Kreis - Circle

Kreis
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Ein Kreis (schwarz), der durch seinen Umfang ( C ), Durchmesser ( D ) in Blau und Radius ( R ) in Rot gemessen wird ; sein Zentrum ( O ) ist grün.

Ein Kreis ist eine Form, die aus allen Punkten in einer Ebene besteht , die einen bestimmten Abstand von einem bestimmten Punkt, dem Mittelpunkt, haben ; äquivalent ist es die Kurve, die von einem Punkt gezogen wird, der sich in einer Ebene bewegt, so dass sein Abstand von einem bestimmten Punkt konstant ist . Der Abstand zwischen einem beliebigen Punkt des Kreises und dem Mittelpunkt wird als Radius bezeichnet . Dieser Artikel behandelt Kreise in der euklidischen Geometrie und insbesondere die euklidische Ebene, sofern nicht anders angegeben.

Insbesondere ist ein Kreis eine einfache geschlossene Kurve , die die Ebene in zwei Bereiche teilt : einen inneren und einen äußeren . Im alltäglichen Gebrauch kann der Begriff "Kreis" austauschbar verwendet werden, um sich entweder auf die Grenze der Figur oder auf die gesamte Figur einschließlich ihres Inneren zu beziehen; im strengen technischen Sprachgebrauch ist der Kreis nur die Grenze und die ganze Figur wird als Scheibe bezeichnet .

Ein Kreis kann auch als eine spezielle Art von Ellipse definiert werden, bei der die beiden Brennpunkte zusammenfallen und die Exzentrizität 0 beträgt, oder die zweidimensionale Form, die die meiste Fläche pro Einheitsumfang im Quadrat umschließt, unter Verwendung von Variationsrechnungen .

Euklids Definition

Ein Kreis ist eine ebene Figur, die von einer gekrümmten Linie begrenzt wird, und so dass alle geraden Linien, die von einem bestimmten Punkt darin bis zur Begrenzungslinie gezogen werden, gleich sind. Die Begrenzungslinie wird ihr Umfang und der Punkt ihr Mittelpunkt genannt.

—  Euklid , Elemente , Buch I

Topologische Definition

In der Topologie beschränkt sich ein Kreis nicht auf den geometrischen Begriff, sondern auf alle seine Homöomorphismen . Zwei topologische Kreise sind äquivalent, wenn einer durch eine Verformung von R 3 auf sich selbst in den anderen umgewandelt werden kann (bekannt als Umgebungsisotopie ).

Terminologie

  • Ring : ein ringförmiges Objekt, der Bereich, der von zwei konzentrischen Kreisen begrenzt wird .
  • Bogen : jeder verbundene Teil eines Kreises. Die Angabe von zwei Endpunkten eines Bogens und eines Mittelpunkts ermöglicht zwei Bögen, die zusammen einen Vollkreis bilden.
  • Zentrum: der Punkt, der von allen Punkten auf dem Kreis gleich weit entfernt ist.
  • Sehne : ein Liniensegment, dessen Endpunkte auf dem Kreis liegen, wodurch ein Kreis in zwei Segmente geteilt wird.
  • Umfang : die Länge eines Kreises entlang des Kreises oder die Entfernung um den Kreis herum.
  • Durchmesser : ein Liniensegment, dessen Endpunkte auf dem Kreis liegen und das durch den Mittelpunkt geht; oder die Länge eines solchen Liniensegments. Dies ist der größte Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten auf dem Kreis. Es ist ein Sonderfall einer Sehne, nämlich die längste Sehne für einen gegebenen Kreis, und ihre Länge ist doppelt so lang wie ein Radius.
  • Scheibe: der von einem Kreis begrenzte Bereich der Ebene.
  • Linse : der gemeinsame Bereich (der Schnittpunkt von) zwei überlappenden Scheiben.
  • Passant: eine koplanare Gerade, die keinen Punkt mit dem Kreis gemeinsam hat.
  • Radius: ein Liniensegment, das den Mittelpunkt eines Kreises mit einem beliebigen Punkt auf dem Kreis selbst verbindet; oder die Länge eines solchen Segments, die die Hälfte (die Länge) eines Durchmessers beträgt.
  • Sektor : eine Region, die von zwei gleich langen Radien mit einem gemeinsamen Mittelpunkt und einem der beiden möglichen Bögen begrenzt wird, die durch diesen Mittelpunkt und die Endpunkte der Radien bestimmt werden.
  • Segment : eine Region, die von einer Sehne und einem der Bögen begrenzt wird, die die Endpunkte der Sehne verbinden. Die Länge der Sehne legt dem Durchmesser möglicher Bögen eine untere Grenze auf. Manchmal wird der Begriff Segment nur für Regionen verwendet, die nicht den Mittelpunkt des Kreises enthalten, zu dem ihr Bogen gehört.
  • Sekante : eine ausgedehnte Sehne, eine koplanare gerade Linie, die einen Kreis in zwei Punkten schneidet.
  • Halbkreis : einer der beiden möglichen Bögen, die durch die Endpunkte eines Durchmessers bestimmt werden, wobei der Mittelpunkt als Mittelpunkt genommen wird. Im nicht-technischen Gebrauch kann dies das Innere des zweidimensionalen Bereichs bedeuten, der von einem Durchmesser und einem seiner Bögen begrenzt wird, der technisch als Halbscheibe bezeichnet wird. Eine Halbscheibe ist ein Sonderfall eines Segments, nämlich das größte.
  • Tangente : eine koplanare Gerade, die einen einzigen Punkt gemeinsam mit einem Kreis hat ("berührt den Kreis an diesem Punkt").

Alle angegebenen Regionen können als offen betrachtet werden , das heißt ohne ihre Grenzen enthaltend, oder als geschlossen betrachtet werden , einschließlich ihrer jeweiligen Grenzen.

Sehne, Sekante, Tangente, Radius und Durchmesser
Bogen, Sektor und Segment

Geschichte

Der Kompass in dieser Handschrift aus dem 13. Jahrhundert ist ein Symbol für Gottes Schöpfungsakt . Beachten Sie auch die kreisförmige Form des Heiligenscheins .

Das Wort Kreis leitet sich vom griechischen κίρκος/κύκλος ( kirkos/kuklos ) ab, selbst eine Metathese des homerischen Griechischen κρίκος ( krikos ), was „Reifen“ oder „Ring“ bedeutet. Die Ursprünge der Wörter Zirkus und Zirkus hängen eng zusammen.

Kreisförmiges Stück Seide mit mongolischen Bildern
Kreise in einer alten arabischen astronomischen Zeichnung.

Der Kreis ist seit Beginn der aufgezeichneten Geschichte bekannt. Natürliche Kreise wären beobachtet worden, wie der Mond, die Sonne und ein kurzer Pflanzenstiel, der im Wind auf Sand weht, der im Sand eine Kreisform bildet. Der Kreis ist die Grundlage für das Rad , das mit verwandten Erfindungen wie Zahnrädern vieles an modernen Maschinen möglich macht. In der Mathematik hat das Studium des Kreises dazu beigetragen, die Entwicklung von Geometrie, Astronomie und Analysis zu inspirieren .

Frühe Wissenschaft , insbesondere die Geometrie und Astrologie und Astronomie , wurde für die meisten der göttlichen verbunden mittelalterlichen Gelehrten , und viele glaubten , dass es etwas an sich „göttlich“ oder „perfekt“ , die im Kreis gefunden werden konnte.

Einige Höhepunkte in der Geschichte des Kreises sind:

  • 1700 v. Chr. – Der Rhind-Papyrus gibt eine Methode an, um die Fläche eines kreisförmigen Feldes zu finden. Das Ergebnis entspricht 256/81(3.16049...) als Näherungswert von π .
Tughrul-Turm von innen
  • 300 v. Chr. – Buch 3 von Euklids Elementen befasst sich mit den Eigenschaften von Kreisen.
  • In Plato ‚s Sieben Brief gibt es eine detaillierte Definition und Erklärung des Kreises. Plato erklärt den perfekten Kreis und wie er sich von allen Zeichnungen, Wörtern, Definitionen oder Erklärungen unterscheidet.
  • 1880 CE – Lindemann beweist, dass π transzendent ist und löst damit effektiv das jahrtausendealte Problem der Quadratur des Kreises.

Analyseergebnisse

Umfang

Das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser ist π (pi), eine irrationale Konstante ungefähr gleich 3,141592654. Somit hängt der Umfang C mit dem Radius r und dem Durchmesser d zusammen durch:

Bereich umschlossen

Von einem Kreis eingeschlossene Fläche = π × Fläche des schattierten Quadrats

Wie Archimedes in seiner Messung eines Kreises bewiesen hat , ist die von einem Kreis eingeschlossene Fläche gleich der eines Dreiecks, dessen Basis die Länge des Kreisumfangs hat und dessen Höhe gleich dem Radius des Kreises ist, der zu π multipliziert mit dem Radius . wird kariert:

Äquivalent bezeichnet den Durchmesser mit d ,

das sind ungefähr 79% des umschreibenden Quadrats (dessen Seite die Länge d hat ).

Der Kreis ist die ebene Kurve, die die maximale Fläche für eine gegebene Bogenlänge umschließt. Damit bezieht sich der Kreis auf ein Problem in der Variationsrechnung, nämlich die isoperimetrische Ungleichung .

Gleichungen

Kartesischen Koordinaten

Kreis mit Radius r  = 1, Mittelpunkt ( ab ) = (1.2, −0.5)
Gleichung eines Kreises

In einer x - y -Koordinatensystem CARTESIAN , der Kreis mit dem Mittelpunkt Koordinaten ( a , b ) und den Radius r ist die Menge aller Punkte ( x , y ) derart , dass

Diese Gleichung , bekannt als Kreisgleichung , folgt aus dem Satz des Pythagoras, der auf jeden Punkt des Kreises angewendet wird: Wie in der nebenstehenden Abbildung gezeigt, ist der Radius die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen andere Seiten die Länge | . haben xa | und | yb |. Wenn der Kreis im Ursprung (0, 0) zentriert ist, vereinfacht sich die Gleichung zu

Parametrische Form

Die Gleichung kann in parametrischer Form unter Verwendung der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus geschrieben werden als

wobei t eine parametrische Variable im Bereich von 0 bis 2 π ist , geometrisch interpretiert als der Winkel , den der Strahl von ( ab ) nach ( xy ) mit der positiven x-  Achse bildet.

Eine alternative Parametrisierung des Kreises ist

Bei dieser Parametrisierung kann das Verhältnis von t zu r geometrisch als stereographische Projektion der durch das Zentrum parallel zur x-  Achse verlaufenden Linie interpretiert werden (siehe Tangentenhalbwinkelsubstitution ). Diese Parametrisierung funktioniert jedoch nur, wenn t nicht nur durch alle reellen Zahlen, sondern auch bis zu einem Punkt im Unendlichen reicht; andernfalls würde der äußerste linke Punkt des Kreises weggelassen.

3-Punkte-Form

Die Kreisgleichung, die durch drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte bestimmt wird, erhält man durch Umrechnung der 3-Punkt-Form einer Kreisgleichung :

Homogene Form

In homogenen Koordinaten hat jeder Kegelschnitt mit der Kreisgleichung die Form

Es kann bewiesen werden, dass ein Kegelschnitt genau dann ein Kreis ist, wenn er (auf die komplexe projektive Ebene ausgedehnt ) die Punkte I (1: i : 0) und J (1: − i : 0) enthält. Diese Punkte werden Kreispunkte im Unendlichen genannt .

Polar Koordinaten

In Polarkoordinaten lautet die Kreisgleichung

wobei a der Radius des Kreises ist, die Polarkoordinaten eines generischen Punktes auf dem Kreis und die Polarkoordinaten des Kreismittelpunkts sind (dh r 0 der Abstand vom Ursprung zum Kreismittelpunkt ist, und φ ist der Winkel gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-  Achse zu der Linie, die den Ursprung mit dem Mittelpunkt des Kreises verbindet). Für einen Kreis, der auf dem Ursprung zentriert ist, dh r 0 = 0 , reduziert sich dies einfach auf r = a . Wenn r 0 = a , oder wenn der Ursprung auf dem Kreis liegt, wird die Gleichung

Im allgemeinen Fall kann die Gleichung nach r aufgelöst werden , was

Beachten Sie, dass die Gleichung ohne das Vorzeichen ± in einigen Fällen nur einen Halbkreis beschreiben würde.

Komplexe Ebene

In der komplexen Ebene hat ein Kreis mit Mittelpunkt bei c und Radius r die Gleichung

In parametrischer Form kann dies geschrieben werden als

Die leicht verallgemeinerte Gleichung

für reelles p , q und komplexes g wird manchmal ein verallgemeinerter Kreis genannt . Daraus ergibt sich die obige Gleichung für einen Kreis mit , da . Nicht alle verallgemeinerten Kreise sind eigentlich Kreise: Ein verallgemeinerter Kreis ist entweder ein (echter) Kreis oder eine Linie .

Tangentiale Linien

Die Tangente durch einen Punkt P auf dem Kreis ist senkrecht zu dem durch P gehenden Durchmesser . Wenn P = ( x 1 , y 1 ) und der Kreis Mittelpunkt ( a , b ) und Radius r hat , dann steht die Tangente senkrecht auf der Linie von ( a , b ) nach ( x 1 , y 1 ), also ist es hat die Form ( x 1a ) x + ( y 1b ) y = c . Die Auswertung bei ( x 1 , y 1 ) bestimmt den Wert von c und das Ergebnis ist, dass die Tangentengleichung

oder

Wenn y 1b , dann ist die Steigung dieser Geraden

Dies kann auch durch implizite Differentiation gefunden werden .

Wenn der Kreismittelpunkt im Ursprung liegt, wird die Tangentengleichung

und seine Steigung ist

Eigenschaften

  • Der Kreis ist die Form mit der größten Fläche für eine gegebene Umfangslänge (siehe Isoperimetrische Ungleichung ).
  • Der Kreis ist eine hochsymmetrische Form: Jede Linie durch den Mittelpunkt bildet eine Reflexionssymmetrielinie , und er hat für jeden Winkel eine Rotationssymmetrie um den Mittelpunkt. Ihre Symmetriegruppe ist die orthogonale Gruppe O(2, R ). Allein die Gruppe der Drehungen ist die Kreisgruppe T .
  • Alle Kreise sind ähnlich .
    • Ein Kreisumfang und -radius sind proportional .
    • Die eingeschlossene Fläche und das Quadrat ihres Radius sind proportional.
    • Die Proportionalitätskonstanten sind 2 π und & pgr sind.
  • Der im Ursprung zentrierte Kreis mit Radius 1 wird als Einheitskreis bezeichnet .
  • Durch drei beliebige Punkte, die nicht alle auf derselben Linie liegen, liegt ein einzigartiger Kreis. In kartesischen Koordinaten ist es möglich, explizite Formeln für die Koordinaten des Kreismittelpunkts und den Radius in Bezug auf die Koordinaten der drei gegebenen Punkte anzugeben. Siehe Umkreis .

Akkord

  • Akkorde sind genau dann gleich weit vom Mittelpunkt eines Kreises entfernt, wenn sie gleich lang sind.
  • Die Mittelsenkrechte einer Sehne geht durch den Mittelpunkt eines Kreises; äquivalente Aussagen, die sich aus der Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten ergeben, sind:
    • Eine senkrechte Linie vom Mittelpunkt eines Kreises halbiert die Sehne.
    • Das Liniensegment durch die Mitte, das eine Sehne halbiert, ist senkrecht zur Sehne.
  • Wenn ein Zentriwinkel und ein einbeschriebener Kreiswinkel von derselben Sehne und auf derselben Seite der Sehne begrenzt werden, dann ist der Zentriwinkel das Doppelte des eingeschriebenen Winkels.
  • Wenn zwei Winkel auf derselben Sehne und auf derselben Seite der Sehne eingeschrieben sind, sind sie gleich.
  • Wenn zwei Winkel auf derselben Sehne und auf gegenüberliegenden Seiten der Sehne eingeschrieben sind, dann sind sie ergänzend .
  • Ein eingeschriebener Winkel, der von einem Durchmesser begrenzt wird, ist ein rechter Winkel (siehe Theorem von Thales ).
  • Der Durchmesser ist die längste Sehne des Kreises.
    • Unter allen Kreisen mit einer gemeinsamen Sehne AB ist der Kreis mit minimalem Radius derjenige mit dem Durchmesser AB.
  • Wenn der Schnittpunkt zweier Akkorde einen Akkord in die Längen a und b und den anderen in die Längen c und d teilt , dann gilt ab = cd .
  • Wenn der Schnittpunkt zweier senkrechter Sehnen einen Sehnen in die Längen a und b und den anderen in die Längen c und d teilt , dann ist a 2 + b 2 + c 2 + d 2 gleich dem Quadrat des Durchmessers.
  • Die Summe der quadrierten Längen von zwei beliebigen Sehnen, die sich in einem bestimmten Punkt im rechten Winkel schneiden, ist die gleiche wie die von zwei anderen senkrechten Sehnen, die sich im selben Punkt schneiden, und ist gegeben durch 8 r 2 − 4 p 2 , wobei r der . ist Kreisradius und p ist der Abstand vom Mittelpunkt zum Schnittpunkt.
  • Der Abstand von einem Punkt auf dem Kreis zu einer bestimmten Sehne mal dem Durchmesser des Kreises ist gleich dem Produkt der Entfernungen vom Punkt zu den Enden der Sehne.

Tangente

  • Eine senkrecht zu einem Radius gezogene Linie durch den auf dem Kreis liegenden Endpunkt des Radius ist eine Tangente an den Kreis.
  • Eine senkrecht zu einer Tangente durch den Berührungspunkt mit einem Kreis gezogene Linie verläuft durch den Kreismittelpunkt.
  • Von jedem Punkt außerhalb des Kreises können immer zwei Tangenten an einen Kreis gezogen werden, und diese Tangenten sind gleich lang.
  • Wenn sich eine Tangente an A und eine Tangente an B im äußeren Punkt P schneiden und den Mittelpunkt mit O bezeichnen , sind die Winkel ∠ BOA und ∠ BPA ergänzend.
  • Wenn AD den Kreis bei A tangiert und AQ eine Sehne des Kreises ist, dann ist DAQ =1/2Bogen ( AQ ) .

Sätze

Sekant-Sekanten-Theorem
  • Der Akkordsatz besagt, dass, wenn sich zwei Akkorde, CD und EB , bei A schneiden , AC × AD = AB × AE .
  • Wenn zwei Sekanten, AE und AD , auch den Kreis bei B bzw. C schneiden , dann gilt AC × AD = AB × AE (Korollar des Akkordsatzes).
  • Eine Tangente kann als Grenzfall einer Sekante angesehen werden, deren Enden zusammenfallen. Wenn eine Tangente von einem externen Punkt A auf den Kreis bei F und eine Sekante von einem externen Punkt A auf den Kreis bei C bzw. D trifft , dann gilt AF 2 = AC × AD (Tangens-Sekanten-Satz).
  • Der Winkel zwischen einer Sehne und der Tangente an einem ihrer Endpunkte ist gleich der Hälfte des Winkels, der sich in der Mitte des Kreises auf der gegenüberliegenden Seite der Sehne befindet (Tangentensehnenwinkel).
  • Wenn der Winkel, den die Sehne in der Mitte aufspannt , 90 ° beträgt , dann ist = r 2 , wobei die Länge der Sehne und r der Radius des Kreises ist.
  • Wenn zwei Sekanten in den Kreis einbeschrieben werden, wie rechts gezeigt, dann ist das Maß des Winkels A gleich der Hälfte der Differenz der Maße der eingeschlossenen Bögen ( und ). Das heißt, , wobei O der Mittelpunkt des Kreises ist (Sekanten-Sekanten-Satz).

Eingeschriebene Winkel

Satz des eingeschriebenen Winkels

Ein eingeschriebener Winkel (Beispiele sind der blaue und der grüne Winkel in der Abbildung) ist genau die Hälfte des entsprechenden Zentralwinkels (rot). Daher sind alle eingeschriebenen Winkel, die denselben Bogen (rosa) begrenzen, gleich. Auf dem Bogen eingeschriebene Winkel (braun) sind ergänzend. Insbesondere ist jeder eingeschriebene Winkel, der einen Durchmesser begrenzt, ein rechter Winkel (da der Zentralwinkel 180° beträgt).

Sagitta

Die Sagitta ist das vertikale Segment.

Die Sagitta (auch als Versine bekannt ) ist ein Liniensegment, das senkrecht zu einer Sehne zwischen dem Mittelpunkt dieser Sehne und dem Kreisbogen gezogen wird.

Angesichts der Länge y einer Sehne und der Länge x der Sagitta kann der Satz des Pythagoras verwendet werden, um den Radius des eindeutigen Kreises zu berechnen, der um die beiden Linien passt:

Ein weiterer Beweis für dieses Ergebnis, das sich nur auf zwei oben angegebene Akkordeigenschaften stützt, ist wie folgt. Bei einer Sehne der Länge y und bei einer Sagitta der Länge x wissen wir, dass sie ein Teil eines Durchmessers des Kreises ist, da die Sagitta den Mittelpunkt der Sehne schneidet. Da der Durchmesser doppelt so groß ist wie der Radius, ist der "fehlende" Teil des Durchmessers ( 2 rx ) lang. Unter Verwendung der Tatsache, dass ein Teil eines Akkords mal der andere Teil dem gleichen Produkt entlang eines den ersten Akkord schneidenden Akkords entspricht, finden wir, dass ( 2 rx ) x = ( y / 2) 2 . Durch Auflösen nach r finden wir das gewünschte Ergebnis.

Kompass- und Linealkonstruktionen

Es gibt viele Kompass-und-Gerade-Konstruktionen, die zu Kreisen führen.

Am einfachsten und grundlegendsten ist die Konstruktion aus Kreismittelpunkt und einem Punkt auf dem Kreis. Platzieren Sie das feste Bein des Zirkels auf den Mittelpunkt, das bewegliche Bein auf die Spitze des Kreises und drehen Sie den Zirkel.

Konstruktion mit vorgegebenem Durchmesser

  • Konstruiere den Mittelpunkt M des Durchmessers.
  • Konstruieren Sie den Kreis mit Mittelpunkt M , der durch einen der Endpunkte des Durchmessers verläuft (er geht auch durch den anderen Endpunkt).
Konstruiere einen Kreis durch die Punkte A, B und C, indem du die Mittelsenkrechten (rot) der Seiten des Dreiecks (blau) findest. Nur zwei der drei Winkelhalbierenden werden benötigt, um das Zentrum zu finden.

Konstruktion durch drei nichtkollineare Punkte

  • Nennen Sie die Punkte P , Q und R ,
  • Konstruieren Sie die Mittelsenkrechte des Segments PQ .
  • Konstruieren Sie die Mittelsenkrechte des Segments PR .
  • Beschriften Sie den Schnittpunkt dieser beiden Mittelsenkrechten M . (Sie treffen sich, weil die Punkte nicht kollinear sind ).
  • Konstruieren Sie den Kreis, dessen Mittelpunkt M durch einen der Punkte P , Q oder R geht (er geht auch durch die anderen beiden Punkte).

Kreis des Apollonius

Apollonius' Definition eines Kreises: d 1 / d 2 konstant

Apollonius von Perge zeigte, dass ein Kreis auch als die Menge von Punkten in einer Ebene definiert werden kann, die ein konstantes Verhältnis (anders als 1) von Abständen zu zwei festen Brennpunkten A und B haben . (Die Menge der Punkte, bei denen die Abstände gleich sind, ist die senkrechte Winkelhalbierende des Segments AB , einer Linie.) Dieser Kreis wird manchmal um zwei Punkte herum gezeichnet .

Der Beweis besteht aus zwei Teilen. Zunächst muss man beweisen, dass bei gegebenen zwei Brennpunkten A und B und einem Abstandsverhältnis jeder Punkt P , der das Abstandsverhältnis erfüllt, auf einen bestimmten Kreis fallen muss. Sei C ein anderer Punkt, der ebenfalls das Verhältnis erfüllt und auf der Strecke AB liegt . Nach dem Winkelhalbierenden-Theorem halbiert das Liniensegment PC den Innenwinkel APB , da die Segmente ähnlich sind:

Analog halbiert ein Liniensegment PD durch einen Punkt D auf AB verlängert den entsprechenden Außenwinkel BPQ, wobei Q auf AP verlängert ist. Da die Innen- und Außenwinkel zusammen 180 Grad ergeben, beträgt der Winkel CPD genau 90 Grad; das heißt, ein rechter Winkel. Die Menge von Punkten P, so dass der Winkel CPD ein rechter Winkel ist, bildet einen Kreis, von dem CD ein Durchmesser ist.

Zweitens sehen Sie nach einem Beweis, dass jeder Punkt auf dem angegebenen Kreis das gegebene Verhältnis erfüllt.

Kreuzverhältnisse

Eine eng verwandte Eigenschaft von Kreisen betrifft die Geometrie des Kreuzverhältnisses von Punkten in der komplexen Ebene. Wenn A , B und C wie oben sind, dann ist der Kreis von Apollonius für diese drei Punkte die Sammlung von Punkten P, für die der Absolutwert des Kreuzverhältnisses gleich eins ist:

Anders ausgedrückt ist P genau dann ein Punkt auf dem Kreis des Apollonius, wenn das Kreuzverhältnis [ A , B ; C , P ] liegt auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene.

Verallgemeinerte Kreise

Wenn C der Mittelpunkt des Segments AB ist , dann ist die Sammlung von Punkten P, die die Apollonius-Bedingung erfüllen

 

ist kein Kreis, sondern eine Linie.

Wenn A , B und C unterschiedliche Punkte in der Ebene gegeben sind, dann wird der Ort der Punkte P , der die obige Gleichung erfüllt, ein "verallgemeinerter Kreis" genannt. Es kann entweder ein echter Kreis oder eine Linie sein. In diesem Sinne ist eine Linie ein verallgemeinerter Kreis mit unendlichem Radius.

Inschrift in oder Umschreibung über andere Figuren

In jedem Dreieck ein einzigartiger Kreis, die gerufene incircle kann derart eingeschrieben , dass sie tangential zu jedem der drei Seiten des Dreiecks ist.

Um jedes Dreieck kann ein einzigartiger Kreis, der Umkreis genannt wird, so umschrieben werden, dass er durch jeden der drei Eckpunkte des Dreiecks geht .

Ein tangentiales Polygon , wie beispielsweise ein tangentiales Viereck , ist ein beliebiges konvexes Polygon, in das ein Kreis einbeschrieben werden kann, der zu jeder Seite des Polygons tangiert. Jedes regelmäßige Polygon und jedes Dreieck ist ein Tangentialpolygon.

Ein zyklisches Polygon ist jedes konvexe Polygon, um das ein Kreis umschrieben werden kann , der durch jeden Scheitelpunkt verläuft. Ein gut untersuchtes Beispiel ist das zyklische Viereck. Jedes regelmäßige Polygon und jedes Dreieck ist ein zyklisches Polygon. Ein Polygon, das sowohl zyklisch als auch tangential ist, wird als bizentrisches Polygon bezeichnet .

Eine Hypozykloide ist eine Kurve, die in einen gegebenen Kreis eingeschrieben wird, indem ein fester Punkt auf einem kleineren Kreis gezogen wird, der innerhalb und tangential zu dem gegebenen Kreis rollt.

Grenzfall anderer Zahlen

Der Kreis kann als Grenzfall für jede der verschiedenen anderen Figuren angesehen werden:

  • Ein kartesisches Oval ist ein Satz von Punkten, bei dem eine gewichtete Summe der Abstände von einem seiner Punkte zu zwei Fixpunkten (Foki) eine Konstante ist. Eine Ellipse ist der Fall, in dem die Gewichte gleich sind. Ein Kreis ist eine Ellipse mit einer Exzentrizität von Null, was bedeutet, dass die beiden Brennpunkte als Mittelpunkt des Kreises zusammenfallen. Ein Kreis ist auch ein anderer Spezialfall eines kartesischen Ovals, bei dem eines der Gewichte Null ist.
  • Eine Superellipse hat eine Gleichung der Form für positive a , b und n . Ein Superkreis hat b = a . Ein Kreis ist der Spezialfall eines Superkreises mit n = 2 .
  • Ein Cassini-Oval ist eine Menge von Punkten, bei der das Produkt der Abstände von einem seiner Punkte zu zwei Fixpunkten eine Konstante ist. Wenn die beiden Fixpunkte zusammenfallen, entsteht ein Kreis.
  • Eine Kurve konstanter Breite ist eine Figur, deren Breite, definiert als der senkrechte Abstand zwischen zwei verschiedenen parallelen Linien, die jeweils ihre Grenze in einem einzigen Punkt schneiden, unabhängig von der Richtung dieser beiden parallelen Linien gleich ist. Der Kreis ist das einfachste Beispiel für diese Art von Figur.

In anderen p- Normen

Abbildungen von Einheitskreisen (siehe auch Superellipse ) in verschiedenen p -Normen (jeder Vektor vom Ursprung zum Einheitskreis hat die Länge Eins, wobei die Länge mit Längenformel des entsprechenden p berechnet wird ).

Definiert man einen Kreis als eine Menge von Punkten mit einem festen Abstand von einem Punkt, können verschiedene Formen als Kreise mit unterschiedlichen Abstandsdefinitionen betrachtet werden. In p -norm wird der Abstand bestimmt durch

In der euklidischen Geometrie p = 2, was das bekannte

In der Taxi-Geometrie ist p = 1. Taxi- Kreise sind Quadrate, deren Seiten in einem 45°-Winkel zu den Koordinatenachsen ausgerichtet sind. Während jede Seite unter Verwendung einer euklidischen Metrik eine Länge hätte , wobei r der Radius des Kreises ist, beträgt ihre Länge in der Taxigeometrie 2 r . Der Umfang eines Kreises beträgt also 8 r . Somit ist der Wert eines geometrischen Analogons zu 4 in dieser Geometrie. Die Formel für den Einheitskreis in der Taxigeometrie ist in kartesischen Koordinaten und

in Polarkoordinaten.

Ein Kreis mit Radius 1 (mit diesem Abstand) ist die von Neumann-Umgebung seines Zentrums.

Ein Kreis mit dem Radius r für den Tschebyscheff-Abstand ( L metrisch ) auf einer Ebene ist auch ein Quadrat mit der Seitenlänge 2 r parallel zu den Koordinatenachsen, so dass der ebene Tschebyscheff-Abstand durch Drehung und Skalierung als äquivalent zum ebenen Taxiabstand angesehen werden kann. Jedoch ist diese Äquivalenz zwischen L 1 und L Metriken nicht auf höhere Dimensionen verallgemeinern.

Ort der konstanten Summe

Betrachten Sie eine endliche Menge von Punkten in der Ebene. Der Ort der Punkte, bei dem die Summe der Quadrate der Abstände zu den gegebenen Punkten konstant ist, ist ein Kreis, dessen Mittelpunkt im Schwerpunkt der gegebenen Punkte liegt. Eine Verallgemeinerung für höhere Potenzen von Entfernungen erhält man, wenn man unter Punkten die Eckpunkte des regelmäßigen Vielecks nimmt. Der Ort von Punkten, bei denen die Summe der -ten Potenz der Entfernungen zu den Eckpunkten eines gegebenen regelmäßigen Vielecks mit Umkreisradius konstant ist, ist ein Kreis, wenn

, wobei =1,2,…, -1;

dessen Mittelpunkt der Schwerpunkt der .

Beim gleichseitigen Dreieck sind die Ortskurven der konstanten Summen der zweiten und vierten Potenz Kreise, während beim Quadrat die Ortskurven Kreise der konstanten Summen der zweiten, vierten und sechsten Potenz sind. Für das regelmäßige Fünfeck wird die konstante Summe der achten Potenzen der Entfernungen addiert und so weiter.

Quadratur des Kreises

Die Quadratur des Kreises ist das von alten Geometern vorgeschlagene Problem, ein Quadrat mit der gleichen Fläche wie ein gegebener Kreis zu konstruieren, indem nur eine endliche Anzahl von Schritten mit Zirkel und Lineal verwendet wird .

Im Jahr 1882 erwies sich die Aufgabe als unmöglich, als Folge des Lindemann-Weierstrass-Theorems , das beweist, dass pi ( π ) eine transzendente Zahl und keine algebraische irrationale Zahl ist ; das heißt, es ist nicht die Wurzel eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten. Trotz der Unmöglichkeit ist dieses Thema für Pseudomathematik- Enthusiasten weiterhin interessant .

Bedeutung in Kunst und Symbolik

Seit den frühesten bekannten Zivilisationen – wie den Assyrern und alten Ägyptern, denen im Industal und entlang des Gelben Flusses in China und den westlichen Zivilisationen des antiken Griechenlands und Roms in der klassischen Antike – wurde der Kreis direkt verwendet oder indirekt in der bildenden Kunst, um die Botschaft des Künstlers zu vermitteln und bestimmte Ideen auszudrücken. Unterschiede in der Weltanschauung (Glauben und Kultur) hatten jedoch einen großen Einfluss auf die Wahrnehmung der Künstler. Während einige den Umkreis des Kreises betonten, um ihre demokratische Manifestation zu demonstrieren, konzentrierten sich andere auf sein Zentrum, um das Konzept der kosmischen Einheit zu symbolisieren. In mystischen Lehren symbolisiert der Kreis hauptsächlich die unendliche und zyklische Natur der Existenz, aber in religiösen Traditionen repräsentiert er Himmelskörper und göttliche Geister. Der Kreis steht für viele heilige und spirituelle Konzepte, darunter unter anderem Einheit, Unendlichkeit, Ganzheit, das Universum, Göttlichkeit, Gleichgewicht, Stabilität und Vollkommenheit. Solche Konzepte sind in Kulturen weltweit durch die Verwendung von Symbolen, zum Beispiel einen Kompass, eine Halogen-, die vesica piscis und seine Derivate (Fisch, Auge, Aureole, mandorla, etc.), die Ouroboros, die gefördert worden Dharma Rad , ein Regenbogen, Mandalas, Rosetten und so weiter.

Siehe auch

Verweise

Weiterlesen

Externe Links