen werden.

  • Die Funktorkategorie D C hat als Objekte die Funktoren von C nach D und als Morphismen die natürlichen Transformationen solcher Funktoren. Das Yoneda-Lemma ist eines der bekanntesten Grundergebnisse der Kategorientheorie; es beschreibt darstellbare Funktoren in Funktorkategorien.
  • Dualität : Jede Aussage, jedes Theorem oder jede Definition in der Kategorientheorie hat ein Dual, das im Wesentlichen durch "Umkehren aller Pfeile" erhalten wird. Wenn eine Aussage in einer Kategorie C wahr ist, dann ist ihre duale Aussage in der dualen Kategorie C op wahr . Diese auf kategorietheoretischer Ebene transparente Dualität wird in Anwendungen oft verdeckt und kann zu überraschenden Zusammenhängen führen.
  • Adjungierte Funktoren : Ein Funktor kann links (oder rechts) an einen anderen Funktor angrenzen, der in die entgegengesetzte Richtung abbildet. Ein solches Paar adjungierter Funktoren entsteht typischerweise aus einer Konstruktion, die durch eine universelle Eigenschaft definiert ist; Dies kann als eine abstraktere und aussagekräftigere Sicht auf universelle Eigenschaften angesehen werden.

Höherdimensionale Kategorien

Viele der oben genannten Konzepte, insbesondere die Äquivalenz von Kategorien, adjungierte Funktorpaare und Funktorkategorien, können in den Kontext höherdimensionaler Kategorien eingeordnet werden . Kurz gesagt, wenn wir einen Morphismus zwischen zwei Objekten als einen "Prozess betrachten, der uns von einem Objekt zum anderen führt", dann erlauben uns höherdimensionale Kategorien, dies gewinnbringend zu verallgemeinern, indem wir "höherdimensionale Prozesse" berücksichtigen.

Zum Beispiel ist eine (strenge) 2-Kategorie eine Kategorie zusammen mit "Morphismen zwischen Morphismen", dh Prozessen, die es uns ermöglichen, einen Morphismus in einen anderen umzuwandeln. Wir können dann diese "Bimorphismen" sowohl horizontal als auch vertikal "zusammensetzen", und wir benötigen ein 2-dimensionales "Austauschgesetz", das die beiden Zusammensetzungsgesetze in Beziehung setzt. In diesem Zusammenhang ist das Standardbeispiel Cat , die 2-Kategorie aller (kleinen) Kategorien, und in diesem Beispiel sind Bimorphismen von Morphismen einfach natürliche Transformationen von Morphismen im üblichen Sinne. Ein weiteres grundlegendes Beispiel ist die Betrachtung einer 2-Kategorie mit einem einzelnen Objekt; dies sind im Wesentlichen monoide Kategorien . Bikategorien sind eine schwächere Vorstellung von 2-dimensionalen Kategorien, bei denen die Zusammensetzung von Morphismen nicht streng assoziativ, sondern nur assoziativ "bis" zu einem Isomorphismus ist.

Dieser Prozess kann für alle erweitert werden natürliche Zahlen n , und diese werden als n - Kategorien . Es gibt sogar einen Begriff der ω-Kategorie , der der Ordnungszahl ω entspricht .

Höherdimensionale Kategorien sind Teil des breiteren mathematischen Gebiets der höherdimensionalen Algebra , einem Konzept, das von Ronald Brown eingeführt wurde . Für eine konversationelle Einführung in diese Ideen siehe John Baez, 'A Tale of n -categories' (1996).

Historische Notizen

Es ist zunächst zu bemerken, dass der ganze Begriff einer Kategorie im Wesentlichen ein Hilfsbegriff ist; unsere Grundkonzepte sind im Wesentlichen die eines Funktors und einer natürlichen Transformation [...]

—  Samuel Eilenberg und Saunders Mac Lane , Allgemeine Theorie der natürlichen Äquivalenzen

In den Jahren 1942-45 führten Samuel Eilenberg und Saunders Mac Lane Kategorien, Funktoren und natürliche Transformationen als Teil ihrer Arbeit in der Topologie, insbesondere der algebraischen Topologie, ein . Ihre Arbeit war ein wichtiger Teil des Übergangs von der intuitiven und geometrischen Homologie zur homologischen Algebra . Eilenberg und Mac Lane schrieben später, ihr Ziel sei es, natürliche Transformationen zu verstehen. Das erforderte Definitionsfunktionen, die Kategorien erforderten.

Stanislaw Ulam und einige Schriften in seinem Namen haben behauptet, dass verwandte Ideen in den späten 1930er Jahren in Polen aktuell waren. Eilenberg war Pole und studierte in den 1930er Jahren in Polen Mathematik. Die Kategorientheorie ist in gewisser Weise auch eine Fortsetzung der Arbeit von Emmy Noether (einer Lehrerin von Mac Lane) bei der Formalisierung abstrakter Prozesse; Noether erkannte, dass das Verständnis einer Art mathematischer Struktur das Verständnis der Prozesse erfordert, die diese Struktur erhalten ( Homomorphismen ). Eilenberg und Mac Lane führten Kategorien ein, um die Prozesse ( Funktoren ) zu verstehen und zu formalisieren , die topologische Strukturen mit algebraischen Strukturen ( topologische Invarianten ) in Beziehung setzen , die sie charakterisieren.

Die Kategorientheorie wurde ursprünglich für die Notwendigkeit der homologischen Algebra eingeführt und weithin für die Notwendigkeit der modernen algebraischen Geometrie ( Schematheorie ) erweitert. Die Kategorientheorie kann als Erweiterung der universellen Algebra angesehen werden , da letztere algebraische Strukturen untersucht , und erstere auf jede Art von mathematischer Struktur anwendbar ist und auch die Beziehungen zwischen Strukturen unterschiedlicher Natur untersucht. Aus diesem Grund wird es in der gesamten Mathematik verwendet. Später kamen Anwendungen auf mathematische Logik und Semantik ( kategoriale abstrakte Maschine ) hinzu.

Bestimmte Kategorien, die Topoi (Singular Topos ) genannt werden, können sogar als Alternative zur axiomatischen Mengenlehre als Grundlage der Mathematik dienen. Ein Topos kann auch als ein spezifischer Kategorietyp mit zwei zusätzlichen Toposaxiomen angesehen werden. Diese grundlegenden Anwendungen der Kategorientheorie wurden als Grundlage und Begründung der konstruktiven Mathematik ziemlich detailliert ausgearbeitet . Die Topos-Theorie ist eine Form der abstrakten Garbentheorie mit geometrischen Ursprüngen und führt zu Ideen wie der sinnlosen Topologie .

Kategoriale Logik ist heute ein gut definiertes Gebiet, das auf der Typentheorie für intuitionistische Logiken basiert , mit Anwendungen in der funktionalen Programmierung und der Domänentheorie , wo eine kartesische geschlossene Kategorie als nicht-syntaktische Beschreibung eines Lambda-Kalküls verwendet wird . Zumindest klärt die kategorientheoretische Sprache, was genau diese verwandten Bereiche (in einem abstrakten Sinne) gemeinsam haben.

Die Kategorientheorie wurde auch in anderen Bereichen angewendet. Zum Beispiel John Baez hat eine Verbindung zwischen gezeigt Feynmandiagramme in Physik und monoidal Kategorien. Eine andere Anwendung der Kategorientheorie, genauer gesagt: die Topostheorie, wurde in der mathematischen Musiktheorie gemacht, siehe zum Beispiel das Buch The Topos of Music, Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance von Guerino Mazzola .

Neuere Bemühungen, Studenten in Kategorien als Grundlage für die Mathematik einzuführen, umfassen die von William Lawvere und Rosebrugh (2003) sowie von Lawvere und Stephen Schanuel (1997) und Mirroslav Yotov (2012).

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Zitate

Quellen

Weiterlesen

  • Marquis, Jean-Pierre (2008). Aus geometrischer Sicht: Eine Studie zur Geschichte und Philosophie der Kategorientheorie . Springer. ISBN 978-1-4020-9384-5.

Externe Links