Ladung (Physik) - Charge (physics)

In der Physik ist eine Ladung eine von vielen verschiedenen Größen, wie die elektrische Ladung im Elektromagnetismus oder die Farbladung in der Quantenchromodynamik . Ladungen entsprechen den zeitinvarianten Generatoren einer Symmetriegruppe und insbesondere den Generatoren, die mit dem Hamilton-Operator kommutieren . Ladungen werden oft mit dem Buchstaben Q bezeichnet , und so entspricht die Invarianz der Ladung dem verschwindenden Kommutator , wobei H der Hamilton-Operator ist. Somit sind Ladungen mit erhaltenen Quantenzahlen verbunden ; das sind die Eigenwerte q des Generators Q . ${\displaystyle [Q,H]=0}$

Abstrakte Definition

Abstrakt ist eine Ladung jeder Generator einer kontinuierlichen Symmetrie des untersuchten physikalischen Systems. Wenn ein physikalisches System irgendeine Symmetrie hat, impliziert der Satz von Noether die Existenz eines erhaltenen Stroms . Was im Strom "fließt" ist die "Ladung", die Ladung ist der Generator der (lokalen) Symmetriegruppe . Diese Ladung wird manchmal als Noether-Ladung bezeichnet .

So ist zum Beispiel die elektrische Ladung der Generator der U(1) -Symmetrie des Elektromagnetismus . Der Erhaltungsstrom ist der elektrische Strom .

Bei lokalen dynamischen Symmetrien ist jeder Ladung ein Eichfeld zugeordnet ; wenn es quantisiert wird, wird das Eichfeld ein Eichboson . Die Ladungen der Theorie "strahlen" das Eichfeld aus. So ist zum Beispiel das Eichfeld des Elektromagnetismus das elektromagnetische Feld ; und das Eichboson ist das Photon .

Das Wort "Ladung" wird oft als Synonym sowohl für den Generator einer Symmetrie als auch für die erhaltene Quantenzahl (Eigenwert) des Generators verwendet. Bezieht sich der Großbuchstabe Q auf den Generator, so ergibt sich, dass der Generator mit dem Hamilton-Operator [ Q , H ] = 0 kommutiert . Die Kommutierung impliziert, dass die Eigenwerte (Kleinbuchstaben) q zeitinvariant sind: dq/dt= 0 .

Wenn also beispielsweise die Symmetriegruppe eine Lie-Gruppe ist , dann entsprechen die Ladungsoperatoren den einfachen Wurzeln des Wurzelsystems der Lie-Algebra ; die Diskretion des Wurzelsystems, die für die Quantisierung der Ladung verantwortlich ist. Es werden die einfachen Wurzeln verwendet, da alle anderen Wurzeln als Linearkombinationen davon erhalten werden können. Die allgemeinen Wurzeln werden oft als Hebe- und Senkoperatoren oder Leiteroperatoren bezeichnet .

Die Ladungsquantenzahlen entsprechen dann den Gewichten der höchstgewichtigen Module einer gegebenen Darstellung der Lie-Algebra. Wenn also beispielsweise ein Teilchen in einer Quantenfeldtheorie zu einer Symmetrie gehört, dann transformiert es sich gemäß einer bestimmten Darstellung dieser Symmetrie; die Ladungsquantenzahl ist dann das Gewicht der Darstellung.

Beispiele

Durch Theorien der Teilchenphysik wurden verschiedene Ladungsquantenzahlen eingeführt . Dazu gehören die Gebühren des Standardmodells :

• Die Farbladung von Quarks . Die Farbladung erzeugt die SU(3) -Farbsymmetrie der Quantenchromodynamik .
• Die schwachen Isospin- Quantenzahlen der elektroschwachen Wechselwirkung . Es erzeugt den SU(2) -Teil der elektroschwachen SU(2) × U(1)-Symmetrie. Schwacher Isospin ist eine lokale Symmetrie, deren Eichbosonen die W- und Z-Bosonen sind .
• Die elektrische Ladung für elektromagnetische Wechselwirkungen. In Mathematiktexten wird dies manchmal als die Ladung eines Lie-Algebra- Moduls bezeichnet .${\displaystyle u_{1}}$

Ladungen angenäherter Symmetrien:

• Die starken Isospin- Ladungen. Die Symmetriegruppe ist SU(2) -Flavor- Symmetrie; die Eichbosonen sind die Pionen . Die Pionen sind keine Elementarteilchen , und die Symmetrie ist nur ungefähr. Es ist ein Sonderfall der Geschmackssymmetrie.
• Andere Quark- Geschmacksladungen, wie Strangeness oder Charm . Zusammen mit dem
  du
  –
  d
  Isospin, wie oben erwähnt, erzeugen diese die globale SU(6) -Geschmackssymmetrie der fundamentalen Teilchen; diese Symmetrie wird durch die Massen der schweren Quarks stark gebrochen . Ladungen umfassen die Hyperladung , die X-Ladung und die schwache Hyperladung .

Hypothetische Gebühren für Erweiterungen des Standardmodells:

• Die hypothetische magnetische Ladung ist eine weitere Ladung in der Theorie des Elektromagnetismus. Magnetische Ladungen werden in Laborexperimenten experimentell nicht beobachtet, wären aber für Theorien einschließlich magnetischer Monopole vorhanden .

Bei Supersymmetrie :

• Die Superladung bezieht sich auf den Generator, der die Fermionen in Bosonen dreht und umgekehrt, in der Supersymmetrie.

In der konformen Feldtheorie :

• Die zentrale Ladung der Virasoro-Algebra , manchmal auch als konforme zentrale Ladung oder konforme Anomalie bezeichnet . Der Begriff „zentral“ wird hier im Sinne des Zentrums in der Gruppentheorie verwendet: es ist ein Operator, der mit allen anderen Operatoren der Algebra kommutiert. Die zentrale Ladung ist der Eigenwert des zentralen Generators der Algebra; hier ist es der Energie-Impuls-Tensor der zweidimensionalen konformen Feldtheorie.

In der Gravitation :

• Eigenwerte des Energie-Impuls-Tensors entsprechen der physikalischen Masse .

Ladungskonjugation

Im Formalismus der Teilchentheorien können ladungsähnliche Quantenzahlen manchmal mit einem Ladungskonjugationsoperator namens C invertiert werden . Ladungskonjugation bedeutet einfach, dass eine gegebene Symmetriegruppe in zwei inäquivalenten (aber immer noch isomorphen ) Gruppendarstellungen vorkommt . Normalerweise sind die beiden ladungskonjugierten Darstellungen komplex konjugierte Fundamentaldarstellungen der Lie-Gruppe. Ihr Produkt bildet dann die adjungierte Darstellung der Gruppe.

Ein gängiges Beispiel ist daher, dass das Produkt zweier ladungskonjugierter fundamentaler Darstellungen von SL(2,C) (den Spinoren ) den adjungierten rep der Lorentz-Gruppe SO(3,1) bildet; abstrakt schreibt man

${\displaystyle 2\otimes {\overline {2}}=3\oplus 1.\ }$

Das heißt, das Produkt zweier (Lorentz-)Spinoren ist ein (Lorentz)-Vektor und ein (Lorentz)-Skalar. Beachten Sie, dass die komplexe Lie-Algebra sl(2,C) eine kompakte reelle Form su(2) hat (tatsächlich haben alle Lie-Algebren eine eindeutige kompakte reelle Form). Die gleiche Zerlegung gilt auch für die kompakte Form: Das Produkt zweier Spinoren in su(2) ist ein Vektor in der Rotationsgruppe O(3) und ein Singulett. Die Zerlegung ist durch die Clebsch-Gordan-Koeffizienten gegeben .

Ein ähnliches Phänomen tritt in der kompakten Gruppe SU(3) auf , wo es zwei ladungskonjugierte, aber inäquivalente fundamentale Darstellungen gibt, genannt und , wobei die Zahl 3 die Dimension der Darstellung angibt und die Quarks sich unter und die Antiquarks unter transformieren . Das Kronecker-Produkt der beiden ergibt ${\displaystyle 3}$${\displaystyle {\overline {3}}}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle {\overline {3}}}$

${\displaystyle 3\otimes {\overline {3}}=8\oplus 1.\ }$

Das heißt, eine achtdimensionale Darstellung, das Oktett des achtfachen Weges und ein Singulett . Die Zerlegung solcher Darstellungsprodukte in direkte Summen irreduzibler Darstellungen kann im Allgemeinen geschrieben werden als

${\displaystyle \Lambda \otimes \Lambda '=\bigoplus_{i}{\mathcal{L}}_{i}\Lambda_{i}}$

für Vertretungen . Die Dimensionen der Darstellungen gehorchen der "Dimensionssummenregel": ${\displaystyle \Lambda}$

${\displaystyle d_{\Lambda}\cdot d_{\Lambda '}=\sum _{i}{\mathcal{L}}_{i}d_{\Lambda_{i}}.}$

Hier ist die Dimension der Darstellung und die ganzen Zahlen sind die Littlewood-Richardson-Koeffizienten . Die Zerlegung der Darstellungen erfolgt wiederum durch die Clebsch-Gordan-Koeffizienten, diesmal im allgemeinen Lie-Algebra-Setting. ${\displaystyle d_{\Lambda}}$${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle {\mathcal{L}}}$

Siehe auch

• Casimir-Betreiber

Verweise