Chi-Quadrat-Verteilung - Chi-squared distribution

Chi-Quadrat

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Verteilungsfunktion
Notation	${\displaystyle \chi^{2}(k)\;}$ oder ${\displaystyle \chi_{k}^{2}\!}$
Parameter	${\displaystyle k\in\mathbb{N} ^{*}~~}$ (bekannt als "Freiheitsgrade")
Unterstützung	${\displaystyle x\in (0,+\infty)\;}$wenn , sonst${\displaystyle k=1}$${\displaystyle x\in [0,+\infty )\;}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\;x^{k/2-1}e^{-x/2}\;}$
CDF	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k/2)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\ rechts)\;}$
Bedeuten	${\displaystyle k}$
Median	${\displaystyle \approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg)}^{3}\;}$
Modus	${\displaystyle \max(k-2,0)\;}$
Abweichung	${\displaystyle 2k\;}$
Schiefe	${\displaystyle {\sqrt {8/k}}\,}$
Ex. kurtosis	${\displaystyle {\frac {12}{k}}}$
Entropie	${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}{\frac {k}{2}}&+\ln(2\Gamma ({\frac {k}{2}}))\\&\!+(1-{ \frac {k}{2}})\psi ({\frac {k}{2}})\end{ausgerichtet}}}$
MGF	${\displaystyle (1-2t)^{-k/2}{\text{ for }}t<{\frac {1}{2}}\;}$
CF	${\displaystyle (1-2it)^{-k/2}}$
PGF	${\displaystyle (1-2\ln t)^{-k/2}{\text{ für }}0<t<{\sqrt {e}}\;}$

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist die Chi-Quadrat-Verteilung (auch Chi-Quadrat oder χ ² -Verteilung ) mit k Freiheitsgraden die Verteilung einer Summe der Quadrate von k unabhängigen Standardnormal- Zufallsvariablen. Die Chi-Quadrat-Verteilung ist ein Spezialfall der Gamma-Verteilung und ist eine der am häufigsten verwendeten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Inferenzstatistik , insbesondere beim Testen von Hypothesen und bei der Konstruktion von Konfidenzintervallen. Diese Verteilung wird manchmal als zentrale Chi-Quadrat-Verteilung bezeichnet , ein Spezialfall der allgemeineren nicht-zentralen Chi-Quadrat-Verteilung .

Die Chi-Quadrat - Verteilung wird in den gemeinsamen verwendet Chi-Quadrat - Tests für Güte der Anpassung einer beobachteten Verteilung auf einen theoretischen, die Unabhängigkeit von zwei Kriterien der Klassifizierung von qualitativen Daten , und in Konfidenzintervall Schätzung für eine Population Standardabweichung von a Normalverteilung aus einer Stichprobenstandardabweichung. Viele andere statistische Tests verwenden ebenfalls diese Verteilung, wie beispielsweise Friedmans Varianzanalyse nach Rang .

Definitionen

Wenn Z ₁ , ..., Z _k sind unabhängig , Zu, dann ist die Summe ihrer Quadrate,

${\displaystyle Q\ =\sum_{i=1}^{k}Z_{i}^{2},}$

ist nach der Chi-Quadrat-Verteilung mit k Freiheitsgraden verteilt. Dies wird normalerweise als . bezeichnet

${\displaystyle Q\\sim\\chi^{2}(k)\\{\text{or}}\\Q\\sim\\chi_{k}^{2}.}$

Die Chi-Quadrat-Verteilung hat einen Parameter: eine positive ganze Zahl k , die die Anzahl der Freiheitsgrade angibt (die Anzahl der zu summierenden Zufallsvariablen, Z _i s).

Einführung

Die Chi-Quadrat-Verteilung wird hauptsächlich für Hypothesentests verwendet und in geringerem Maße für Konfidenzintervalle für die Populationsvarianz, wenn die zugrunde liegende Verteilung normal ist. Im Gegensatz zu bekannteren Verteilungen wie der Normalverteilung und der Exponentialverteilung wird die Chi-Quadrat-Verteilung bei der direkten Modellierung natürlicher Phänomene nicht so häufig angewendet. Sie entsteht unter anderem in folgenden Hypothesentests:

• Chi-Quadrat-Test der Unabhängigkeit in Kontingenztafeln
• Chi-Quadrat-Test der Anpassung der beobachteten Daten an hypothetische Verteilungen
• Likelihood-Ratio-Test für verschachtelte Modelle
• Log-Rank-Test in der Überlebensanalyse
• Cochran-Mantel-Haenszel-Test für stratifizierte Kontingenztafeln

Es ist auch Bestandteil der Definition der t-Verteilung und der F-Verteilung, die in t-Tests, Varianzanalysen und Regressionsanalysen verwendet werden.

Der Hauptgrund für die häufige Verwendung der Chi-Quadrat-Verteilung bei Hypothesentests ist ihre Beziehung zur Normalverteilung. Viele Hypothesentests verwenden eine Teststatistik, wie beispielsweise die t-Statistik in einem t-Test. Bei diesen Hypothesentests nähert sich die Stichprobenverteilung der Teststatistik mit zunehmender Stichprobengröße n der Normalverteilung ( zentraler Grenzwertsatz ). Da die Teststatistik (wie t) asymptotisch normalverteilt ist, kann die für den Hypothesentest verwendete Verteilung unter der Voraussetzung einer ausreichend großen Stichprobengröße durch eine Normalverteilung angenähert werden. Das Testen von Hypothesen unter Verwendung einer Normalverteilung ist gut verstanden und relativ einfach. Die einfachste Chi-Quadrat-Verteilung ist das Quadrat einer Standardnormalverteilung. Wo immer eine Normalverteilung für einen Hypothesentest verwendet werden könnte, könnte eine Chi-Quadrat-Verteilung verwendet werden.

Angenommen, es handelt sich um eine Zufallsvariable, die aus der Standardnormalverteilung entnommen wird, wobei der Mittelwert und die Varianz : . Betrachten Sie nun die Zufallsvariable . Die Verteilung der Zufallsvariablen ist ein Beispiel für eine Chi-Quadrat-Verteilung: Der Index 1 zeigt an, dass diese spezielle Chi-Quadrat-Verteilung nur aus einer Standard-Normalverteilung aufgebaut ist. Eine Chi-Quadrat-Verteilung, die durch Quadrieren einer einzelnen Standardnormalverteilung konstruiert wird, hat 1 Freiheitsgrad. Somit nähert sich die Verteilung der Teststatistik mit zunehmender Stichprobengröße für einen Hypothesentest einer Normalverteilung an. So wie Extremwerte der Normalverteilung eine geringe Wahrscheinlichkeit haben (und kleine p-Werte ergeben), haben Extremwerte der Chi-Quadrat-Verteilung eine geringe Wahrscheinlichkeit. ${\displaystyle Z}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle Z\sim N(0,1)}$${\displaystyle Q=Z^{2}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \ Q\ \sim \ \chi _{1}^{2}.}$

Ein weiterer Grund dafür, dass die Chi-Quadrat-Verteilung weit verbreitet ist, besteht darin, dass sie sich als die große Stichprobenverteilung von generalisierten Likelihood-Ratio-Tests (LRT) erweist . LRTs haben mehrere wünschenswerte Eigenschaften; insbesondere bieten einfache LRTs im Allgemeinen die höchste Kraft, die Nullhypothese ( Neyman-Pearson-Lemma ) abzulehnen, und dies führt auch zu Optimalitätseigenschaften von generalisierten LRTs. Die Normal- und Chi-Quadrat-Approximationen sind jedoch nur asymptotisch gültig. Aus diesem Grund ist es vorzuziehen, die t-Verteilung anstelle der normalen Näherung oder der Chi-Quadrat-Approximation für eine kleine Stichprobengröße zu verwenden. In ähnlicher Weise ist die Chi-Quadrat-Approximation bei Analysen von Kontingenztabellen für eine kleine Stichprobengröße schlecht, und es ist vorzuziehen, den exakten Test von Fisher zu verwenden . Ramsey zeigt, dass der exakte Binomialtest immer leistungsfähiger ist als die normale Approximation.

Lancaster zeigt die Verbindungen zwischen den Binomial-, Normal- und Chi-Quadrat-Verteilungen wie folgt. De Moivre und Laplace stellten fest, dass eine Binomialverteilung durch eine Normalverteilung angenähert werden kann. Konkret zeigten sie die asymptotische Normalität der Zufallsvariablen

${\displaystyle \chi ={m-Np \over {\sqrt {Npq}}}}$

wo ist die beobachtete Anzahl von Erfolgen in Versuchen, wo die Erfolgswahrscheinlichkeit ist und . ${\displaystyle m}$${\displaystyle N}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q=1-p}$

Quadrieren beider Seiten der Gleichung ergibt

${\displaystyle \chi^{2}={(m-Np)^{2} \over Npq}}$

Mit , , und kann diese Gleichung umgeschrieben werden als ${\displaystyle N=Np+N(1-p)}$${\displaystyle N=m+(Nm)}$${\displaystyle q=1-p}$

${\displaystyle \chi^{2}={(m-Np)^{2} \over Np}+{(Nm-Nq)^{2} \over Nq}}$

Der Ausdruck auf der rechten Seite hat die Form, die Karl Pearson auf die Form verallgemeinern würde

${\displaystyle \chi^{2}=\sum_{i=1}^{n}{\frac {(O_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}}}$

wo

${\displaystyle \chi^{2}}$= Kumulative Teststatistik nach Pearson, die sich asymptotisch einer Verteilung annähert .${\displaystyle \chi^{2}}$

${\displaystyle O_{i}}$= die Anzahl der Beobachtungen des Typs .${\displaystyle i}$

${\displaystyle E_{i}=Np_{i}}$= die erwartete (theoretische) Häufigkeit des Typs , behauptet durch die Nullhypothese, dass der Anteil des Typs in der Grundgesamtheit ist${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle n}$ = die Anzahl der Zellen in der Tabelle.

Im Falle eines binomialen Ergebnisses (eine Münze werfen) kann die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung (für ausreichend groß ) angenähert werden . Da das Quadrat einer Standardnormalverteilung die Chi-Quadrat-Verteilung mit einem Freiheitsgrad ist, kann die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses wie 1 Kopf in 10 Versuchen entweder durch direkte Verwendung der Normalverteilung oder die Chi-Quadrat-Verteilung für die normalisierte, quadrierte Differenz zwischen beobachtetem und erwartetem Wert. Viele Probleme beinhalten jedoch mehr als die zwei möglichen Ergebnisse einer Binomialverteilung und erfordern stattdessen 3 oder mehr Kategorien, was zur Multinomialverteilung führt. So wie de Moivre und Laplace die Normal-Approximation an die Binomialverteilung suchten und fanden, suchte und fand Pearson eine degenerierte multivariate Normal-Approximation an die Multinomialverteilung (die Zahlen in jeder Kategorie addieren sich zum Gesamtstichprobenumfang, der als fest angesehen wird). . Pearson zeigte, dass die Chi-Quadrat-Verteilung aus einer solchen multivariaten Normal-Approximation an die multinomiale Verteilung entstand, wobei die statistische Abhängigkeit (negative Korrelationen) zwischen der Anzahl von Beobachtungen in verschiedenen Kategorien sorgfältig berücksichtigt wurde. ${\displaystyle n}$

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (pdf) der Chi-Quadrat-Verteilung ist

${\displaystyle f(x;\,k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2 }}}}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma \left({\frac{k}{2}}\right)}},&x>0;\\0,&{\text {sonst}}.\end{cases}}}$

wobei bezeichnet die Gamma-Funktion , die geschlossene Werte für integer hat . ${\textstyle \Gamma (k/2)}$${\displaystyle k}$

Für Ableitungen des pdf in den Fällen von eins, zwei und Freiheitsgraden siehe Beweise zur Chi-Quadrat-Verteilung . ${\displaystyle k}$

Verteilungsfunktion

Chernoff-Schranke für CDF und Tail (1-CDF) einer Chi-Quadrat-Zufallsvariablen mit zehn Freiheitsgraden ( = 10)${\displaystyle k}$

Seine kumulative Verteilungsfunktion ist:

${\displaystyle F(x;\,k)={\frac {\gamma ({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}})}{\Gamma ({\ frac {k}{2}})}}=P\left({\frac{k}{2}},\,{\frac{x}{2}}\right),}$

wo ist die untere unvollständige Gammafunktion und ist die regularisierte Gammafunktion . ${\displaystyle\gamma(s,t)}$${\textstyle P(s,t)}$

Im Sonderfall = 2 hat diese Funktion die einfache Form: ${\displaystyle k}$

${\displaystyle F(x;\,2)=1-e^{-x/2}}$

die durch direkte Integration leicht abgeleitet werden können. Die ganzzahlige Wiederholung der Gammafunktion macht es einfach, für andere kleine, gerade . ${\displaystyle f(x;\,2)={\frac {1}{2}}e^{-{\frac {x}{2}}}}$${\displaystyle F(x;\,2)}$${\displaystyle k}$

Tabellen der kumulativen Chi-Quadrat-Verteilungsfunktion sind weit verbreitet und die Funktion ist in vielen Tabellenkalkulationen und allen Statistikpaketen enthalten .

Zu lassen , Chernoff Grenzen auf den unteren und oberen tails des CDF erhalten werden. Für die Fälle, in denen (einschließlich aller Fälle, in denen dieser CDF weniger als die Hälfte beträgt): ${\displaystyle z\äquiv x/k}$${\displaystyle 0<z<1}$

${\displaystyle F(zk;\,k)\leq (ze^{1-z})^{k/2}.}$

Die Schwanzgrenze für die Fälle , in denen ähnlich . ist ${\displaystyle z>1}$

${\displaystyle 1-F(zk;\,k)\leq (ze^{1-z})^{k/2}.}$

Für eine weitere Approximation für die CDF, modelliert nach dem Kubus einer Gauß-Funktion, siehe unter Nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung .

Eigenschaften

Summe der Quadrate unabhängiger, gleichverteilter normaler Zufallsvariablen abzüglich ihres Mittelwertes

Wenn Z ₁ , ..., Z _k sind unabhängig identisch verteilt (iid), Standardnormalzufallsvariablen, dann

${\displaystyle \sum_{i=1}^{k}(Z_{i}-{\overline {Z}})^{2}\sim \chi_{k-1}^{2}}$

wo

${\displaystyle {\overline {Z}}={\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}Z_{i}.}$

Additiv

Aus der Definition der Chi-Quadrat-Verteilung folgt, dass die Summe der unabhängigen Chi-Quadrat-Variablen auch Chi-Quadrat-verteilt ist. Genauer gesagt, wenn unabhängige Chi-Quadrat-Variablen mit jeweils , Freiheitsgraden sind, dann ist Chi-Quadrat-verteilt mit Freiheitsgraden. ${\displaystyle X_{i},i={\overline {1,n}}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle i={\overline {1,n}}}$${\displaystyle Y=X_{1}+...+X_{n}}$${\displaystyle k_{1}+...+k_{n}}$

Stichprobenmittelwert

Der Stichprobenmittelwert der iid- Chi-Quadrat- Gradvariablen wird gemäß einer Gammaverteilung mit Form- und Skalenparametern verteilt: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle\theta}$

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Gamma} \left(\alpha = n\,k/2,\theta=2/n\right)\qquad {\text{wo}}X_{i}\sim\chi^{2}(k)}$

Asymptotisch , da für einen Skalenparameter , der ins Unendliche geht, eine Gamma-Verteilung gegen eine Normalverteilung mit Erwartungswert und Varianz konvergiert, konvergiert der Stichprobenmittelwert gegen: ${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle\mu =\alpha\cdot\theta}$${\displaystyle \sigma^{2}=\alpha\,\theta^{2}}$

${\displaystyle {\overline {X}}\xrightarrow {n\to\infty} N(\mu=k,\sigma^{2}=2\,k/n)}$

Beachten Sie, dass das gleiche Ergebnis Aufrufen stattdessen die erhalten hätte zentralen Grenzwertsatzes , der Feststellung , dass für jede Chi-Quadrat - Variable vom Grad der Erwartung ist , und deren Varianz (und damit die Varianz des Stichprobenmittel Wesens ). ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 2\,k}$${\displaystyle {\overline {X}}}$${\displaystyle \sigma^{2}={\frac {2k}{n}}}$

Entropie

Die differentielle Entropie ist gegeben durch

${\displaystyle h=\int_{0}^{\infty}f(x;\,k)\ln f(x;\,k)\,dx={\frac {k}{2}}+\ ln \left[2\,\Gamma\left({\frac{k}{2}}\right)\right]+\left(1-{\frac{k}{2}}\right)\,\ psi \!\left[{\frac{k}{2}}\right],}$

wobei ψ ( x ) die Digamma-Funktion ist .

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist die maximale Entropie-Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Zufallsvariable, für die und festgelegt sind. Da das Chi-Quadrat zur Familie der Gamma-Verteilungen gehört, kann dies durch Einsetzen geeigneter Werte in die Erwartung des logarithmischen Moments von Gamma abgeleitet werden . Zur Ableitung von grundlegenderen Prinzipien siehe die Ableitung der momenterzeugenden Funktion der hinreichenden Statistik . ${\displaystyle X}$${\displaystyle\operatorname {E} (X)=k}$${\displaystyle \operatorname {E} (\ln(X))=\psi (k/2)+\ln(2)}$

Nichtzentrale Momente

Die Momente um Null einer Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden sind gegeben durch ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{m})=k(k+2)(k+4)\cdots (k+2m-2)=2^{m}{\frac {\Gamma \left (m+{\frac{k}{2}}\right)}{\Gamma\left({\frac{k}{2}}\right)}}.}$

Kumulanten

Die Kumulanten erhält man leicht durch eine (formale) Potenzreihenentwicklung des Logarithmus der charakteristischen Funktion:

${\displaystyle \kappa_{n}=2^{n-1}(n-1)!\,k}$

Konzentration

Die Chi-Quadrat-Verteilung weist eine starke Konzentration um ihren Mittelwert auf. Die standardmäßigen Laurent-Massart-Grenzen sind:

${\displaystyle \operatorname {P} (Xk\geq 2{\sqrt {kx}}+2x)\leq \exp(-x)}$

${\displaystyle \operatorname {P} (kX\geq 2{\sqrt {kx}})\leq \exp(-x)}$

Asymptotische Eigenschaften

Näherungsformel für Median (aus der Wilson-Hilferty-Transformation) im Vergleich zum numerischen Quantil (oben); und Differenz (blau) und relative Differenz (rot) zwischen numerischem Quantil und Näherungsformel (unten). Für die Chi-Quadrat-Verteilung sind nur die positiven ganzen Zahlen der Freiheitsgrade (Kreise) sinnvoll.

Da die Chi-Quadrat-Verteilung die Summe unabhängiger Zufallsvariablen mit endlichem Mittelwert und endlicher Varianz ist, konvergiert sie nach dem zentralen Grenzwertsatz für große gegen eine Normalverteilung . Für viele praktische Zwecke liegt die Verteilung so nahe an einer Normalverteilung, dass die Differenz ignoriert werden kann. Insbesondere wenn , dann gegen Unendlich strebt, die Verteilung der dazu neigt , auf eine Standardnormalverteilung. Allerdings Konvergenz ist langsam wie der Schiefe ist und die überschüssige Kurtosis ist . ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k>50}$${\displaystyle X\sim\chi^{2}(k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (Xk)/{\sqrt {2k}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {8/k}}}$${\displaystyle 12/k}$

Die Stichprobenverteilung von konvergiert viel schneller zur Normalität als die Stichprobenverteilung von , da der Logarithmus einen Großteil der Asymmetrie beseitigt. Andere Funktionen der Chi-Quadrat-Verteilung konvergieren schneller zu einer Normalverteilung. Einige Beispiele sind: ${\displaystyle \ln(\chi^{2})}$${\displaystyle \chi^{2}}$

• If then ist ungefähr normalverteilt mit Mittelwert und Einheitsvarianz (1922, von RA Fisher , siehe (18.23), S. 426 von Johnson.${\displaystyle X\sim\chi^{2}(k)}$${\displaystyle {\sqrt {2X}}}$${\displaystyle {\sqrt {2k-1}}}$
• Wenn dann mit Mittelwert und Varianz ungefähr normalverteilt ist Dies wird als Wilson-Hilferty-Transformation bezeichnet, s. 426 von Johnson. ${\displaystyle X\sim\chi^{2}(k)}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{X/k}}}$${\displaystyle 1-{\frac {2}{9k}}}$${\displaystyle {\frac {2}{9k}}.}$
  • Diese normierende Transformation führt direkt zu der üblicherweise verwendeten Median-Approximation durch Rücktransformation aus dem Mittelwert, der auch der Median ist, der Normalverteilung.${\displaystyle k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg)}^{3}\;}$

Verwandte Distributionen

• As , ( Normalverteilung )${\displaystyle k\to\infty}$${\displaystyle (\chi_{k}^{2}-k)/{\sqrt {2k}}~{\xrightarrow {d}}\ N(0,1)\,}$
• ${\displaystyle \chi_{k}^{2}\sim {\chi'}_{k}^{2}(0)}$( nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung mit Nichtzentralitätsparameter )${\displaystyle \lambda =0}$
• Wenn dann die Chi-Quadrat-Verteilung${\displaystyle Y\sim\mathrm {F} (\nu_{1},\nu_{2})}$${\displaystyle X=\lim_{\nu_{2}\to\infty}\nu_{1}Y}$${\displaystyle \chi_{\nu_{1}}^{2}}$

• Als Sonderfall hat if dann die Chi-Quadrat-Verteilung${\displaystyle Y\sim\mathrm {F} (1,\nu_{2})\,}$${\displaystyle X=\lim_{\nu_{2}\to \infty}Y\,}$${\displaystyle \chi_{1}^{2}}$

• ${\displaystyle \|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots,k}(0,1)\|^{2}\sim\chi_{k}^{2}}$(Die quadrierte Norm von k normalverteilten Standardvariablen ist eine Chi-Quadrat-Verteilung mit k Freiheitsgraden )
• Wenn und , dann . ( Gammaverteilung )${\displaystyle X\sim\chi^{2}(\nu)\,}$${\displaystyle c>0\,}$${\displaystyle cX\sim\Gamma (k=\nu/2,\theta=2c)\,}$
• Wenn dann ( Chi-Verteilung )${\displaystyle X\sim\chi_{k}^{2}}$${\displaystyle {\sqrt {X}}\sim \chi_{k}}$
• Wenn , dann ist eine Exponentialverteilung . (Weitere Informationen finden Sie unter Gammaverteilung .)${\displaystyle X\sim\chi^{2}(2)}$${\displaystyle X\sim\operatorname {Exp} (1/2)}$
• Wenn , dann ist eine Erlang-Distribution .${\displaystyle X\sim\chi^{2}(2k)}$${\displaystyle X\sim\operatorname {Erlang} (k,1/2)}$
• Wenn , dann${\displaystyle X\sim\operatorname {Erlang} (k,\lambda)}$${\displaystyle 2\lambda X\sim\chi_{2k}^{2}}$
• Wenn ( Rayleigh-Verteilung ) dann${\displaystyle X\sim\operatorname {Rayleigh} (1)\,}$${\displaystyle X^{2}\sim\chi^{2}(2)\,}$
• Wenn ( Maxwell-Verteilung ) dann${\displaystyle X\sim\operatorname {Maxwell} (1)\,}$${\displaystyle X^{2}\sim\chi^{2}(3)\,}$
• Wenn dann ( Inverse-Chi-Quadrat-Verteilung )${\displaystyle X\sim\chi^{2}(\nu)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Inv-} \chi ^{2}(\nu)\,}$
• Die Chi-Quadrat-Verteilung ist ein Sonderfall der Pearson-Verteilung vom Typ III
• Wenn und dann unabhängig sind ( Betaverteilung )${\displaystyle X\sim\chi^{2}(\nu_{1})\,}$${\displaystyle Y\sim\chi^{2}(\nu_{2})\,}$${\displaystyle {\tfrac {X}{X+Y}}\sim \operatorname {Beta} ({\tfrac {\nu _{1}}{2}},{\tfrac {\nu _{2}} {2}})\,}$
• Wenn ( gleichmäßige Verteilung ) dann${\displaystyle X\sim\operatorname {U} (0,1)\,}$${\displaystyle -2\log(X)\sim\chi^{2}(2)\,}$
• Wenn dann${\displaystyle X_{i}\sim\operatorname {Laplace} (\mu,\beta)\,}$${\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |}{\beta}}\sim\chi^{2}(2n)\,}$
• Folgt die verallgemeinerte Normalverteilung (Version 1) mit Parametern dann${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \mu,\alpha,\beta}$${\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |^{\beta}}{\alpha}}\sim\chi^{2}\left ({\frac{2n}{\beta}}\right)\,}$
• Chi-Quadrat-Verteilung ist eine Transformation der Pareto-Verteilung
• Die t-Verteilung nach Student ist eine Transformation der Chi-Quadrat-Verteilung
• Die t-Verteilung nach Student kann aus der Chi-Quadrat-Verteilung und der Normalverteilung erhalten werden
• Die nichtzentrale Beta-Verteilung kann als Transformation der Chi-Quadrat-Verteilung und der nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung erhalten werden
• Die nichtzentrale t-Verteilung kann aus der Normalverteilung und der Chi-Quadrat-Verteilung erhalten werden

Eine Chi-Quadrat-Variable mit Freiheitsgraden ist definiert als die Summe der Quadrate unabhängiger normaler Standard- Zufallsvariablen. ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Wenn es sich um einen -dimensionalen Gaußschen Zufallsvektor mit Mittelwertvektor und Rangkovarianzmatrix handelt , dann ist Chi-Quadrat-verteilt mit Freiheitsgraden. ${\displaystyle Y}$${\displaystyle k}$${\displaystyle\mu}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X=(Y-\mu)^{T}C^{-1}(Y-\mu)}$${\displaystyle k}$

Die Summe der Quadrate der statistisch unabhängige Einheit-Varianz - Gauß - Variablen , die tun nicht haben mittlere Null ergibt eine Verallgemeinerung der Chi-Quadrat - Verteilung der genannten nichtzentrale Chi-Quadrat - Verteilung .

Wenn ein Vektor von iid standardnormalen Zufallsvariablen und eine symmetrische , idempotente Matrix mit Rang ist , dann ist die quadratische Form mit Freiheitsgraden Chi-Quadrat-verteilt . ${\displaystyle Y}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle kn}$ ${\displaystyle Y^{T}AY}$${\displaystyle kn}$

Wenn eine positiv-semidefinite Kovarianzmatrix mit streng positiven Diagonaleinträgen ist, dann für und ein zufälliger -Vektor unabhängig von solchen und es gilt, dass ${\displaystyle \Sigma}$${\displaystyle p\times p}$${\displaystyle X\sim N(0,\Sigma)}$${\displaystyle w}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle w_{1}+\cdots +w_{p}=1}$${\displaystyle w_{i}\geq 0,i=1,\cdots,p,}$

${\displaystyle {\frac {1}{\left({\frac {w_{1}}{X_{1}}},\cdots ,{\frac {w_{p}}{X_{p}}}\ rechts)\Sigma \left({\frac {w_{1}}{X_{1}}},\cdots ,{\frac {w_{p}}{X_{p}}}\right)^{\top }}}\sim \chi_{1}^{2}.}$

Die Chi-Quadrat-Verteilung hängt auch natürlich mit anderen Verteilungen zusammen, die sich aus der Gauß-Verteilung ergeben. Bestimmtes,

• ${\displaystyle Y}$ist F-verteilt , wenn , wo und statistisch unabhängig sind.${\displaystyle Y\sim F(k_{1},k_{2})}$${\displaystyle Y={\frac {{X_{1}}/{k_{1}}}{{X_{2}}/{k_{2}}}}}$${\displaystyle X_{1}\sim\chi^{2}(k_{1})}$${\displaystyle X_{2}\sim\chi^{2}(k_{2})}$
• Wenn und statistisch unabhängig sind, dann . Wenn und nicht unabhängig sind, dann ist nicht Chi-Quadrat-verteilt.${\displaystyle X_{1}\sim\chi^{2}(k_{1})}$${\displaystyle X_{2}\sim\chi^{2}(k_{2})}$${\displaystyle X_{1}+X_{2}\sim\chi^{2}(k_{1}+k_{2})}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$

Verallgemeinerungen

Die Chi-Quadrat-Verteilung wird als Summe der Quadrate von k unabhängigen Gaußschen Zufallsvariablen mit mittlerer Einheitsvarianz erhalten. Verallgemeinerungen dieser Verteilung können durch Summieren der Quadrate anderer Typen von Gaußschen Zufallsvariablen erhalten werden. Im Folgenden werden mehrere solcher Verteilungen beschrieben.

Lineare Kombination

Wenn Chi-Quadrat-Zufallsvariablen und sind , dann ist ein abgeschlossener Ausdruck für die Verteilung von nicht bekannt. Sie kann jedoch unter Verwendung der Eigenschaft charakteristischer Funktionen von Chi-Quadrat-Zufallsvariablen effizient approximiert werden. ${\displaystyle X_{1},\ldots,X_{n}}$${\displaystyle a_{1},\ldots,a_{n}\in\mathbb{R}_{>0}}$${\displaystyle X=\sum_{i=1}^{n}a_{i}X_{i}}$

Chi-Quadrat-Verteilungen

Nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung

Die nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung wird aus der Summe der Quadrate unabhängiger Gaußscher Zufallsvariablen mit Einheitsvarianz und Mittelwerten ungleich Null erhalten .

Verallgemeinerte Chi-Quadrat-Verteilung

Die verallgemeinerte Chi-Quadrat-Verteilung wird aus der quadratischen Form z′Az erhalten, wobei z ein Null-Mittelwert-Gaußscher Vektor mit einer willkürlichen Kovarianzmatrix ist und A eine willkürliche Matrix ist.

Gamma-, Exponential- und verwandte Verteilungen

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist ein Spezialfall der Gamma-Verteilung , indem die Raten-Parametrisierung der Gamma-Verteilung verwendet wird (oder die Skalen-Parametrisierung der Gamma-Verteilung verwendet wird), wobei k eine ganze Zahl ist. ${\displaystyle X\sim\chi_{k}^{2}}$${\displaystyle X\sim\Gamma\left({\frac{k}{2}},{\frac{1}{2}}\right)}$${\displaystyle X\sim\Gamma\left({\frac{k}{2}},2\right)}$

Da die Exponentialverteilung auch ein Spezialfall der Gammaverteilung ist, haben wir auch, dass wenn , dann eine Exponentialverteilung ist . ${\displaystyle X\sim\chi_{2}^{2}}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} \left({\frac {1}{2}}\right)}$

Die Erlang-Verteilung ist auch ein Spezialfall der Gamma-Verteilung und somit haben wir auch, dass wenn mit gerade , dann Erlang mit Formparameter und Skalenparameter verteilt ist . ${\displaystyle X\sim\chi_{k}^{2}}$${\displaystyle {\text{k}}}$${\displaystyle {\text{X}}}$${\displaystyle {\text{k}}/2}$${\displaystyle 1/2}$

Vorkommen und Anwendungen

Die Chi-Quadrat - Verteilung hat zahlreiche Anwendungen in folgernd Statistiken , zum Beispiel in Chi-Quadrat - Tests und bei der Schätzung der Varianzen . Es geht in das Problem der Schätzung des Mittelwertes einer normalverteilten Grundgesamtheit und das Problem der Schätzung der Steigung einer Regressionsgeraden über ihre Rolle in der Student-t-Verteilung ein . Es geht in alle Varianzanalysen über seine Rolle in der F-Verteilung ein , die die Verteilung des Verhältnisses von zwei unabhängigen Chi-Quadrat- Zufallsvariablen ist , die jeweils durch ihre jeweiligen Freiheitsgrade geteilt werden.

Im Folgenden sind einige der häufigsten Situationen aufgeführt, in denen die Chi-Quadrat-Verteilung aus einer Gauss-verteilten Stichprobe entsteht.

• if sind iid Zufallsvariablen , wo dann .${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ ${\displaystyle N(\mu,\sigma^{2})}$ ${\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}\sim\sigma^{2}\chi_{n-1}^ {2}}$${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$
• Der Kasten unten zeigt einige Statistiken, die auf unabhängigen Zufallsvariablen basieren , die Wahrscheinlichkeitsverteilungen haben, die sich auf die Chi-Quadrat-Verteilung beziehen:${\displaystyle X_{i}\sim N(\mu_{i},\sigma_{i}^{2}),i=1,\ldots,k}$

Name	Statistik
Chi-Quadrat-Verteilung	${\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu_{i}}{\sigma_{i}}}\right)^{2} }$
nicht zentrale Chi-Quadrat-Verteilung	${\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma_{i}}}\right)^{2}}$
Chi-Verteilung	${\displaystyle {\sqrt {\sum_{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu_{i}}{\sigma_{i}}}\right) ^{2}}}}$
nicht zentrale Chi-Verteilung	${\displaystyle {\sqrt {\sum_{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma_{i}}}\right)^{2}}}}$

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist auch in der Magnetresonanztomographie häufig anzutreffen .

Rechenmethoden

Tabelle der χ ² Werte vs. p -Werte

Der p- Wert ist die Wahrscheinlichkeit, eine Teststatistik mindestens so extrem in einer Chi-Quadrat-Verteilung zu beobachten. Da die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) für die entsprechenden Freiheitsgrade (df) die Wahrscheinlichkeit angibt, einen weniger extremen Wert als diesen Punkt erhalten zu haben, ergibt das Subtrahieren des CDF-Werts von 1 den p- Wert . Ein niedriger p- Wert unterhalb des gewählten Signifikanzniveaus zeigt statistische Signifikanz an , dh ausreichende Evidenz, um die Nullhypothese abzulehnen. Als Cutoff zwischen signifikanten und nicht signifikanten Ergebnissen wird häufig ein Signifikanzniveau von 0,05 verwendet.

Die folgende Tabelle gibt eine Anzahl von p- Werten an, die für die ersten 10 Freiheitsgrade übereinstimmen . ${\displaystyle \chi^{2}}$

Freiheitsgrade (df)	${\displaystyle \chi^{2}}$ Wert
1	0,004	0,02	0,06	0,15	0,46	1,07	1.64	2,71	3.84	6.63	10,83
2	0,10	0,21	0,45	0,71	1,39	2,41	3.22	4.61	5,99	9,21	13.82
3	0,35	0,58	1,01	1,42	2.37	3.66	4.64	6,25	7,81	11.34	16.27
4	0,71	1,06	1.65	2.20	3.36	4.88	5,99	7,78	9,49	13.28	18.47
5	1,14	1.61	2.34	3.00	4.35	6.06	7,29	9,24	11.07	15.09	20.52
6	1.63	2.20	3.07	3.83	5,35	7,23	8.56	10,64	12.59	16.81	22.46
7	2.17	2.83	3.82	4.67	6.35	8.38	9,80	12.02	14.07	18.48	24.32
8	2.73	3.49	4,59	5,53	7,34	9,52	11.03	13.36	15.51	20.09	26.12
9	3.32	4.17	5,38	6.39	8.34	10,66	12.24	14.68	16.92	21.67	27.88
10	3.94	4,87	6.18	7,27	9,34	11,78	13.44	15.99	18.31	23.21	29.59
p -Wert (Wahrscheinlichkeit)	0,95	0,90	0,80	0,70	0,50	0,30	0.20	0,10	0,05	0,01	0,001

Diese Werte können durch Auswertung der Quantilfunktion (auch bekannt als „inverse CDF“ oder „ICDF“) der Chi-Quadrat-Verteilung berechnet werden; zB ergibt die χ ² ICDF für p = 0,05 und df = 7 2,1673 ≈ 2,17 wie in der obigen Tabelle, wobei beachtet wird, dass 1 - p der p -Wert aus der Tabelle ist.

Geschichte

Diese Verteilung wurde erstmals von dem deutschen Statistiker Friedrich Robert Helmert in Arbeiten von 1875–186 beschrieben, in denen er die Stichprobenverteilung der Stichprobenvarianz einer Normalpopulation berechnete. So wurde dies im Deutschen traditionell als Helmert'sche ("Helmertian") oder "Helmert-Verteilung" bezeichnet.

Die Verteilung wurde unabhängig vom englischen Mathematiker Karl Pearson im Kontext der Anpassungsgüte wiederentdeckt , für die er seinen 1900 veröffentlichten Chi-Quadrat-Test nach Pearson mit einer berechneten Wertetabelle entwickelte, veröffentlicht in ( Elderton 1902 ), gesammelt in ( Pearson .). 1914 , S. xxxi–xxxiii, 26–28, Tabelle XII) . Der Name "Chi-Quadrat" leitet sich letztendlich von Pearsons Kurzschrift für den Exponenten in einer multivariaten Normalverteilung mit dem griechischen Buchstaben Chi ab und schreibt −½χ ² für das, was in moderner Schreibweise als −½ x ^T Σ ⁻¹ x erscheinen würde (Σ ist der Kovarianzmatrix ). Die Idee einer Familie von "Chi-Quadrat-Verteilungen" geht jedoch nicht auf Pearson zurück, sondern entstand als Weiterentwicklung durch Fisher in den 1920er Jahren. Harv-Fehler: kein Ziel: CITEREFPearson1914 ( Hilfe )

Siehe auch

Verweise

Weiterlesen

Externe Links

• Früheste Verwendung einiger Wörter der Mathematik: Der Eintrag zum Chi-Quadrat hat eine kurze Geschichte
• Kursnotizen zum Chi-Quadrat-Güte des Fit-Tests aus der Yale University Stats 101-Klasse.
• Mathematica- Demonstration, die die Chi-Quadrat-Stichprobenverteilung verschiedener Statistiken zeigt, z. B. Σ x ², für eine normale Population
• Einfacher Algorithmus zur Approximation von cdf und inverser cdf für die Chi-Quadrat-Verteilung mit einem Taschenrechner
• Werte der Chi-Quadrat-Verteilung