Komplexe Ebene - Complex plane

Geometrische Darstellung von z und seiner konjugierten in der komplexen Ebene. Der Abstand entlang der hellblauen Linie vom Ursprung zu dem Punkt , z ist der Modulus oder absoluter Wert von z . Der Winkel φ ist das Argument von z .

In der Mathematik ist die komplexe Ebene die Ebene, die von den komplexen Zahlen gebildet wird , mit einem kartesischen Koordinatensystem, so dass die x- Achse, die reelle Achse genannt wird, von den reellen Zahlen gebildet wird und die y- Achse, die imaginäre Achse genannt wird durch die imaginären Zahlen .

Die komplexe Ebene ermöglicht eine geometrische Interpretation komplexer Zahlen. Unter Addition fügen sie ähnliche Vektoren hinzu . Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen lässt sich am einfachsten in Polarkoordinaten ausdrücken – der Betrag oder Modul des Produkts ist das Produkt der beiden Absolutwerte oder Moduli, und der Winkel oder das Argument des Produkts ist die Summe der beiden Winkel. oder Argumente. Insbesondere die Multiplikation mit einer komplexen Zahl des Moduls 1 wirkt als Rotation.

Die komplexe Ebene wird manchmal als Argand-Ebene oder Gauß-Ebene bezeichnet .

Notationskonventionen

Komplexe Zahlen

In der komplexen Analysis werden die komplexen Zahlen üblicherweise durch das Symbol z dargestellt , das sich in seinen Real- ( x ) und Imaginärteil ( y ) zerlegen lässt:

zum Beispiel: z = 4 + 5 i , wobei x und y reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit ist . In dieser üblichen Schreibweise entspricht die komplexe Zahl z dem Punkt ( x , y ) in der kartesischen Ebene .

In der kartesischen Ebene lässt sich der Punkt ( x , y ) auch in Polarkoordinaten darstellen als

In der kartesischen Ebene kann angenommen werden, dass der Arkustangens Werte von − π/2 bis π/2 (im Bogenmaß ) annimmt , und es muss einige Sorgfalt darauf verwendet werden, die vollständigere Arkustangensfunktion für Punkte ( x , y ) zu definieren , wenn x ≤ 0. In der komplexen Ebene haben diese Polarkoordinaten die Form

wo

Hier | z | der Absolutwert oder Modul der komplexen Zahl z ist ; θ , das Argument von z , wird normalerweise im Intervall 0 ≤ θ < 2 π genommen ; und die letzte Gleichheit (to | z | e ) wird der Eulerschen Formel entnommen . Ohne die Einschränkung des Bereichs von θ ist das Argument von z mehrwertig, da die komplexe Exponentialfunktion periodisch ist, mit Periode 2 π i . Wenn also θ ein Wert von arg( z ) ist, werden die anderen Werte durch arg( z ) = θ + 2 nπ gegeben , wobei n eine ganze Zahl ≠ 0 ist.

Obwohl selten explizit verwendet, basiert die geometrische Sicht der komplexen Zahlen implizit auf ihrer Struktur eines euklidischen Vektorraums der Dimension 2, wobei das innere Produkt der komplexen Zahlen w und z gegeben ist durch ; dann für eine komplexe Zahl z ihr Betrag | z | stimmt mit seiner euklidischen Norm überein und sein Argument arg( z ) mit dem von 1 nach z drehenden Winkel  .

Die Theorie der Konturintegration umfasst einen großen Teil der komplexen Analyse. In diesem Zusammenhang ist die Fahrtrichtung um eine geschlossene Kurve wichtig – eine Umkehr der Fahrtrichtung der Kurve multipliziert den Wert des Integrals mit −1. Konventionell ist die positive Richtung gegen den Uhrzeigersinn. Zum Beispiel wird der Einheitskreis in positiver Richtung durchlaufen, wenn wir am Punkt z = 1 beginnen, dann nach oben und nach links durch den Punkt z = i , dann nach unten und nach links durch −1, dann nach unten und nach rechts durch − i und schließlich nach oben und rechts nach z = 1, wo wir angefangen haben.

Fast die gesamte komplexe Analyse befasst sich mit komplexen Funktionen  – das heißt mit Funktionen, die eine Teilmenge der komplexen Ebene in eine andere (möglicherweise überlappende oder sogar identische) Teilmenge der komplexen Ebene abbilden. Hier ist es üblich, vom Bereich von f ( z ) als in der z- Ebene liegenden zu sprechen, während der Bereich von f ( z ) als Menge von Punkten in der w- Ebene bezeichnet wird. In Symbolen schreiben wir

und stellen Sie sich die Funktion f oft als Transformation von der z- Ebene (mit Koordinaten ( x , y )) in die w- Ebene (mit Koordinaten ( u , v )) vor.

Notation komplexer Ebenen

Die komplexe Ebene wird als bezeichnet .

Argand-Diagramm

Argandgaussplane.png

Das Argand-Diagramm bezieht sich auf ein geometrisches Diagramm komplexer Zahlen als Punkte z=x+iy unter Verwendung der x-Achse als reelle Achse und y-Achse als imaginäre Achse. Solche Parzellen sind nach Jean-Robert Argand (1768–1822) benannt, wurden jedoch erstmals vom norwegisch-dänischen Landvermesser und Mathematiker Caspar Wessel (1745–1818) beschrieben. Argand-Diagramme werden häufig verwendet, um die Positionen der Nullstellen und Pole einer Funktion in der komplexen Ebene darzustellen.

Stereografische Projektionen

Riemann-Kugel, die alle Punkte einer Kugel außer einem auf alle Punkte auf der komplexen Ebene abbildet

Es kann nützlich sein, sich die komplexe Ebene so vorzustellen, als ob sie die Oberfläche einer Kugel einnimmt. Bei einer Kugel mit Einheitsradius platzieren Sie ihren Mittelpunkt im Ursprung der komplexen Ebene, so dass der Äquator auf der Kugel mit dem Einheitskreis in der Ebene zusammenfällt und der Nordpol "über" der Ebene liegt.

Wir können eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen den Punkten auf der Kugeloberfläche minus dem Nordpol und den Punkten in der komplexen Ebene wie folgt herstellen. Zeichnen Sie einen gegebenen Punkt in der Ebene, indem Sie ihn mit dem Nordpol der Kugel verbinden. Diese Linie schneidet die Oberfläche der Kugel in genau einem anderen Punkt. Der Punkt z = 0 wird auf den Südpol der Kugel projiziert. Da das Innere des Einheitskreises innerhalb der Kugel liegt, wird diese gesamte Region ( | z | < 1 ) auf die Südhalbkugel abgebildet. Der Einheitskreis selbst ( | z | = 1 ) wird auf den Äquator abgebildet, und das Äußere des Einheitskreises ( | z | > 1 ) wird auf die Nordhalbkugel abzüglich des Nordpols abgebildet. Dieses Verfahren ist eindeutig umkehrbar – wenn wir einen beliebigen Punkt auf der Kugeloberfläche, der nicht der Nordpol ist, zeichnen können, können wir eine gerade Linie ziehen, die diesen Punkt mit dem Nordpol verbindet und die flache Ebene in genau einem Punkt schneidet.

Bei dieser stereographischen Projektion ist der Nordpol selbst keinem Punkt in der komplexen Ebene zugeordnet. Wir perfektionieren die Eins-zu-Eins-Entsprechung, indem wir der komplexen Ebene einen weiteren Punkt hinzufügen – den sogenannten Punkt im Unendlichen  – und ihn mit dem Nordpol auf der Kugel identifizieren. Dieser topologische Raum, die komplexe Ebene plus den Punkt im Unendlichen, wird als erweiterte komplexe Ebene bezeichnet . Wir sprechen von einem einzigen "Punkt im Unendlichen", wenn wir über komplexe Analysen sprechen. Es gibt zwei Punkte im Unendlichen (positiv und negativ) auf der reellen Zahlengeraden , aber es gibt nur einen Punkt im Unendlichen (der Nordpol) in der erweiterten komplexen Ebene.

Stellen Sie sich für einen Moment vor, was mit den Breiten- und Längengraden passiert, wenn sie von der Kugel auf die flache Ebene projiziert werden. Die Breitengrade verlaufen alle parallel zum Äquator, sodass sie zu perfekten Kreisen werden, die um den Ursprung z = 0 zentriert sind . Und die Längengrade werden zu geraden Linien, die durch den Ursprung gehen (und auch durch den "Punkt im Unendlichen", da sie sowohl durch den Nord- als auch durch den Südpol der Kugel gehen).

Dies ist nicht die einzige mögliche noch plausible stereographische Situation der Projektion einer Kugel auf eine aus zwei oder mehr Werten bestehende Ebene. Zum Beispiel könnte der Nordpol der Kugel auf dem Ursprung z = −1 in einer den Kreis tangentialen Ebene liegen. Die Details sind nicht wirklich wichtig. Jede stereographische Projektion einer Kugel auf eine Ebene erzeugt einen "Punkt im Unendlichen" und bildet die Breiten- und Längengrade auf der Kugel in Kreise bzw. Geraden in der Ebene ab.

Schneiden des Flugzeugs

Bei der Diskussion von Funktionen einer komplexen Variablen ist es oft praktisch, an einen Schnitt in der komplexen Ebene zu denken . Diese Idee entsteht natürlich in verschiedenen Kontexten.

Mehrwertige Beziehungen und Verzweigungspunkte

Betrachten Sie die einfache zweiwertige Beziehung

Bevor wir diese Beziehung als einwertige Funktion behandeln können , muss der Bereich des resultierenden Wertes irgendwie eingeschränkt werden. Bei den Quadratwurzeln von nicht-negativen reellen Zahlen ist dies leicht zu bewerkstelligen. Zum Beispiel können wir einfach definieren

die nicht negative reelle Zahl zu sein , y , so dass y 2 = x . Diese Idee funktioniert in der zweidimensionalen komplexen Ebene nicht so gut. Um zu sehen warum, denken wir darüber nach, wie sich der Wert von f ( z ) ändert, wenn sich der Punkt z um den Einheitskreis bewegt. Wir können schreiben

Wenn sich z ganz um den Kreis bewegt, zeichnet w offensichtlich nur die Hälfte des Kreises nach. Eine kontinuierliche Bewegung in der komplexen Ebene hat also die positive Quadratwurzel e 0 = 1 in die negative Quadratwurzel e = −1 umgewandelt.

Dieses Problem entsteht, weil der Punkt z = 0 nur eine Quadratwurzel hat, während jede andere komplexe Zahl z ≠ 0 genau zwei Quadratwurzeln hat. Auf der reellen Zahlengeraden könnten wir dieses Problem umgehen, indem wir am einzelnen Punkt x = 0 eine "Barriere" errichten. In der komplexen Ebene wird eine größere Barriere benötigt, um zu verhindern, dass eine geschlossene Kontur den Verzweigungspunkt z = 0 vollständig umschließt wird üblicherweise durch Einführen eines Astschnitts durchgeführt ; in diesem Fall könnte sich der "Schnitt" vom Punkt z = 0 entlang der positiven reellen Achse bis zum Punkt im Unendlichen erstrecken, so dass das Argument der Variablen z in der Schnittebene auf den Bereich 0 ≤ arg( z ) < 2 π .

Wir können nun w = z ½ vollständig beschreiben . Dazu benötigen wir zwei Kopien der z- Ebene, die jeweils entlang der reellen Achse geschnitten sind. Auf einer Kopie definieren wir die Quadratwurzel von 1 als e 0 = 1, auf der anderen definieren wir die Quadratwurzel von 1 als e = −1. Wir nennen diese beiden Kopien der vollständig geschnittenen Planbogen . Durch ein Stetigkeitsargument sehen wir, dass die (jetzt einwertige) Funktion w = z ½ das erste Blatt in die obere Hälfte der w- Ebene abbildet, wobei 0 ≤ arg( w ) < π , während das zweite Blatt in die untere Hälfte der w- Ebene (wobei π ≤ arg( w ) < 2 π ).

Der Astschnitt muss in diesem Beispiel nicht entlang der reellen Achse liegen. Es muss nicht einmal eine gerade Linie sein. Jede kontinuierliche Kurve, die den Ursprung z = 0 mit dem Punkt im Unendlichen verbindet, würde funktionieren. In einigen Fällen muss der Astschnitt nicht einmal durch den Punkt im Unendlichen gehen. Betrachten Sie zum Beispiel die Beziehung

Hier verschwindet das Polynom z 2 − 1 für z = ±1, also hat g offensichtlich zwei Verzweigungspunkte. Wir können die Ebene entlang der reellen Achse von −1 bis 1 "schneiden" und erhalten ein Blatt, auf dem g ( z ) eine einwertige Funktion ist. Alternativ kann der Schnitt von z = 1 entlang der positiven reellen Achse durch den Punkt im Unendlichen verlaufen und dann die negative reelle Achse "aufwärts" zum anderen Verzweigungspunkt z = −1 fortsetzen.

Diese Situation lässt sich am einfachsten durch die oben beschriebene stereographische Projektion visualisieren . Auf der Kugel verläuft einer dieser Schnitte in Längsrichtung durch die Südhalbkugel, verbindet einen Punkt auf dem Äquator ( z = −1) mit einem anderen Punkt auf dem Äquator ( z = 1) und geht durch den Südpol (der Ursprung, z = 0) unterwegs. Die zweite Version des Schnitts verläuft längs durch die Nordhalbkugel und verbindet dieselben beiden Äquatorialpunkte, indem sie durch den Nordpol (dh den Punkt im Unendlichen) verläuft.

Einschränkung des Definitionsbereichs meromorpher Funktionen

Eine meromorphe Funktion ist eine komplexe Funktion, die holomorph und daher überall in ihrem Bereich analytisch ist, außer an einer endlichen oder abzählbar unendlichen Anzahl von Punkten. Die Punkte, an denen eine solche Funktion nicht definiert werden kann, werden Pole der meromorphen Funktion genannt. Manchmal liegen alle diese Pole in einer geraden Linie. In diesem Fall können Mathematiker sagen, dass die Funktion "holomorph auf der Schnittebene" ist. Hier ist ein einfaches Beispiel.

Die Gammafunktion , definiert durch

wobei γ die Euler-Mascheroni-Konstante ist und einfache Pole bei 0, −1, −2, −3, ... hat, weil genau ein Nenner im unendlichen Produkt verschwindet, wenn z null oder eine negative ganze Zahl ist. Da alle ihre Pole auf der negativen reellen Achse liegen, von z = 0 bis zum Punkt im Unendlichen, könnte diese Funktion als "holomorph auf der Schnittebene, der Schnitt erstreckt sich entlang der negativen reellen Achse von 0 (einschließlich) bis zum zeige ins Unendliche."

Alternativ könnte Γ( z ) als "holomorph in der Schnittebene mit − π < arg( z ) < π und ohne den Punkt z = 0" beschrieben werden.

Dieser Schnitt ist etwas anders als der Zweig schneidet uns bereits begegnet sind, weil es tatsächlich schließt die negative reelle Achse von der Schnittebene. Der Astschnitt ließ die reelle Achse auf einer Seite mit der Schnittebene verbunden (0 ≤ θ ), trennte sie jedoch auf der anderen Seite von der Schnittebene ( θ < 2 π ).

Natürlich ist es nicht notwendig, das gesamte Liniensegment von z = 0 bis −∞ auszuschließen , um ein Gebiet zu konstruieren, in dem Γ( z ) holomorph ist. Alles, was wir wirklich tun müssen, ist die Ebene an einer abzählbar unendlichen Menge von Punkten {0, −1, −2, −3, ...} zu durchstechen . Aber eine geschlossene Kontur in der punktierten Ebene könnte einen oder mehrere der Pole von Γ( z ) umkreisen , was nach dem Residuensatz ein Konturintegral ergibt, das nicht notwendigerweise Null ist . Durch das Schneiden der komplexen Ebene stellen wir nicht nur sicher, dass Γ( z ) in diesem eingeschränkten Bereich holomorph ist – wir stellen auch sicher, dass das Konturintegral von Γ über jede geschlossene Kurve, die in der Schnittebene liegt, identisch Null ist.

Konvergenzregionen angeben

Viele komplexe Funktionen werden durch unendliche Reihen oder durch Kettenbrüche definiert . Eine grundlegende Überlegung bei der Analyse dieser unendlich langen Ausdrücke besteht darin, den Teil der komplexen Ebene zu identifizieren, in dem sie gegen einen endlichen Wert konvergieren. Ein Schnitt in der Ebene kann diesen Vorgang erleichtern, wie die folgenden Beispiele zeigen.

Betrachten Sie die durch die unendliche Reihe definierte Funktion

Da z 2 = (− z ) 2 für jede komplexe Zahl z ist , ist es klar, dass f ( z ) eine gerade Funktion von z ist , sodass die Analyse auf eine Hälfte der komplexen Ebene beschränkt werden kann. Und da die Reihe undefiniert ist, wann

es ist sinnvoll, die Ebene entlang der gesamten imaginären Achse zu schneiden und die Konvergenz dieser Reihe festzustellen, wo der Realteil von z nicht null ist, bevor man sich der schwierigeren Aufgabe annimmt, f ( z ) zu untersuchen, wenn z eine reine imaginäre Zahl ist.

In diesem Beispiel ist der Schnitt eine reine Bequemlichkeit, da die Punkte, an denen die unendliche Summe undefiniert ist, isoliert sind und die Schnittebene durch eine entsprechend punktierte Ebene ersetzt werden kann. In manchen Kontexten ist der Schnitt notwendig und nicht nur praktisch. Betrachten Sie den unendlichen periodischen Kettenbruch

Es kann gezeigt werden, dass f ( z ) genau dann gegen einen endlichen Wert konvergiert, wenn z keine negative reelle Zahl mit z < −¼ ist. Mit anderen Worten, der Konvergenzbereich für diesen Kettenbruch ist die Schnittebene, in der der Schnitt entlang der negativen reellen Achse von −¼ bis zum Punkt im Unendlichen verläuft.

Die Schnittebene wieder zusammenkleben

Wir haben schon gesehen, wie die Beziehung

kann in eine einwertige Funktion umgewandelt werden, indem man den Definitionsbereich von f in zwei unzusammenhängende Blätter aufteilt. Es ist auch möglich, diese beiden Blätter wieder zusammen zu "kleben", um eine einzige Riemann-Fläche zu bilden, auf der f ( z ) = z 1/2 als holomorphe Funktion definiert werden kann, deren Bild die gesamte w -Ebene ist (außer dem Punkt w = 0 ). So funktioniert das.

Stellen Sie sich zwei Kopien der komplexen Schnittebene vor, wobei sich die Schnitte entlang der positiven reellen Achse von z = 0 bis zum Punkt im Unendlichen erstrecken. Definiere auf einem Blatt 0 ≤ arg( z ) < 2 π , so dass per Definition 1 1/2 = e 0 = 1 ist. Definiere auf dem zweiten Blatt 2 π ≤ arg( z ) < 4 π , so dass 1 1/2 = e = −1 wiederum per Definition. Drehen Sie nun das zweite Blatt auf den Kopf, sodass die imaginäre Achse in die entgegengesetzte Richtung der imaginären Achse auf dem ersten Blatt zeigt, wobei beide reellen Achsen in die gleiche Richtung zeigen, und "kleben" Sie die beiden Blätter zusammen (so dass die Kante auf das erste Blatt mit der Aufschrift " θ = 0 " ist mit der Kante mit der Aufschrift " θ < 4 π " auf dem zweiten Blatt verbunden und die Kante auf dem zweiten Blatt mit der Aufschrift " θ = 2 π " ist mit der Kante mit der Aufschrift " θ < 2 ." verbunden π " auf dem ersten Blatt). Das Ergebnis ist der Riemannsche Oberflächenbereich, auf dem f ( z ) = z 1/2 einwertig und holomorph ist (außer wenn z = 0 ).

Um zu verstehen, warum f in diesem Bereich einwertig ist, stellen Sie sich einen Kreis um den Einheitskreis vor, beginnend mit z = 1 auf dem ersten Blatt. Bei 0 ≤ θ < 2 π befinden wir uns immer noch auf dem ersten Blatt. Bei θ = 2 π sind wir auf das zweite Blatt übergegangen und müssen einen zweiten vollständigen Umlauf um den Verzweigungspunkt z = 0 machen, bevor wir zu unserem Ausgangspunkt zurückkehren, wobei θ = 4 π äquivalent zu θ = 0 ist , weil wie wir die beiden Blätter zusammengeklebt haben. Mit anderen Worten, da die Variable z zwei vollständige Umdrehungen um den Verzweigungspunkt macht, zeichnet das Bild von z in der w- Ebene nur einen vollständigen Kreis nach.

Formale Differenzierung zeigt, dass

woraus wir schließen können, dass die Ableitung von f überall auf der Riemannschen Fläche existiert und endlich ist, außer wenn z = 0 (d. h. f ist holomorph, außer wenn z = 0 ).

Wie kann die Riemann-Fläche für die Funktion

auch oben diskutiert , konstruiert werden? Wir beginnen wieder mit zwei Kopien der z -Ebene, aber diesmal wird jede entlang des reellen Streckenabschnitts von z = −1 bis z = 1 geschnitten – dies sind die beiden Verzweigungspunkte von g ( z ). Wir drehen eines davon auf den Kopf, sodass die beiden imaginären Achsen in entgegengesetzte Richtungen zeigen, und kleben die entsprechenden Kanten der beiden geschnittenen Blätter zusammen. Wir können verifizieren, dass g eine einwertige Funktion auf dieser Fläche ist, indem wir einen Kreis um einen Kreis mit Einheitsradius mit Mittelpunkt z = 1 ziehen . Beginnend am Punkt z = 2 auf dem ersten Blatt drehen wir uns halb um den Kreis, bevor wir bei z = 0 auf den Schnitt treffen . Der Schnitt zwingt uns auf das zweite Blatt, so dass, wenn z eine volle Umdrehung um den Verzweigungspunkt z = 1 gezogen hat , w nur eine halbe volle Umdrehung gemacht hat, das Vorzeichen von w umgekehrt ist (da e = −1 ), und unser Weg hat uns zum Punkt z = 2 auf dem zweiten Blatt der Fläche geführt. Weiter durch eine weitere halbe Drehung treffen wir auf die andere Seite des Einschnitts, wo z = 0 ist , und erreichen schließlich unseren Ausgangspunkt ( z = 2 auf dem ersten Blatt), nachdem wir zwei volle Drehungen um den Verzweigungspunkt gemacht haben.

Der natürliche Weg, θ = arg( z ) in diesem Beispiel zu beschriften, besteht darin, π < θπ auf dem ersten Blatt zu setzen, mit π < θ ≤ 3 π auf dem zweiten. Die imaginären Achsen auf den beiden Blättern zeigen in entgegengesetzte Richtungen, so dass der positive Drehsinn gegen den Uhrzeigersinn erhalten bleibt, wenn sich eine geschlossene Kontur von einem Blatt zum anderen bewegt (denken Sie daran, das zweite Blatt steht auf dem Kopf ). Stellen Sie sich diese Fläche eingebettet in einen dreidimensionalen Raum vor, mit beiden Blättern parallel zur xy- Ebene. Dann scheint es ein vertikales Loch in der Oberfläche zu geben, wo die beiden Schnitte miteinander verbunden sind. Was ist, wenn der Schnitt von z = −1 die reelle Achse hinunter bis zum Punkt im Unendlichen und von z = 1 die reelle Achse nach oben ausgeführt wird, bis der Schnitt sich selbst trifft? Wieder kann eine Riemann-Fläche konstruiert werden, aber diesmal ist das "Loch" horizontal. Topologisch gesehen sind beide Versionen dieser Riemannschen Fläche äquivalent – ​​sie sind orientierbare zweidimensionale Flächen der Gattung eins.

Verwendung der komplexen Ebene in der Kontrolltheorie

In der Regelungstheorie ist eine Verwendung der komplexen Ebene als „ s-Ebene “ bekannt. Es wird verwendet, um die Wurzeln der das Verhalten eines Systems beschreibenden Gleichung (die charakteristische Gleichung) grafisch zu visualisieren. Die Gleichung wird normalerweise als Polynom im Parameter 's' der Laplace-Transformation ausgedrückt , daher der Name 's'-Ebene. Punkte in der s-Ebene nehmen die Form an , wobei 'j' anstelle des üblichen 'i' verwendet wird , um die imaginäre Komponente darzustellen.

Eine andere verwandte Verwendung der komplexen Ebene ist das Nyquist-Stabilitätskriterium . Dies ist ein geometrisches Prinzip , das die Stabilität eines Closed-Loop - Feedback - Systems ermöglicht durch Inspizieren einer zu bestimmender Ortskurve des Open-Loop - Betrag und Phasenganges als Funktion der Frequenz (oder Schleifenübertragungsfunktion ) in der komplexen Ebene.

Die 'z-Ebene' ist eine zeitdiskrete Version der s-Ebene, bei der z-Transformationen anstelle der Laplace-Transformation verwendet werden.

Quadratische Räume

Die komplexe Ebene ist mit zwei unterschiedlichen quadratischen Räumen verbunden . Für einen Punkt z = x + iy in der komplexen Ebene sind die Quadrierungsfunktion z 2 und das Normquadrat beide quadratische Formen . Ersteres wird häufig vernachlässigt, wenn letzteres beim Setzen einer Metrik auf der komplexen Ebene verwendet wird. Diese unterschiedlichen Flächen der komplexen Ebene als quadratischer Raum entstehen bei der Konstruktion von Algebren über einem Körper mit dem Cayley-Dickson-Prozess . Dieses Verfahren kann auf jedes Feld angewendet werden , wobei für die Felder R und C unterschiedliche Ergebnisse auftreten : wenn R das Startfeld ist, dann wird C mit der quadratischen Form konstruiert, aber der Prozess kann auch mit C und z 2 beginnen , und dieser Fall erzeugt Algebren, die sich von denen unterscheiden, die von R abgeleitet wurden . In jedem Fall sind die erzeugten Algebren Kompositionsalgebren ; in diesem Fall ist die komplexe Ebene die Punktmenge für zwei verschiedene Kompositionsalgebren.

Andere Bedeutungen für "komplexe Ebene"

Die vorhergehenden Abschnitte dieses Artikels befassen sich mit der komplexen Ebene im Sinne einer geometrischen Darstellung der komplexen Zahlen. Obwohl diese Verwendung des Begriffs "komplexe Ebene" eine lange und mathematisch reiche Geschichte hat, ist sie bei weitem nicht der einzige mathematische Begriff, der als "die komplexe Ebene" charakterisiert werden kann. Es gibt mindestens drei zusätzliche Möglichkeiten.

  1. Zweidimensionaler komplexer Vektorraum, eine "komplexe Ebene" in dem Sinne, dass es sich um einen zweidimensionalen Vektorraum handelt, dessen Koordinaten komplexe Zahlen sind . Siehe auch: Komplexer affiner Raum § Zwei Dimensionen .
  2. (1 + 1) -dimensionalen Raum Minkowski , auch bekannt als die Split-komplexe Ebene ist eine „komplexe Ebene“ in dem Sinne , daß die algebraischen Split-komplexen Zahlen in zwei reale Komponenten getrennt werden können , die mit dem Punkt assoziiert sind leicht ( x , y ) in der kartesischen Ebene.
  3. Der Satz dualer Zahlen über den reellen Zahlen kann auch in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung mit den Punkten ( x , y ) der kartesischen Ebene gebracht werden und ein weiteres Beispiel einer "komplexen Ebene" darstellen.

Terminologie

Während die Terminologie "komplexe Ebene" historisch akzeptiert ist, könnte das Objekt passender "komplexe Linie" genannt werden, da es sich um einen eindimensionalen komplexen Vektorraum handelt .

Siehe auch

Mandelbrot-Fraktal , abgebildet auf einer komplexen Ebene

Anmerkungen

Verweise

Zitierte Werke

Externe Links

  • Weisstein, Eric W. "Argand-Diagramm" . MathWorld .
  • Jean-Robert Argand, "Essai sur une manière de représenter des quantités imaginaires dans les constructions géométriques", 1806, online und analysiert auf BibNum [für die englische Version klicken Sie auf 'à télécharger']