Wahlfunktion - Choice function

Eine Auswahlfunktion ( Selektor , Auswahl ) ist eine mathematische Funktion f , die auf einer Sammlung X von nichtleeren Mengen definiert ist und ein Element jeder Menge S in dieser Sammlung S durch f ( S ) zuweist ; f ( S ) bildet S auf ein Element von S ab . Mit anderen Worten, f ist genau dann eine Auswahlfunktion für X, wenn sie zum direkten Produkt von X gehört .

Ein Beispiel

Sei X  = { {1,4,7}, {9}, {2,7} }. Dann ist die Funktion, die 7 der Menge {1,4,7}, 9 zu {9} und 2 zu {2,7} zuweist, eine Auswahlfunktion auf X .

Geschichte und Bedeutung

Ernst Zermelo (1904) führte Wahlfunktionen sowie das Wahlaxiom (AC) ein und bewies den Wohlordnungssatz , der besagt, dass jede Menge wohlgeordnet sein kann . AC besagt, dass jede Menge nichtleerer Mengen eine Wahlfunktion hat. Eine schwächere Form von AC, das Axiom der abzählbaren Wahl (AC ω ), besagt, dass jede abzählbare Menge nichtleerer Mengen eine Wahlfunktion hat. Jedoch in Abwesenheit von entweder AC oder AC ω können einige Sätze noch gezeigt werden , um eine Entscheidungsfunktion haben.

  • Wenn es sich um eine endliche Menge von nichtleeren Mengen handelt, kann man eine Auswahlfunktion dafür konstruieren, indem man aus jedem Element von ein Element auswählt. Dies erfordert nur endlich viele Auswahlmöglichkeiten, sodass weder AC noch AC ω benötigt werden.
  • Wenn jedes Mitglied von eine nichtleere Menge ist und die Vereinigung wohlgeordnet ist, kann man das kleinste Element jedes Mitglieds von wählen . In diesem Fall war es möglich, jedes Mitglied gleichzeitig gut zu ordnen, indem man nur eine Wahl einer Wohlordnung der Gewerkschaft traf, so dass weder AC noch AC ω benötigt wurden. (Dieses Beispiel zeigt, dass das Wohlordnungstheorem AC impliziert. Die Umkehrung ist ebenfalls wahr, aber weniger trivial.)

Auswahlfunktion einer mehrwertigen Karte

Gegeben zwei Mengen X und Y sei F eine mehrwertige Abbildung von X und Y (entspricht einer Funktion von X zur Potenzmenge von Y ).

Eine Funktion heißt eine Auswahl von F , wenn:

Die Existenz regelmäßigerer Wahlfunktionen, nämlich kontinuierlicher oder messbarer Selektionen, ist in der Theorie der differentiellen Einschlüsse , der optimalen Kontrolle und der mathematischen Ökonomie wichtig . Siehe Auswahltheorem .

Bourbaki-Tau-Funktion

Nicolas Bourbaki verwendete Epsilon-Kalküle für ihre Grundlagen, die ein Symbol hatten, das als Auswahl eines Objekts (sofern vorhanden) interpretiert werden konnte, das eine gegebene Aussage erfüllt. Wenn also ein Prädikat ist, dann ist ein bestimmtes Objekt das erfüllt (wenn eines vorhanden ist, gibt es sonst ein beliebiges Objekt zurück). Daher können wir Quantoren aus der Auswahlfunktion erhalten, zum Beispiel war äquivalent zu .

Der Auswahloperator von Bourbaki ist jedoch stärker als üblich: Es handelt sich um einen globalen Auswahloperator. Das heißt, es impliziert das Axiom der globalen Wahl . Hilbert erkannte dies bei der Einführung der Epsilon-Kalküle.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Dieser Artikel enthält Material aus der Choice-Funktion von PlanetMath , das unter der Creative Commons-Lizenz Namensnennung/Weitergabe unter gleichen Bedingungen lizenziert ist .