Geschlossener Graphensatz - Closed graph theorem

Eine kubische Funktion
Die Heaviside-Funktion
Der Graph der kubischen Funktion auf dem Intervall ist geschlossen, weil die Funktion stetig ist . Der Graph der Heaviside-Funktion on ist nicht abgeschlossen, da die Funktion nicht stetig ist.

In der Mathematik kann sich der geschlossene Graphensatz auf eines von mehreren grundlegenden Ergebnissen beziehen, die stetige Funktionen hinsichtlich ihrer Graphen charakterisieren . Jedes gibt Bedingungen an, wenn Funktionen mit geschlossenen Graphen notwendigerweise stetig sind.

Grafiken und Karten mit geschlossenen Grafiken

Wenn eine Abbildung zwischen topologischen Räumen ist, dann ist der Graph von die Menge oder äquivalent,

Man sagt, dass der Graph von abgeschlossen ist, wenn er eine abgeschlossene Teilmenge von (mit der Produkttopologie ) ist.

Jede stetige Funktion in einen Hausdorff-Raum hat einen geschlossenen Graphen.

Jede lineare Abbildung zwischen zwei topologischen Vektorräumen, deren Topologien bezüglich translationsinvarianten Metriken (Cauchy) vollständig sind, und wenn zusätzlich (1a) im Sinne der Produkttopologie sequentiell stetig ist, dann ist die Abbildung stetig und ihr Graph,

Gr L , ist notwendigerweise abgeschlossen. Umgekehrt, wenn eine solche lineare Abbildung mit anstelle von (1a) der Graph von ist (1b) bekanntermaßen abgeschlossen im kartesischen Produktraum ist , dann ist er stetig und daher notwendigerweise sequentiell stetig.

Beispiele für kontinuierliche Karten, die nicht geschlossen sind

Wenn ein beliebiger Raum ist, dann ist die Identitätsabbildung stetig, aber ihr Graph, der die Diagonale ist , ist genau dann abgeschlossen, wenn Hausdorff ist. Wenn insbesondere nicht Hausdorff ist, dann ist stetig, aber

nicht abgeschlossen.

Lassen Sie bezeichnen die reellen Zahlen mit der üblichen

euklidischen Topologie und lassen Sie bezeichnen die indiskrete Topologie (wo beachten Sie, dass ist nicht separierten und dass jede Funktion bewertet in kontinuierlich). Lassen Sie sich von und für alle definieren . Dann ist stetig, aber sein Graph ist nicht in geschlossen .

Geschlossener Graphensatz in Punktmengentopologie

In der Punktmengentopologie besagt das geschlossene Graphentheorem Folgendes:

Satz vom abgeschlossenen Graphen  -  Wenn eine Karte von einem topologischen Raum in einen kompakten Hausdorff - Raum dann der Graph ist geschlossen , wenn und nur wenn ist kontinuierlich .

Für Sollwertfunktionen

Satz über geschlossene Graphen für mengenwertige Funktionen  —  Für einen Hausdorff- kompakten Bereichsraum hat eine mengenwertige Funktion genau dann einen geschlossenen Graphen, wenn sie obere Halbstetig ist und F ( x ) eine abgeschlossene Menge für alle ist .

In der Funktionsanalyse

Wenn es sich um einen linearen Operator zwischen

topologischen Vektorräumen (TVSs) handelt, dann sagen wir, dass dies ein abgeschlossener Operator ist, wenn der Graph von abgeschlossen ist, wenn er mit der Produkttopologie ausgestattet ist.

Der geschlossene Graphensatz ist ein wichtiges Ergebnis der Funktionalanalysis, das garantiert, dass ein geschlossener linearer Operator unter bestimmten Bedingungen stetig ist. Das ursprüngliche Ergebnis wurde vielfach verallgemeinert. Eine bekannte Version der geschlossenen Graphensätze ist die folgende.

Satz  —  Eine lineare Abbildung zwischen zwei F-Räumen (zB Banach-Räumen ) ist genau dann stetig, wenn ihr Graph abgeschlossen ist.

Siehe auch

Ursescu – Verallgemeinerung des geschlossenen Graphen, der offenen Abbildung und des Satzes der einheitlichen Beschränktheit
  • Webbed Space  – Räume, in denen die Sätze für offenes Mapping und geschlossene Graphen gelten
  • Anmerkungen

    Verweise

    Literaturverzeichnis