Holomorphe Funktion - Holomorphic function

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f

(unten).

In der Mathematik ist eine holomorphe Funktion eine komplexwertige Funktion einer oder mehrerer komplexer Variablen, die in einer Umgebung jedes Punktes in einer Domäne im komplexen Koordinatenraum $C$ $n$ komplex differenzierbar ist . Die Existenz einer komplexen Ableitung in einer Umgebung ist eine sehr starke Bedingung: Sie impliziert, dass eine holomorphe Funktion unendlich differenzierbar und lokal gleich ihrer eigenen Taylor-Reihe ( analytisch ) ist. Holomorphe Funktionen sind die zentralen Untersuchungsobjekte der komplexen Analysis .

Obwohl der Begriff analytische Funktion oft synonym mit "holomorpher Funktion" verwendet wird, ist das Wort "analytisch" in einem weiteren Sinne definiert, um jede Funktion (reelle, komplexe oder allgemeinere Art) zu bezeichnen, die als konvergente Potenzreihe geschrieben werden kann in einer Umgebung jedes Punktes in seinem Bereich . Dass alle holomorphen Funktionen komplexe analytische Funktionen sind und umgekehrt, ist ein Hauptsatz der komplexen Analysis .

Holomorphe Funktionen werden manchmal auch als reguläre Funktionen bezeichnet . Eine holomorphe Funktion, deren Domäne die ganze komplexe Ebene ist, heißt ganze Funktion . Der Ausdruck "holomorph an einem Punkt $z 0$ " bedeutet nicht nur differenzierbar bei $z 0$ , sondern überall innerhalb einer Umgebung von $z 0$ in der komplexen Ebene differenzierbar .

Definition

Die Funktion

f (z) = z̅

ist bei Null nicht komplex differenzierbar, denn wie oben gezeigt, variiert der Wert von

f (z) - f (0) / z - 0

in Abhängigkeit von der Richtung, aus der Null angefahren wird. Auf der reellen Achse ist

f

gleich der Funktion

g (z) = z

und der Grenzwert ist

1

, während auf der imaginären Achse

f

gleich

h (z) = - z

und der Grenzwert ist

-1

. Andere Richtungen ergeben noch andere Grenzen.

Gegeben eine komplexwertige Funktion $f$ einer einzelnen komplexen Variablen ist die Ableitung von $f$ an einem Punkt $z 0$ in ihrem Definitionsbereich durch den Grenzwert

f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}.

Dies ist dasselbe wie die Definition der Ableitung für reelle Funktionen , außer dass alle Größen komplex sind. Insbesondere wird der Grenzwert genommen, wenn sich die komplexe Zahl $z$ $z 0$ nähert und muss den gleichen Wert für jede Folge von komplexen Werten für $z haben$ , die sich $z 0$ auf der komplexen Ebene nähern . Wenn die Grenze existiert, sagen wir , dass $f$ ist differenzierbar Komplex an dem Punkt $z 0$ . Dieses Konzept der komplexen Differenzierbarkeit teilt mehrere Eigenschaften mit der reellen Differenzierbarkeit : Es ist linear und gehorcht der Produktregel , Quotientenregel und Kettenregel .

Wenn $f$ ist komplex differenzierbar an jedem Punkt $z 0$ in einer offenen Menge $U$ , sagen wir , dass $f$ ist holomorph auf $U$ . Wir sagen, dass $f$ im Punkt $z 0$ holomorph ist, wenn $f$ auf einer Umgebung von $z 0$ komplex differenzierbar ist . Wir sagen, dass $f$ auf einer nicht offenen Menge $A$ holomorph ist, wenn es in einer Umgebung von $A$ holomorph ist . Als pathologisches Nicht-Beispiel gilt die Funktion $f (z) = | z | 2$ ist an genau einem Punkt komplex differenzierbar ( $z 0 = 0$ ) und deshalb an $0$ nicht holomorph, da es keine offene Menge um $0 gibt,$ auf der $f$ komplex differenzierbar ist.

Der Zusammenhang zwischen reeller Differenzierbarkeit und komplexer Differenzierbarkeit ist folgender: Ist eine komplexe Funktion $f (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y)$ holomorph, dann haben $u$ und $v$ erste partielle Ableitungen nach $x$ und $y$ und erfüllen die Cauchy-Riemann-Gleichungen :

{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u }{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,

oder, äquivalent, die Wirtinger-Ableitung von $f$ nach $z̅$ , der komplex Konjugierten von $z$ , ist null:

{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0,

das heißt, $f$ ist in groben $Zügen$ funktional unabhängig von $z̅$ der komplex Konjugierten von $z$ .

Wenn keine Stetigkeit gegeben ist, gilt das Umgekehrte nicht unbedingt. Eine einfache Umkehrung ist , dass , wenn $u$ und $v$ haben kontinuierliche erste partielle Ableitungen und die Cauchy-Riemann Gleichungen erfüllen, dann $f$ holomorph ist. Ein befriedigender Austausch, was sehr viel schwieriger ist , zu beweisen, ist die Looman-Menchoff Theorem : Wenn $f$ kontinuierlich ist , $u$ und $v$ haben erste partielle Ableitungen (aber nicht notwendigerweise kontinuierlich), und sie die Cauchy-Riemann Gleichungen erfüllen, dann $f$ IS holomorph.

Terminologie

Der Begriff holomorph wurde 1875 von Charles Briot und Jean-Claude Bouquet , zwei Schülern von Augustin-Louis Cauchy , eingeführt und leitet sich vom griechischen ὅλος ( hólos ) für „ganz“ und μορφή ( morphḗ ) für „Form“ oder . ab „Erscheinung“ oder „Typ“, im Gegensatz zum Begriff meromorph, abgeleitet von μέρος ( méros ), was „Teil“ bedeutet. Eine holomorphe Funktion ähnelt einer ganzen Funktion ("ganz") in einem Bereich der komplexen Ebene, während eine meromorphe Funktion (definiert als holomorph außer an bestimmten isolierten Polen ) einem rationalen Bruch ("Teil") ganzer Funktionen in einem Bereich ähnelt der komplexen Ebene. Cauchy hatte stattdessen den Begriff synektisch verwendet .

Heute wird der Begriff "holomorphe Funktion" manchmal der "analytischen Funktion" vorgezogen. Ein wichtiges Ergebnis der komplexen Analyse ist, dass jede holomorphe Funktion komplex analytisch ist, was aus den Definitionen nicht offensichtlich folgt. Der Begriff "analytisch" ist jedoch auch weit verbreitet.

Eigenschaften

Da die komplexe Differentiation linear ist und den Produkt-, Quotienten- und Kettenregeln gehorcht, sind die Summen, Produkte und Zusammensetzungen holomorpher Funktionen holomorph, und der Quotient zweier holomorpher Funktionen ist holomorph, wenn der Nenner nicht Null ist. Das heißt, wenn Funktionen $f$ und $g$ in einem Gebiet $U$ holomorph sind , dann sind es auch $f + g$ , $f - g$ , $f g$ und $f \circ g$ . Außerdem ist $f / g$ holomorph, wenn $g$ keine Nullstellen in $U hat$ , oder ist ansonsten meromorph .

Identifiziert man $C$ mit der reellen Ebene $R 2$ , dann fallen die holomorphen Funktionen mit den Funktionen zweier reeller Variablen mit stetigen ersten Ableitungen zusammen, die die Cauchy-Riemann-Gleichungen lösen , eine Menge von zwei partiellen Differentialgleichungen .

Jede holomorphe Funktion kann in ihren Real- und Imaginärteil zerlegt werden $f (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y)$ , und jede davon ist eine harmonische Funktion auf $R 2$ (jeder erfüllt die Laplace-Gleichung $\nabla 2 u = \nabla 2 v = 0$ ), wobei $v$ die harmonische Konjugierte von $u ist$ . Umgekehrt ist jede harmonische Funktion $u (x, y)$ auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet $Ω \subset R 2$ der Realteil einer holomorphen Funktion: Ist $v$ die harmonische Konjugierte von $u$ , eindeutig bis auf eine Konstante, dann ist $f (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y)$ ist holomorph.

Der Integralsatz von Cauchy impliziert, dass das Konturintegral jeder holomorphen Funktion entlang einer Schleife verschwindet:

\oint_{\gamma}f(z)\,dz=0.

Dabei ist $γ$ ein korrigierbarer Weg in einem einfach zusammenhängenden komplexen Gebiet $U \subset C,$ dessen Startpunkt gleich seinem Endpunkt ist, und $f : U \to C$ ist eine holomorphe Funktion.

Die Integralformel von Cauchy besagt, dass jede holomorphe Funktion innerhalb einer Scheibe vollständig durch ihre Werte am Rand der Scheibe bestimmt wird. Weiterhin: Angenommen $U \subset C$ ist ein komplexes Gebiet, $f : U \to C$ ist eine holomorphe Funktion und die geschlossene Scheibe $D = {z : | z - z 0 | \leq r}$ ist vollständig in $U enthalten$ . Sei $γ$ der Kreis, der den Rand von $D bildet$ . Dann gilt für jedes $a$ im Inneren von $D$ :

f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{za}}\,dz

wobei das Konturintegral gegen den Uhrzeigersinn genommen wird .

Die Ableitung $f ‍'(a)$ kann mit der Cauchyschen Differenzierungsformel als Konturintegral geschrieben werden :

f'(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over (za)^{2}}\,dz,

für jede einfache Schleife, die sich einmal positiv um $a$ windet , und

f'(a)=\lim\limits_{\gamma\to a}{\frac {i}{2{\mathcal{A}}(\gamma)}}\oint_{\gamma}f (z)\,d{\bar{z}},

für infinitesimale positive Schleifen $γ$ um $a$ .

In Regionen, in denen die erste Ableitung nicht Null ist, sind holomorphe Funktionen konform : Sie bewahren Winkel und die Form (aber nicht die Größe) kleiner Figuren.

Jede holomorphe Funktion ist analytisch . Das heißt, eine holomorphe Funktion $f$ hat an jedem Punkt $a$ in ihrem Definitionsbereich Ableitungen jeder Ordnung , und sie fällt mit ihrer eigenen Taylor-Reihe bei $a$ in einer Umgebung von $a zusammen$ . Tatsächlich fällt $f$ mit seiner Taylor-Reihe bei $a$ in einer beliebigen Scheibe zusammen, die an diesem Punkt zentriert ist und im Bereich der Funktion liegt.

Aus algebraischer Sicht ist die Menge der holomorphen Funktionen auf einer offenen Menge ein kommutativer Ring und ein komplexer Vektorraum . Außerdem ist die Menge der holomorphen Funktionen in einer offenen Menge $U$ genau dann ein ganzzahliges Gebiet, wenn die offene Menge $U zusammenhängend$ ist. Tatsächlich handelt es sich um einen lokal konvexen topologischen Vektorraum , wobei die Seminormen die Suprema auf kompakten Teilmengen sind .

Aus geometrischer Sicht ist eine Funktion $f$ an $z 0$ genau dann holomorph, wenn ihre äußere Ableitung $df$ in einer Umgebung $U$ von $z 0$ gleich $f ‍'(z) dz$ für eine stetige Funktion $f ‍' ist$ . Es folgt von

\textstyle 0=d^{2}f=d(f^{\prime}dz)=df^{\prime}\wedge dz

dass $df ‍'$ auch proportional zu $dz ist$ , was impliziert, dass die Ableitung $f ‍'$ selbst holomorph und somit $f$ unendlich differenzierbar ist. Ähnlich $d (f dz) = f ‍' dz \land dz = 0$ impliziert , dass jede Funktion $f$ das holomorph auf der einfach verbundenen Bereich $U$ ist ebenfalls integrierbar auf $U$ .

(Für einen Pfad $γ$ von $z 0$ nach $z$ , der vollständig in $U liegt$ , definieren Sie im Lichte des Jordanschen Kurvensatzes und des verallgemeinerten Stokes'schen Satzes , $F$ $γ$ $($ $z$ $)$ ist unabhängig von der speziellen Wahl des Pfades $γ$ , und somit ist $F$ $($ $z$ $)$ ist eine wohldefinierte Funktion auf $U$ mit $F$ $($ $z$ $0$ $) =$ $F$ $0$ und $dF$ $=$ $f dz$ .) ${\textstyle F_{\gamma}(z)=F_{0}+\int_{\gamma}f\,dz;}$

Beispiele

Alle Polynomfunktionen in $z$ mit komplexen Koeffizienten sind ganze Funktionen (holomorph in der ganzen komplexen Ebene $C$ ), ebenso die Exponentialfunktion $exp z$ und die trigonometrischen Funktionen und (vgl. Eulersche Formel ). Der Hauptzweig des komplexen Logarithmus - Funktion $log$ $z$ holomorph in der Domäne $C$ $\$ ${$ $z$ $\in$ $R$ $: z \leq 0}.$ Die Quadratwurzelfunktion kann definiert werden als und ist daher holomorph, wo immer der Logarithmus $log$ $z$ ist. Die Kehrfunktion $1 /$ $z$ ist auf $C$ $\ { 0 }$ holomorph $.$ (Die Kehrwertfunktion und jede andere rationale Funktion ist auf $C$ meromorph .) ${\textstyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(iz)+\exp(-iz){\bigr)}}$ ${\textstyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(iz)-\exp(-iz){\bigr)}}$ ${\textstyle {\sqrt {z}}=\exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr)}}$

Als Folge der Cauchy-Riemann-Gleichungen muss jede reellwertige holomorphe Funktion konstant sein . Daher ist der Absolutwert $| z |$ , das Argument $arg (z)$ , der Realteil $Re (z)$ und der Imaginärteil $Im (z)$ sind nicht holomorph. Ein weiteres typisches Beispiel für eine stetige Funktion, die nicht holomorph ist, ist die komplex konjugierte Funktion $z̅ .$ (Das Komplexkonjugat ist antiholomorph .)

Mehrere Variablen

Die Definition einer holomorphen Funktion lässt sich auf einfache Weise auf mehrere komplexe Variablen verallgemeinern. Sei $D$ polydisk und bezeichne auch eine offene Teilmenge von $C n$ , und sei $f : D \to C$ . Die Funktion $f$ ist an einem Punkt $p$ in $D$ analytisch, wenn es eine offene Umgebung von $p gibt,$ in der $f$ gleich einer konvergenten Potenzreihe in $n$ komplexen Variablen ist. Definiere $f$ als holomorph, wenn es an jedem Punkt seines Definitionsbereichs analytisch ist. Osgood Lemma zeigt (unter Verwendung des multivariaten Cauchy Integralformel) , dass für eine kontinuierliche Funktion $f$ , dies ist äquivalent zu $f$ ist holomorph in jede Variable einzeln (was bedeutet , dass , wenn eine $n$ $- 1$ Koordinaten festgelegt sind, dann wird die Beschränkung der $f$ eine holomorphe Funktion der verbleibenden Koordinate). Der viel tiefere Satz von Hartogs beweist, dass die Stetigkeitshypothese unnötig ist: $f$ ist genau dann holomorph, wenn es in jeder Variablen separat holomorph ist.

Allgemeiner gesagt ist eine Funktion mehrerer komplexer Variablen, die über jede kompakte Teilmenge ihres Definitionsbereichs quadratintegrierbar ist, genau dann analytisch, wenn sie die Cauchy-Riemann-Gleichungen im Sinne von Verteilungen erfüllt.

Funktionen mehrerer komplexer Variablen sind in mancher Hinsicht komplizierter als Funktionen einer einzelnen komplexen Variablen. Zum Beispiel ist der Konvergenzbereich einer Potenzreihe nicht unbedingt eine offene Kugel; diese Regionen sind logarithmisch-konvexe Reinhardt-Domänen , deren einfachstes Beispiel eine Polydisk ist . Sie sind jedoch auch mit einigen grundlegenden Einschränkungen verbunden. Im Gegensatz zu Funktionen einer einzelnen komplexen Variablen sind die möglichen Domänen, auf denen es holomorphe Funktionen gibt, die nicht auf größere Domänen erweitert werden können, stark eingeschränkt. Eine solche Menge wird als Holomorphiegebiet bezeichnet .

Ein komplexes Differential $(p, 0)$ -Form $α$ holomorph , wenn und nur wenn sein antiholomorphic Dolbeault Derivat Null ist , $\partial α = 0$ .

Erweiterung zur Funktionsanalyse

Das Konzept einer holomorphen Funktion lässt sich auf die unendlichdimensionalen Räume der Funktionalanalysis erweitern . Zum Beispiel kann die Fréchet oder Gateaux Derivat kann verwendet werden , um eine Vorstellung einer holomorphe Funktion auf einen definieren Banachraumes über den Körper der komplexen Zahlen.

Siehe auch

Verweise

Weiterlesen

Blakey, Joseph (1958). Universitätsmathematik (2. Aufl.). London: Blackie und Söhne. OCLC 2370110 .

Externe Links

"Analytische Funktion" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]

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