Antiderivativ (komplexe Analyse) - Antiderivative (complex analysis)

In komplexen Analyse , ein Zweig der Mathematik , der antiderivative oder primitive , eines komplexen -wertige Funktion g eine Funktion ist, deren komplexe Derivat ist g . Genauer gesagt, wenn eine offene Menge in der komplexen Ebene und eine Funktion gegeben sind, ist das Antiderivativ von eine Funktion , die erfüllt . ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle g: U \ to \ mathbb {C},}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle {\ frac {df} {dz}} = g}$

Als solches ist dieses Konzept der komplexen variablen Version des antiderivative einer echten -wertigen Funktion.

Einzigartigkeit

Die Ableitung einer konstanten Funktion ist die Nullfunktion. Daher ist jede konstante Funktion ein Antiderivativ der Nullfunktion. Wenn es sich um eine verbundene Menge handelt , sind die konstanten Funktionen die einzigen Antiderivative der Nullfunktion. Andernfalls ist eine Funktion genau dann ein Antiderivativ der Nullfunktion, wenn sie für jede verbundene Komponente von konstant ist (diese Konstanten müssen nicht gleich sein). ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle U}$

Diese Beobachtung impliziert, dass, wenn eine Funktion ein Antiderivativ hat, dieses Antiderivativ bis zur Hinzufügung einer Funktion, die für jede verbundene Komponente von konstant ist, eindeutig ist . ${\ displaystyle g: U \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle U}$

Existenz

Man kann die Existenz von Antiderivativen über Pfadintegrale in der komplexen Ebene charakterisieren, ähnlich wie im Fall von Funktionen einer realen Variablen. Vielleicht nicht überraschend, hat g genau dann ein Antiderivativ f, wenn für jeden γ-Pfad von a nach b das Pfadintegral

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} g (\ zeta) \, d \ zeta = f (b) -f (a).}

Gleichermaßen

{\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} g (\ zeta) \, d \ zeta = 0,}

für jeden geschlossenen Weg γ.

Ungeachtet dieser formalen Ähnlichkeit ist der Besitz eines Komplex-Antiderivativs eine viel restriktivere Bedingung als sein eigentliches Gegenstück. Während es möglich ist, dass eine diskontinuierliche reelle Funktion ein Anti-Derivat aufweist, können Anti-Derivate selbst für holomorphe Funktionen einer komplexen Variablen nicht existieren. Betrachten Sie zum Beispiel die reziproke Funktion g ( z ) = 1 / z, die auf der punktierten Ebene C \ {0} holomorph ist . Eine direkte Berechnung zeigt, dass das Integral von g entlang eines Kreises, der den Ursprung umschließt, ungleich Null ist. Also verfehlt g die oben genannte Bedingung. Dies ähnelt der Existenz potenzieller Funktionen für konservative Vektorfelder , da der Satz von Green nur dann die Pfadunabhängigkeit gewährleisten kann, wenn die betreffende Funktion in einem einfach verbundenen Bereich definiert ist, wie im Fall des Cauchy-Integralsatzes .

Tatsächlich ist die Holomorphie dadurch gekennzeichnet , dass sie lokal ein Antiderivativ aufweist , dh g ist holomorph, wenn für jedes z in seiner Domäne eine Nachbarschaft U von z vorhanden ist, so dass g ein Antiderivativ auf U hat . Darüber hinaus ist die Holomorphie eine notwendige Voraussetzung dafür, dass eine Funktion ein Antiderivativ aufweist, da die Ableitung einer holomorphen Funktion holomorph ist.

Verschiedene Versionen des Cauchy-Integralsatzes , ein Ergebnis der Cauchy-Funktionstheorie, die Pfadintegrale stark nutzt, liefern ausreichende Bedingungen, unter denen für ein holomorphes g ,

{\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} g (\ zeta) \, d \ zeta}

verschwindet für jeden geschlossenen Pfad γ (der zum Beispiel sein kann, dass die Domäne von g einfach verbunden oder sternkonvex ist).

Notwendigkeit

Zuerst zeigen wir, dass wenn f ein Antiderivativ von g auf U ist , g die oben angegebene Pfadintegraleigenschaft hat. Bei jedem stückweisen C ¹ -Pfad γ: [ a , b ] → U kann man das Pfadintegral von g über γ als ausdrücken

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} g (z) \, dz = \ int _ {a} ^ {b} g (\ gamma (t)) \ gamma '(t) \, dt = \ int _ { a} ^ {b} f '(\ gamma (t)) \ gamma' (t) \, dt.}

Nach der Kettenregel und dem Grundsatz der Analysis hat man dann

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} g (z) \, dz = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {d} {dt}} f \ left (\ gamma (t) \ right) \, dt = f \ left (\ gamma (b) \ right) -f \ left (\ gamma (a) \ right).}

Daher hängt das Integral von g über γ nicht vom tatsächlichen Pfad γ ab, sondern nur von seinen Endpunkten, was wir zeigen wollten.

Suffizienz

Als nächstes zeigen wir, dass wenn g holomorph ist und das Integral von g über einen Pfad nur von den Endpunkten abhängt, g ein Antiderivativ hat. Wir werden dies tun, indem wir explizit ein Anti-Derivat finden.

Ohne Verlust der Allgemeinheit können wir annehmen, dass die Domäne U von g verbunden ist, da ansonsten die Existenz eines Antiderivativs für jede verbundene Komponente nachgewiesen werden kann. Fixieren Sie mit dieser Annahme einen Punkt z ₀ in U und definieren Sie für jedes z in U die Funktion

{\ displaystyle f (z) = \ int _ {\ gamma} \! g (\ zeta) \, d \ zeta}

wobei γ ein beliebiger Pfad ist, der z ₀ mit z verbindet . Ein solcher Pfad existiert, da angenommen wird, dass U eine offen verbundene Menge ist. Die Funktion f ist gut definiert, da das Integral nur von den Endpunkten von γ abhängt.

Dass dieses f ein Antiderivativ von g ist, kann auf die gleiche Weise wie im realen Fall argumentiert werden. Wir haben für ein gegebenes z in U , dass es eine Scheibe geben muss, die auf z zentriert ist und vollständig in U enthalten ist . Dann für jedes andere w als z innerhalb dieser Platte

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left | {\ frac {f (w) -f (z)} {wz}} - g (z) \ right | & = \ left | \ int _ {z} ^ {w} {\ frac {g (\ zeta) \, d \ zeta} {wz}} - \ int _ {z} ^ {w} {\ frac {g (z) \, d \ zeta} {wz} } \ right | \\ & \ leq \ int _ {z} ^ {w} {\ frac {| g (\ zeta) -g (z) |} {| wz |}} \, d \ zeta \\ & \ leq \ sup _ {\ zeta \ in [w, z]} | g (\ zeta) -g (z) |, \ end {align}}}

wobei [ z , w ] das Liniensegment zwischen z und w bezeichnet . Durch die Kontinuität von g geht der endgültige Ausdruck auf Null, wenn sich w z nähert . Mit anderen Worten ist f ' = g .

Verweise

Ian Stewart, David O. Tall (10. März 1983). Komplexe Analyse . Cambridge University Press. ISBN 0-521-28763-4 .
Alan D. Solomon (1. Januar 1994). Die Grundlagen der komplexen Variablen I . Research & Education Assoc. ISBN 0-87891-661-X .

Externe Links

Weisstein, Eric W. "Fundamentalsätze der Analysis" . MathWorld .

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