Geschlossener Graphensatz - Closed graph theorem
In der Mathematik kann sich der geschlossene Graphensatz auf eines von mehreren grundlegenden Ergebnissen beziehen, die stetige Funktionen hinsichtlich ihrer Graphen charakterisieren . Jedes gibt Bedingungen an, wenn Funktionen mit geschlossenen Graphen notwendigerweise stetig sind.
Grafiken und Karten mit geschlossenen Grafiken
Wenn eine Abbildung zwischen topologischen Räumen ist, dann ist der Graph von die Menge oder äquivalent,
Jede stetige Funktion in einen Hausdorff-Raum hat einen geschlossenen Graphen.
Jede lineare Abbildung zwischen zwei topologischen Vektorräumen, deren Topologien bezüglich translationsinvarianten Metriken (Cauchy) vollständig sind, und wenn zusätzlich (1a) im Sinne der Produkttopologie sequentiell stetig ist, dann ist die Abbildung stetig und ihr Graph,
Gr L , ist notwendigerweise abgeschlossen. Umgekehrt, wenn eine solche lineare Abbildung mit anstelle von (1a) der Graph von ist (1b) bekanntermaßen abgeschlossen im kartesischen Produktraum ist , dann ist er stetig und daher notwendigerweise sequentiell stetig.Beispiele für kontinuierliche Karten, die nicht geschlossen sind
Wenn ein beliebiger Raum ist, dann ist die Identitätsabbildung stetig, aber ihr Graph, der die Diagonale ist , ist genau dann abgeschlossen, wenn Hausdorff ist. Wenn insbesondere nicht Hausdorff ist, dann ist stetig, aber
nicht abgeschlossen.Lassen Sie bezeichnen die reellen Zahlen mit der üblichen
euklidischen Topologie und lassen Sie bezeichnen die indiskrete Topologie (wo beachten Sie, dass ist nicht separierten und dass jede Funktion bewertet in kontinuierlich). Lassen Sie sich von und für alle definieren . Dann ist stetig, aber sein Graph ist nicht in geschlossen .Geschlossener Graphensatz in Punktmengentopologie
In der Punktmengentopologie besagt das geschlossene Graphentheorem Folgendes:
Satz vom abgeschlossenen Graphen - Wenn eine Karte von einem topologischen Raum in einen kompakten Hausdorff - Raum dann der Graph ist geschlossen , wenn und nur wenn ist kontinuierlich .
Für Sollwertfunktionen
Satz über geschlossene Graphen für mengenwertige Funktionen — Für einen Hausdorff- kompakten Bereichsraum hat eine mengenwertige Funktion genau dann einen geschlossenen Graphen, wenn sie obere Halbstetig ist und F ( x ) eine abgeschlossene Menge für alle ist .
In der Funktionsanalyse
Wenn es sich um einen linearen Operator zwischen
topologischen Vektorräumen (TVSs) handelt, dann sagen wir, dass dies ein abgeschlossener Operator ist, wenn der Graph von abgeschlossen ist, wenn er mit der Produkttopologie ausgestattet ist.Der geschlossene Graphensatz ist ein wichtiges Ergebnis der Funktionalanalysis, das garantiert, dass ein geschlossener linearer Operator unter bestimmten Bedingungen stetig ist. Das ursprüngliche Ergebnis wurde vielfach verallgemeinert. Eine bekannte Version der geschlossenen Graphensätze ist die folgende.
Satz — Eine lineare Abbildung zwischen zwei F-Räumen (zB Banach-Räumen ) ist genau dann stetig, wenn ihr Graph abgeschlossen ist.
Siehe auch
- Fast offene lineare Karte
- Banachraum – Normierter Vektorraum, der vollständig ist
- Tonnenförmiger Raum – Ein topologischer Vektorraum mit nahezu minimalen Anforderungen an das Banach-Steinhaus-Theorem.
- Geschlossener Graph – Graph einer im Produktraum geschlossenen Karte
- Geschlossener linearer Operator
- Kontinuierlicher Linearoperator
- Diskontinuierliche lineare Karte
- Kakutani-Fixpunktsatz – Ein, wenn eine Funktion f: S→Pow(S) auf einer kompakten nichtleeren konvexen Teilmenge S⊂ℝⁿ einen Fixpunkt . hat
- Lokalkonvexer topologischer Vektorraum – Ein Vektorraum mit einer Topologie, die durch konvexe offene Mengen definiert ist
- Offenes Abbildungstheorem (Funktionsanalyse) – Bedingung dafür, dass ein linearer Operator offen ist
- Topologischer Vektorraum – Vektorraum mit dem Begriff der Nähe
- Satz von
Anmerkungen
Verweise
Literaturverzeichnis
- Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur sures espaces vectoriels topologiques [ Topologische Vektorräume: Kapitel 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Elemente der Mathematik . 2 . Übersetzt von Eggleston, HG; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
- Folland, Gerald B. (1984), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (1. Aufl.), John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-80958-6
- Jarchow, Hans (1981). Lokal konvexe Räume . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
- Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topologische Vektorräume I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 159 . Übersetzt von Garling, DJH New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0.248.498 . OCLC- 840293704 .
- Munkres, James R. (2000). Topologie (Zweite Aufl.). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 .
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologische Vektorräume . Reine und angewandte Mathematik (Zweite Aufl.). Boca Raton, FL: CRC-Presse. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Rudin, Walter (1991). Funktionsanalyse . Internationale Reihe in Reiner und Angewandter Mathematik. 8 (Zweite Aufl.). New York, NY: McGraw-Hill Wissenschaft/Ingenieurwesen/Mathematik . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Schäfer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topologische Vektorräume . GTM . 8 (Zweite Aufl.). New York, NY: Springer New York Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Topologische Vektorräume, Verteilungen und Kernel . Mineola, NY: Dover-Veröffentlichungen. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Wilansky, Albert (2013). Moderne Methoden in topologischen Vektorräumen . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .
- Zălinescu, Constantin (30. Juli 2002). Konvexe Analyse in allgemeinen Vektorräumen . River Edge, NJ London: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR 1.921.556 . OCLC 285163112 – über Internetarchiv .
- "Beweis des geschlossenen Graphensatzes" . PlanetMath .