Küstenparadoxon - Coastline paradox

Ein Beispiel für das Küstenparadoxon. Wenn die Küstenlinie Großbritanniens mit Einheiten von 100 km (62 Meilen) Länge gemessen wird, beträgt die Länge der Küstenlinie ungefähr 2.800 km (1.700 Meilen). Mit 50 km (31 mi) Einheiten ist die Gesamtlänge ca. 3.400 km (2.100 mi), ca. 600 km (370 mi) länger.

Das Küstenparadoxon ist die kontraintuitive Beobachtung, dass die Küstenlinie einer Landmasse keine genau definierte Länge hat. Dies resultiert aus den fraktalen Kurven- ähnlichen Eigenschaften von Küstenlinien, dh der Tatsache, dass eine Küstenlinie typischerweise eine fraktale Dimension hat (was den Begriff der Länge tatsächlich unanwendbar macht). Die erste aufgezeichnete Beobachtung dieses Phänomens stammt von Lewis Fry Richardson und wurde von Benoit Mandelbrot erweitert .

Die gemessene Länge der Küstenlinie hängt von der verwendeten Messmethode und dem Grad der kartografischen Verallgemeinerung ab . Da eine Landmasse Merkmale aller Größenordnungen aufweist, von Hunderten von Kilometern bis hin zu winzigen Bruchteilen von Millimetern und darunter, gibt es keine offensichtliche Größe des kleinsten Merkmals, die bei der Messung berücksichtigt werden sollte, und daher keinen einzelnen wohldefinierten Umfang zur Landmasse. Es gibt verschiedene Näherungen , wenn spezifische Annahmen über die minimale Merkmalsgröße getroffen werden.

Das Problem unterscheidet sich grundlegend von der Messung anderer, einfacherer Kanten. Es ist beispielsweise möglich, die Länge eines geraden, idealisierten Metallstabs genau zu messen, indem mit einem Messgerät festgestellt wird, dass die Länge kleiner als ein bestimmter Betrag und größer als ein anderer Betrag ist, dh innerhalb eines bestimmten Grad an Unsicherheit . Je genauer das Messgerät, desto näher liegen die Ergebnisse an der wahren Kantenlänge. Bei der Messung einer Küstenlinie führt die nähere Messung jedoch nicht zu einer Erhöhung der Genauigkeit – die Messung nimmt nur in der Länge zu; Anders als bei der Metallstange gibt es keine Möglichkeit, einen Maximalwert für die Länge der Küstenlinie zu erhalten.

Im dreidimensionalen Raum lässt sich das Küstenparadoxon leicht auf das Konzept fraktaler Oberflächen erweitern, wobei die Fläche einer Oberfläche je nach Messauflösung variiert.

Mathematische Aspekte

Der Grundbegriff der Länge stammt aus der euklidischen Distanz . In der euklidischen Geometrie stellt eine gerade Linie den kürzesten Abstand zwischen zwei Punkten dar . Diese Linie hat nur eine Länge. Auf der Oberfläche einer Kugel wird diese durch die geodätische Länge (auch Großkreislänge genannt ) ersetzt, die entlang der Oberflächenkurve gemessen wird, die in der Ebene existiert, die beide Endpunkte und den Mittelpunkt der Kugel enthält. Die Länge von Basiskurven ist komplizierter, kann aber auch berechnet werden. Wenn man mit Linealen misst, kann man die Länge einer Kurve annähern, indem man die Summe der Geraden addiert, die die Punkte verbinden:

Bogenlänge.svg

Die Verwendung einiger gerader Linien zur Annäherung an die Länge einer Kurve führt zu einer Schätzung, die niedriger ist als die wahre Länge; wenn immer kürzere (und damit zahlreichere) Linien verwendet werden, nähert sich die Summe der wahren Länge der Kurve. Einen genauen Wert für diese Länge findet man in der Infinitesimalrechnung , dem Zweig der Mathematik, der die Berechnung von infinitesimal kleinen Abständen ermöglicht. Die folgende Animation veranschaulicht, wie einer glatten Kurve sinnvollerweise eine genaue Länge zugewiesen werden kann:

Bogenlänge.gif

Nicht alle Kurven können auf diese Weise gemessen werden. Ein Fraktal ist per Definition eine Kurve, deren Komplexität sich mit der Messskala ändert. Während Näherungen einer glatten Kurve mit zunehmender Messgenauigkeit zu einem einzigen Wert tendieren , konvergiert der Messwert für ein Fraktal nicht.

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Diese Sierpiński-Kurve (eine Art raumfüllende Kurve ), die das gleiche Muster in immer kleinerem Maßstab wiederholt, wird immer länger. Wenn man es so versteht, dass es sich in einem unendlich unterteilbaren geometrischen Raum wiederholt, geht seine Länge ins Unendliche. Gleichzeitig konvergiert die von der Kurve eingeschlossene Fläche zwar zu einer genauen Zahl – ebenso wie sich analog die Landmasse einer Insel leichter berechnen lässt als die Länge ihrer Küstenlinie.

Da die Länge einer fraktalen Kurve immer ins Unendliche divergiert, würde sich die Länge der unendlich kurzen Knicke in der Küstenlinie bei der Messung einer Küstenlinie mit unendlicher oder nahezu unendlicher Auflösung auf unendlich summieren. Diese Abbildung beruht jedoch auf der Annahme, dass der Raum in infinitesimale Abschnitte unterteilt werden kann. Der Wahrheitswert dieser Annahme – die der euklidischen Geometrie zugrunde liegt und als nützliches Modell für alltägliche Messungen dient – ​​ist eine Frage philosophischer Spekulationen und kann die sich ändernden Realitäten von "Raum" und "Entfernung" auf atomarer Ebene widerspiegeln oder nicht. ungefähr im Nanometerbereich ). Zum Beispiel wird die Planck-Länge , viele Größenordnungen kleiner als ein Atom, als kleinste messbare Einheit im Universum vorgeschlagen.

Küstenlinien sind in ihrer Konstruktion weniger eindeutig als idealisierte Fraktale wie die Mandelbrot-Menge, da sie durch verschiedene natürliche Ereignisse gebildet werden, die Muster auf statistisch zufällige Weise erzeugen , während idealisierte Fraktale durch wiederholte Iterationen einfacher, formelhafter Folgen gebildet werden.

Entdeckung

Kurz vor 1951 bemerkte Lewis Fry Richardson bei der Untersuchung des möglichen Einflusses von Grenzlängen auf die Kriegswahrscheinlichkeit, dass die Portugiesen ihre gemessene Grenze zu Spanien mit 987 km angaben, die Spanier jedoch mit 1214 km. Dies war der Beginn des Küstenlinienproblems, einer mathematischen Unsicherheit, die der Messung unregelmäßiger Grenzen innewohnt.

Die vorherrschende Methode zur Abschätzung der Länge einer Grenze (oder Küstenlinie) bestand darin, n gleiche gerade Liniensegmente der Länge mit Trennlinien auf einer Karte oder einem Luftbild anzulegen. Jedes Ende des Segments muss sich auf der Grenze befinden. Bei der Untersuchung der Diskrepanzen in der Grenzschätzung entdeckte Richardson den sogenannten "Richardson-Effekt": Die Summe der Segmente ist umgekehrt proportional zur gemeinsamen Länge der Segmente. Tatsächlich gilt: Je kürzer das Lineal, desto länger die gemessene Grenze; die spanischen und portugiesischen Geographen verwendeten einfach unterschiedlich lange Lineale.

Das für Richardson erstaunlichste Ergebnis ist, dass unter bestimmten Umständen, wenn ℓ gegen Null geht, die Länge der Küstenlinie gegen unendlich geht . Richardson hatte auf der Grundlage der euklidischen Geometrie geglaubt, dass sich eine Küstenlinie einer festen Länge nähern würde, ebenso wie ähnliche Schätzungen regelmäßiger geometrischer Figuren. Zum Beispiel kann der Umfang eines regelmäßigen Polygons in einem einbeschriebenen Kreis nähert sich den Umfang mit einer Anzahl von Seiten zu erhöhen (und in der Länge einer Seite abnimmt). In der geometrischen Maßtheorie wird eine so glatte Kurve wie der Kreis, der durch kleine gerade Segmente mit einem bestimmten Grenzwert angenähert werden kann, als korrigierbare Kurve bezeichnet .

Messung einer Küstenlinie

Mehr als ein Jahrzehnt nachdem Richardson seine Arbeit abgeschlossen hatte, entwickelte Benoit Mandelbrot einen neuen Zweig der Mathematik , die fraktale Geometrie , um genau solche nicht korrigierbaren Komplexe in der Natur wie die unendliche Küstenlinie zu beschreiben. Seine eigene Definition der neuen Figur, die seiner Studie zugrunde liegt, lautet:

Ich habe Fraktal aus dem lateinischen Adjektiv fractus geprägt . Das entsprechende lateinische Verb frangere bedeutet „zerbrechen:“ unregelmäßige Fragmente erzeugen. Es ist daher sinnvoll ... dass fractus neben "fragmentiert" ... auch "unregelmäßig" bedeuten sollte.

Eine Schlüsseleigenschaft des Fraktals ist die Selbstähnlichkeit ; das heißt, bei jedem Maßstab erscheint die gleiche allgemeine Konfiguration. Eine Küstenlinie wird als Buchten wahrgenommen, die sich mit Vorgebirgen abwechseln. In der hypothetischen Situation, dass eine gegebene Küstenlinie diese Eigenschaft der Selbstähnlichkeit besitzt, erscheint ein ähnliches Muster von kleineren Buchten und Vorgebirgen, die sich über größere Buchten und Vorgebirge legen, ganz gleich, wie groß ein kleiner Küstenabschnitt vergrößert wird Sandkörner. In diesem Maßstab erscheint die Küstenlinie als ein sich vorübergehend verschiebender, potenziell unendlich langer Faden mit einer stochastischen Anordnung von Buchten und Vorgebirgen, die aus den kleinen Objekten gebildet werden. In einer solchen Umgebung (im Gegensatz zu glatten Kurven) behauptet Mandelbrot, dass "die Länge der Küstenlinie eine schwer fassbare Vorstellung ist, die zwischen den Fingern derer rutscht, die sie begreifen wollen."

Es gibt verschiedene Arten von Fraktalen. Eine Küstenlinie mit der angegebenen Eigenschaft gehört zu "einer ersten Kategorie von Fraktalen, nämlich Kurven, deren fraktale Dimension größer als 1 ist." Diese letzte Aussage stellt eine Erweiterung von Richardsons Gedanken durch Mandelbrot dar. Mandelbrots Aussage zum Richardson-Effekt lautet:

wobei L, Küstenlänge, eine Funktion der Maßeinheit ε, durch den Ausdruck angenähert wird. F ist eine Konstante und D ist ein Parameter, den Richardson in Abhängigkeit von der von L angenäherten Küstenlinie gefunden hat. Er gab keine theoretische Erklärung, aber Mandelbrot identifizierte D mit einer nicht ganzzahligen Form der Hausdorff-Dimension , später der fraktalen Dimension. Das Neuanordnen der rechten Seite des Ausdrucks ergibt:

wobei Fε −D die Anzahl der Einheiten ε sein muss, die erforderlich sind, um L zu erhalten. Die fraktale Dimension ist die Anzahl der Dimensionen der Figur, die verwendet wird, um das Fraktal anzunähern: 0 für einen Punkt, 1 für eine Linie, 2 für ein Quadrat. D im Ausdruck liegt zwischen 1 und 2, für Küstenlinien typischerweise kleiner als 1,5. Für Seeufer ist der typische Wert D = 1,28. Die gestrichelte Linie, die die Küste misst, erstreckt sich weder in eine Richtung noch stellt sie ein Gebiet dar, sondern ist dazwischen. Es kann als dicke Linie oder Band der Breite 2ε interpretiert werden. Mehr unterbrochene Küstenlinien haben ein größeres D und daher ist L für das gleiche ε länger. Mandelbrot zeigte, dass D unabhängig von ε ist.

Siehe auch

Verweise

Zitate

Quellen

Externe Links