Komplexe projektive Ebene - Complex projective plane

In der Mathematik ist die komplexe Projektionsebene , die üblicherweise als P 2 ( C ) bezeichnet wird, der zweidimensionale komplexe Projektionsraum . Es ist eine komplexe Mannigfaltigkeit der komplexen Dimension 2, die durch drei komplexe Koordinaten beschrieben wird

wobei jedoch die Tripel identifiziert werden, die sich durch eine Gesamtskalierung unterscheiden:

Das heißt, dies sind homogene Koordinaten im traditionellen Sinne der projektiven Geometrie .

Topologie

Die Betti-Zahlen der komplexen Projektionsebene sind

1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, .....

Die mittlere Dimension 2 wird durch die Homologieklasse der in der Ebene liegenden komplexen Projektionslinie oder Riemannschen Kugel erklärt . Die nichttrivialen Homotopiegruppen der komplexen Projektionsebene sind . Die Grundgruppe ist trivial und alle anderen höheren Homotopiegruppen sind diejenigen der 5-Sphäre, dh Torsion.

Algebraische Geometrie

In der Birationsgeometrie ist eine komplexe rationale Oberfläche jede algebraische Oberfläche , die der komplexen Projektionsebene birational äquivalent ist. Es ist bekannt, dass jede nicht singuläre rationale Varietät aus der Ebene durch eine Folge von Sprengtransformationen und deren Umkehrung ("Abblasen") von Kurven erhalten wird, die von einem ganz bestimmten Typ sein müssen. Als Sonderfall wird ein nicht singuläres komplexes Quadrat in P 3 aus der Ebene erhalten, indem zwei Punkte zu Kurven gesprengt werden und dann die Linie durch diese beiden Punkte heruntergeblasen wird; Die Umkehrung dieser Transformation kann gesehen werden, indem ein Punkt P auf dem Quadrat Q genommen , in die Luft gesprengt und auf eine allgemeine Ebene in P 3 projiziert wird, indem Linien durch P gezogen werden .

Die Gruppe der birationalen Automorphismen der komplexen Projektionsebene ist die Cremona-Gruppe .

Differentialgeometrie

Als Riemannsche Mannigfaltigkeit ist die komplexe Projektionsebene eine 4-dimensionale Mannigfaltigkeit, deren Querschnittskrümmung viertelgeklemmt ist, aber nicht streng. Das heißt, es erreicht beide Grenzen und entzieht sich somit einer Kugel, wie es der Kugelsatz sonst erfordern würde. Die konkurrierenden Normalisierungen bestehen darin, dass die Krümmung zwischen 1/4 und 1 eingeklemmt wird; alternativ zwischen 1 und 4. In Bezug auf die erstere Normalisierung hat die durch die komplexe Projektionslinie definierte eingebettete Oberfläche die Gaußsche Krümmung 1. In Bezug auf die letztere Normalisierung hat die eingebettete reale Projektionsebene die Gaußsche Krümmung 1.

Eine explizite Demonstration der Riemann- und Ricci-Tensoren findet sich im Unterabschnitt n = 2 des Artikels über die Fubini-Study-Metrik .

Siehe auch

Verweise