Begleitmatrix - Companion matrix

In der linearen Algebra die Frobenius- Begleitmatrix des monischen Polynoms

{\ displaystyle p (t) = c_ {0} + c_ {1} t + \ cdots + c_ {n-1} t ^ {n-1} + t ^ {n} ~,}

ist die quadratische Matrix definiert als

{\ displaystyle C (p) = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & \ dots & 0 & -c_ {0} \\ 1 & 0 & \ dots & 0 & -c_ {1} \\ 0 & 1 & \ dots & 0 & -c_ {2} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ dots & 1 & -c_ {n-1} \ end {bmatrix}}.}

Einige Autoren verwenden die Transponierte dieser Matrix, die (doppelt) Koordinaten zyklisiert und für einige Zwecke, wie z. B. lineare Wiederholungsrelationen, bequemer ist .

Charakterisierung

Das charakteristische Polynom sowie das Minimalpolynom von $C (p)$ sind gleich $p$ .

In diesem Sinne ist die Matrix $C (p)$ der "Begleiter" des Polynoms $p$ .

Wenn $A$ eine n- mal- n- Matrix mit Einträgen aus einem Feld $K ist$ , sind die folgenden Anweisungen äquivalent:

$A$ ist ähnlich zu dem Begleitmatrix über $K$ sein charakteristisches Polynom
Das charakteristische Polynom von $A$ fällt mit dem Minimalpolynom von $A zusammen$ , äquivalent dazu hat das Minimalpolynom den Grad $n$
es gibt einen zyklischen Vektor $v$ in für $A$ , was bedeutet, dass { v , A v , A ²v , ..., A ^{n -}¹v } eine Basis von V ist . Äquivalent dazu, dass V als -modul (und ) zyklisch ist ; man sagt , daß $A$ ist nicht abwertend . ${\ displaystyle V = K ^ {n}}$ ${\ displaystyle K [A]}$ ${\ displaystyle V = K [A] / (p (A))}$

Nicht jede quadratische Matrix ähnelt einer Begleitmatrix. Aber jede Matrix ähnelt einer Matrix, die aus Blöcken von Begleitmatrizen besteht. Darüber hinaus können diese Begleitmatrizen so gewählt werden, dass sich ihre Polynome teilen; dann werden sie eindeutig durch $A bestimmt$ . Dies ist die rationale kanonische Form von $A$ .

Diagonalisierbarkeit

Wenn $p (t)$ unterschiedliche Wurzeln $λ 1, ..., λ n$ (die Eigenwerte von C ( p )) hat, ist C ( p ) wie folgt diagonalisierbar :

{\ displaystyle VC (p) V ^ {- 1} = \ operatorname {diag} (\ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {n})}

wobei $V$ die Vandermonde-Matrix ist , die den $λ$ 's entspricht.

In diesem Fall ergeben Spuren der Potenzen m von $C$ leicht Summen der gleichen Potenzen m aller Wurzeln von p ( t ),

{\ displaystyle \ operatorname {Tr} C ^ {m} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} ^ {m} ~.}

Wenn $p (t)$ eine nicht einfache Wurzel hat, ist C ( p ) nicht diagonalisierbar (seine jordanische kanonische Form enthält einen Block für jede einzelne Wurzel).

Lineare rekursive Sequenzen

Gegeben eine lineare rekursive Sequenz mit charakteristischem Polynom

{\ displaystyle p (t) = c_ {0} + c_ {1} t + \ cdots + c_ {n-1} t ^ {n-1} + t ^ {n} \,}

die (transponierte) Begleitmatrix

{\ displaystyle C ^ {T} (p) = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 1 \\ - c_ {0} & - c_ {1} & - c_ {2} & \ cdots & -c_ {n-1} \ end {bmatrix}}}

erzeugt die Sequenz in dem Sinne, dass

{\ displaystyle C ^ {T} {\ begin {bmatrix} a_ {k} \\ a_ {k + 1} \\\ vdots \\ a_ {k + n-1} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a_ {k + 1} \\ a_ {k + 2} \\\ vdots \\ a_ {k + n} \ end {bmatrix}}.}

erhöht die Reihe um 1.

Der Vektor $(1, t, t 2, ..., t n -1)$ ist ein Eigenvektor dieser Matrix für den Eigenwert $t$ , wenn $t$ eine Wurzel des charakteristischen Polynoms $p (t) ist$ .

Für $c 0 = -1$ und alle anderen $c i = 0$ , dh $p (t) = t n -1$ , reduziert sich diese Matrix auf Sylvesters zyklische Verschiebungsmatrix oder zirkulierende Matrix .

Siehe auch

Anmerkungen

Languages

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