Vollständige Boolesche Algebra - Complete Boolean algebra

Dieser Artikel handelt von einer Art mathematischer Struktur. Vollständige Sätze von Booleschen Operatoren finden Sie unter Funktionale Vollständigkeit .

In der Mathematik ist eine vollständige Boolesche Algebra eine Boolesche Algebra, in der jede Teilmenge ein Supremum (kleinste obere Schranke ) hat. Vollständiger Boolesche Algebra verwendet werden , um zu konstruieren Boolesche Wert Modelle der Mengenlehre von in der Theorie zu zwingen . Jede Boolesche Algebra A hat eine im Wesentlichen eindeutige Vervollständigung, die eine vollständige Boolesche Algebra ist, die A enthält, so dass jedes Element das Supremum einer Teilmenge von A ist . Als teilweise geordnete Menge ist diese Vervollständigung von A die Dedekind-MacNeille-Vervollständigung .

Allgemeiner gesagt, wenn κ eine Kardinalzahl ist, dann heißt eine Boolesche Algebra κ-vollständig, wenn jede Teilmenge der Kardinalität kleiner als κ ein Supremum hat.

Beispiele

  • Jede endliche Boolesche Algebra ist vollständig.
  • Die Algebra von Teilmengen einer gegebenen Menge ist eine vollständige Boolesche Algebra.
  • Die regulären offenen Mengen eines beliebigen topologischen Raums bilden eine vollständige Boolesche Algebra. Dieses Beispiel ist von besonderer Bedeutung, da jedes erzwingende Poset als topologischer Raum betrachtet werden kann (eine Basis für die Topologie, die aus Mengen besteht, die die Menge aller Elemente sind, die kleiner oder gleich einem gegebenen Element sind). Die entsprechende reguläre offene Algebra kann verwendet werden, um boolesche Modelle zu bilden , die dann generischen Erweiterungen durch das gegebene erzwingende Poset äquivalent sind.
  • Die Algebra aller messbaren Teilmengen eines σ-endlichen Maßraums, Modulo-Null-Mengen, ist eine vollständige Boolesche Algebra. Wenn der Maßraum das Einheitsintervall mit der σ-Algebra von Lebesgue-messbaren Mengen ist, wird die Boolesche Algebra als Zufallsalgebra bezeichnet .
  • Die Algebra aller messbaren Teilmengen eines Maßraums ist eine ℵ 1 -vollständige Boolesche Algebra, aber normalerweise nicht vollständig.
  • Die Algebra aller Teilmengen einer unendlichen Menge, die endlich oder endlich komplementär sind, ist eine Boolesche Algebra, aber nicht vollständig.
  • Die Boolesche Algebra aller Baire-Mengen modulo magere Mengen in einem topologischen Raum mit abzählbarer Basis ist vollständig; wenn der topologische Raum die reellen Zahlen ist, wird die Algebra manchmal die Cantor-Algebra genannt .

  • Ein weiteres Beispiel für eine Boolesche Algebra, die nicht vollständig ist, ist die Boolesche Algebra P(ω) aller Mengen natürlicher Zahlen , quotiert durch das ideale Fin endlicher Teilmengen. Das resultierende Objekt, bezeichnet mit P(ω)/Fin, besteht aus allen Äquivalenzklassen von Mengen von natürlichen Zahlen, wobei die relevante Äquivalenzrelation darin besteht, dass zwei Mengen von natürlichen Zahlen äquivalent sind, wenn ihre symmetrische Differenz endlich ist. Die Booleschen Operationen werden analog definiert, wenn beispielsweise A und B zwei Äquivalenzklassen in P(ω)/Fin sind, definieren wir die Äquivalenzklasse von , wobei a und b einige (beliebige) Elemente von A bzw. B sind .

    Seien nun a 0 , a 1 , … paarweise disjunkte unendliche Mengen von Natürlichen, und seien A 0 ,  A 1 , … ihre entsprechenden Äquivalenzklassen in P(ω)/Fin. Wenn dann eine beliebige obere Schranke X von A 0 ,  A 1 , … in P(ω)/Fin gegeben ist, können wir eine kleinere obere Schranke finden, indem wir aus einem Repräsentanten für X ein Element von jedem a n entfernen . Daher haben die A n kein Supremum.

  • Eine Boolesche Algebra ist genau dann vollständig, wenn ihr Steinraum der Primideale extrem unzusammenhängend ist .

Eigenschaften vollständiger Boolescher Algebren

  • Der Erweiterungssatz von Sikorski besagt, dass, wenn A eine Subalgebra einer Booleschen Algebra B ist , jeder Homomorphismus von A zu einer vollständigen Booleschen Algebra C zu einem Morphismus von B nach C erweitert werden kann .
  • Jede Teilmenge einer vollständigen Booleschen Algebra hat per Definition ein Supremum; Daraus folgt, dass jede Teilmenge auch ein Infimum (größte untere Schranke) hat.
  • Für eine vollständige boolesche Algebra gelten beide unendlichen Verteilungsgesetze.
  • Für eine vollständige boolesche Algebra gelten die unendlichen de-Morgan-Gesetze .

Die Vervollständigung einer Booleschen Algebra

Die Vervollständigung einer Booleschen Algebra kann auf mehrere äquivalente Arten definiert werden:

  • Die Vervollständigung von A ist (bis auf Isomorphie) die eindeutige vollständige Boolesche Algebra B, die A enthält, so dass A dicht in B ist ; das bedeutet, dass es für jedes von Null verschiedene Element von B ein kleineres von Null verschiedenes Element von A gibt .
  • Die Vervollständigung von A ist (bis auf Isomorphie) die eindeutige vollständige Boolesche Algebra B, die A enthält, so dass jedes Element von B das Supremum einer Teilmenge von A ist .

Die Vervollständigung einer Booleschen Algebra A kann auf verschiedene Weise konstruiert werden:

  • Die Vervollständigung ist die Boolesche Algebra der regulären offenen Mengen im Steinraum der Primideale von A . Jedes Element x von A entspricht der offenen Menge von Primidealen, die x nicht enthalten (die offen und abgeschlossen und daher regelmäßig ist).
  • Die Vervollständigung ist die Boolesche Algebra der regelmäßigen Schnitte von A . Hier ist ein Schnitt eine Teilmenge U von A + (die Nicht-Null-Elemente von A ), so dass, wenn q in U ist und p  ≤  q, dann p in U ist , und regulär heißt, wenn immer p nicht in U ist, gibt es etwas r  ≤  p so dass U keine Elemente ≤  r hat . Jedes Element p von A entspricht dem Schnitt der Elemente ≤  p .

Wenn A ein metrischer Raum und B seine Vervollständigung ist, dann kann jede Isometrie von A zu einem vollständigen metrischen Raum C zu einer eindeutigen Isometrie von B nach C erweitert werden . Die analoge Aussage für vollständige Boolesche Algebren ist nicht wahr: Ein Homomorphismus von einer Booleschen Algebra A zu einer vollständigen Booleschen Algebra C kann nicht notwendigerweise auf einen (höchsterhaltenden) Homomorphismus vollständiger Boolescher Algebren von der Vervollständigung B von A bis C erweitert werden . (Nach dem Erweiterungssatz von Sikorski kann er zu einem Homomorphismus von Booleschen Algebren von B nach C erweitert werden , aber dies wird im Allgemeinen kein Homomorphismus vollständiger Boolescher Algebren sein; mit anderen Worten, es muss keine Suprema erhalten.)

Kostenlose κ-vollständige Boolesche Algebren

Sofern das Auswahlaxiom nicht gelockert ist, existieren keine freien vollständigen booleschen Algebren, die von einer Menge erzeugt werden (es sei denn, die Menge ist endlich). Genauer gesagt gibt es für jede Kardinalzahl κ eine vollständige Boolesche Algebra der Kardinalität 2 κ größer als , die von einer abzählbaren Teilmenge als vollständige Boolesche Algebra erzeugt wird; zum Beispiel die Boolesche Algebra regulärer offener Mengen im Produktraum κ ω , wobei κ die diskrete Topologie hat. Abzählbarer Generatorsatz besteht aus allen Sätzen eine m , n für m , n ganze Zahlen sind , bestehend aus den Elementen x  & egr;  & kgr; & ohgr; so dass x ( m ) <  x ( n ). (Diese Boolesche Algebra wird als kollabierende Algebra bezeichnet , weil das Erzwingen damit die Kardinalzahl κ auf ω kollabiert.)

Insbesondere der Vergesslichkeitsfunktor von vollständigen Booleschen Algebren zu Mengen hat keine linksadjungierte, obwohl er stetig ist und die Kategorie der Booleschen Algebren klein-vollständig ist. Dies zeigt, dass die "Lösungsmengenbedingung" im Adjungierten Funktorsatz von Freyd notwendig ist.

Gegeben eine Menge X kann man die von dieser Menge erzeugte freie Boolesche Algebra A bilden und dann ihre Vervollständigung B nehmen . Jedoch B ist nicht eine „freie“ vollständige Boolesche Algebra , die durch X (es sei denn , X endlich oder AC weggelassen wird), weil eine Funktion von X zu einem freien Boolesche Algebra C kann im Allgemeinen nicht erweitert werden , um einen (supremum erhalt) Morphismus Boolesche Algebren von B bis C .

Andererseits gibt es für jede feste Kardinalzahl κ eine freie (oder universelle) κ-vollständige Boolesche Algebra, die von einer beliebigen gegebenen Menge erzeugt wird.

Siehe auch

Verweise

  1. ^ Stavi, Jonathan (1974), "Ein Modell von ZF mit einer unendlichen freien vollständigen Booleschen Algebra", Israel Journal of Mathematics , 20 (2): 149–163, doi : 10.1007/BF02757883 , S2CID  119543439 .