Chebyshev - Markov - Stieltjes Ungleichungen - Chebyshev–Markov–Stieltjes inequalities
In der mathematischen Analyse sind die Chebyshev-Markov-Stieltjes- Ungleichungen Ungleichungen im Zusammenhang mit dem Problem der Momente , die in den 1880er Jahren von Pafnuty Chebyshev formuliert und von Andrey Markov und (etwas später) von Thomas Jan Stieltjes unabhängig bewiesen wurden . Informell bieten sie scharfe Grenzen für ein Maß von oben und von unten in Bezug auf seine ersten Momente .
Formulierung
Gegeben m 0 , ..., m 2 m -1 ∈ R , betrachten die Sammlung C von Maßnahmen & mgr; auf R , so dass
für k = 0,1, ..., 2 m - 1 (und insbesondere ist das Integral definiert und endlich).
Sei P 0 , P 1 , ..., P m die ersten m + 1 orthogonalen Polynome in Bezug auf μ ∈ C und sei ξ 1 , ... ξ m die Nullen von P m . Es ist nicht schwer zu erkennen, dass die Polynome P 0 , P 1 , ..., P m -1 und die Zahlen ξ 1 , ... ξ m für jedes μ ∈ C gleich sind und daher eindeutig durch m bestimmt werden 0 , ..., m 2 m -1 .
Bezeichnen
- .
Satz Für j = 1,2, ..., m und jedes μ ∈ C ,