Cocountable Topologie - Cocountable topology

Die Koabzählbare Topologie oder zählbaren Komplement Topologie auf jeder Menge X besteht aus dem leeren Satz und allen cocountable Teilmengen von X , daß alle Sätze , deren Komplement in X ist zählbar . Daraus folgt, dass die einzigen geschlossenen Teilmengen X und die zählbaren Teilmengen von X sind .

Jede Menge X mit der cocountable Topologie ist Lindelöf , da jede nicht leere offene Menge nur zählbar viele Punkte von X auslässt . Es ist auch T ₁ , da alle Singletons geschlossen sind.

Wenn X eine unzählige Menge ist, schneiden sich zwei beliebige offene Mengen, daher ist der Raum nicht Hausdorff . In der cocountable-Topologie sind jedoch alle konvergenten Sequenzen schließlich konstant, sodass die Grenzen eindeutig sind. Da kompakte Mengen in X endliche Teilmengen sind, sind alle kompakten Teilmengen geschlossen, eine weitere Bedingung, die normalerweise mit dem Hausdorff-Trennungsaxiom zusammenhängt.

Die mitzählbare Topologie auf einer abzählbaren Menge ist die diskrete Topologie . Die cocountable-Topologie auf einer unzähligen Menge ist hyperverbunden , also verbunden , lokal verbunden und pseudokompakt , aber weder schwach zählbar kompakt noch zählbar metakompakt , daher nicht kompakt.

Siehe auch

• Cofinite-Topologie
• Liste der Topologien

Verweise

• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Gegenbeispiele in der Topologie ( Dover- Nachdruck von 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR  0507446 (Siehe Beispiel 20) .