Charakteristik (Algebra) - Characteristic (algebra)

In der Mathematik wird die Charakteristik eines Rings R , oft als char( R ) bezeichnet, als die kleinste Anzahl von Malen definiert, die man die multiplikative Identität des Rings (1) in einer Summe verwenden muss, um die additive Identität (0) zu erhalten. Wenn diese Summe nie die additive Identität erreicht, heißt es, dass der Ring die Eigenschaft Null hat.

Das heißt, char( R ) ist die kleinste positive Zahl n, so dass:

wenn eine solche Zahl n existiert, andernfalls 0.

Die spezielle Definition des Merkmals Null wird durch die äquivalenten Definitionen in § Andere gleichwertige Charakterisierungen motiviert , wobei das Merkmal Null nicht gesondert betrachtet werden muss.

Das Merkmal kann auch als Exponent der additiven Gruppe des Rings angesehen werden, d. h. das kleinste positive n, so dass:

für jedes Element a des Rings (wieder, falls n existiert; sonst null). Einige Autoren beziehen das multiplikative Identitätselement nicht in ihre Anforderungen an einen Ring ein (siehe Multiplikative Identität: obligatorisch vs. optional ), und diese Definition ist für diese Konvention geeignet; ansonsten sind die beiden Definitionen aufgrund des Distributivgesetzes in Ringen äquivalent .

Andere gleichwertige Charakterisierungen

  • Das Merkmal ist die natürliche Zahl n, so dass n Z der Kern des eindeutigen Ringhomomorphismus von Z nach R ist ;
  • Das Merkmal ist die natürliche Zahl n, so dass R einen zum Faktorring Z / n Z isomorphen Unterring enthält , der das Abbild des obigen Homomorphismus ist.
  • Wenn die nicht-negativen ganzen Zahlen {0, 1, 2, 3, ...} teilweise nach Teilbarkeit geordnet sind, dann ist 1 die kleinste und 0 die größte. Dann ist die Charakteristik eines Rings der kleinste Wert von n, für den n ⋅ 1 = 0 ist . Wenn nichts "kleiner" (in dieser Reihenfolge) als 0 ausreicht, dann ist das Merkmal 0. Dies ist die angemessene Teilordnung, da char( A × B ) das kleinste gemeinsame Vielfache von char A und char B ist , und dass kein Ringhomomorphismus f  : AB existiert, es sei denn, char B teilt char A .
  • Die Charakteristik eines Rings R ist n genau dann, wenn aus der Aussage ka = 0 für alle aR folgt , dass k ein Vielfaches von n ist .

Fall von Ringen

Wenn R und S Ringe sind und es einen Ringhomomorphismus RS gibt , dann teilt die Charakteristik von S die Charakteristik von R . Dies kann manchmal verwendet werden, um die Möglichkeit bestimmter Ringhomomorphismen auszuschließen. Der einzige Ring mit der Charakteristik 1 ist der Nullring , der nur ein einziges Element 0 = 1 hat . Wenn ein nichttrivialer Ring R keine nichttrivialen Nullteiler hat , dann ist seine Charakteristik entweder 0 oder eine Primzahl . Dies gilt insbesondere für alle Körper , für alle ganzzahligen Bereiche und für alle Teilungsringe . Jeder Ring der Charakteristik 0 ist unendlich.

Der Ring Z / n Z der ganzen Zahlen modulo n hat die Charakteristik n . Wenn R ein Unterring von S ist , dann haben R und S die gleiche Eigenschaft. Wenn beispielsweise p eine Primzahl ist und q ( X ) ein irreduzibles Polynom mit Koeffizienten im Körper F p ist , dann ist der Quotientenring F p [ X ] / ( q ( X )) ein Körper der Charakteristik p . Ein weiteres Beispiel: Der Körper C der komplexen Zahlen enthält Z , die Charakteristik von C ist also 0.

Eine Z / n Z -Algebra ist äquivalent ein Ring, dessen Kennlinie n teilt . Dies liegt daran, dass es für jeden Ring R einen Ringhomomorphismus ZR gibt , und diese Abbildung faktorisiert durch Z / n Z genau dann, wenn die Charakteristik von R n teilt . In diesem Fall ergibt für jedes r im Ring das n- malige Addieren von r zu sich selbst nr = 0 .

Wenn ein kommutativer Ring R hat Primzahlcharakteristik p , dann haben wir ( x + y ) p = x p + y p für alle Elemente x und y in R - der " Freshman Traum " gilt für Kraft p . Die Abbildung f ( x ) = x p definiert dann einen Ringhomomorphismus RR . Es wird Frobenius-Homomorphismus genannt . Wenn R ein ganzzahliges Gebiet ist , ist es injektiv .

Fall von Feldern

Wie oben erwähnt, ist die Charakteristik eines jeden Feldes entweder 0 oder eine Primzahl. Ein Feld mit einer von Null verschiedenen Charakteristik wird als ein Feld mit endlicher Charakteristik oder positiver Charakteristik oder Primcharakteristik bezeichnet .

Jeder Körper F hat einen eindeutigen minimalen Teilkörper , auch als its . bezeichnet Primfeld . Dieser Teilkörper ist isomorph entweder zu demrationalenZahlenkörperQoder einem endlichen KörperF p Primzahlordnung. Zwei Primkörper gleicher Charakteristik sind isomorph, und diese Isomorphie ist eindeutig. Mit anderen Worten, es gibt im Wesentlichen in jedem Merkmal ein eindeutiges Primzahlfeld. Die gebräuchlichsten Felder desMerkmals Nullsind die Unterfelder derkomplexen Zahlen. Diep-adischen Feldersind charakteristische Nullfelder, die in der Zahlentheorie weit verbreitet sind. Sie haben Absolutwerte, die sich stark von denen komplexer Zahlen unterscheiden.

Für jeden geordneten Körper , wie der Körper der rationalen Zahlen Q oder der Körper der reellen Zahlen R , ist die Charakteristik 0. Somit haben Zahlenkörper und der Körper der komplexen Zahlen C die Charakteristik Null. Tatsächlich ist jeder Körper der Charakteristik Null der Quotientenkörper eines Rings Q [X]/P, wobei X eine Menge von Variablen und P eine Menge von Polynomen in Q [X] ist. Der endliche Körper GF( p n ) hat die Charakteristik p . Es gibt unendlich viele Körper mit Primzahlcharakteristik. Zum Beispiel der Körper aller rationalen Funktionen über Z / p Z , der algebraische Abschluss von Z / p Z oder der Körper der formalen Laurent-Reihe Z / p Z ((T)). Der charakteristische Exponent wird ähnlich definiert, außer dass er gleich 1 ist, wenn die Charakteristik null ist; andernfalls hat es denselben Wert wie das Merkmal.

Die Größe eines endlichen Rings mit Primcharakteristik p ist eine Potenz von p . Da es in diesem Fall Z / p Z enthalten muss , muss es auch ein Vektorraum über diesem Körper sein und aus der linearen Algebra wissen wir, dass die Größen endlicher Vektorräume über endlichen Körpern eine Potenz der Größe des Körpers sind. Dies zeigt auch, dass die Größe eines endlichen Vektorraums eine Primzahlpotenz ist. (Es ist ein Vektorraum über einem endlichen Körper, von dem wir gezeigt haben, dass er die Größe p n hat , also ist seine Größe ( p n ) m = p nm .)

Anmerkungen

Zitate


Verweise